人教高一数学必修四任意角和弧制实用教案

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1、人教高一数学人教高一数学(shxu)必修四任意角和弧必修四任意角和弧制制第一页，共34页。第1页/共33页第二页，共34页。角的定义角的定义1: 1: 平面内从一个点平面内从一个点出发引出的两条射线构成的出发引出的两条射线构成的几何图形几何图形(jh t xng).(jh t xng). 这种静态定义是从图形这种静态定义是从图形形状来定义角，因此角的范形状来定义角，因此角的范围是围是0, 3600, 360第2页/共33页第三页，共34页。第3页/共33页第四页，共34页。现状生活中：体操、跳水、滑冰现状生活中：体操、跳水、滑冰(hu bng)(hu bng)、转体、转体720720度的高难度

2、的高难度动作度动作, ,直体后空翻转体直体后空翻转体900900度及度及以上的旋转以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度间时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角主从动轮转动角车的轮子的转动角车的轮子的转动角风车风车, ,风扇叶片等转动风扇叶片等转动第4页/共33页第五页，共34页。定义定义2:2:平面内一条射线绕着端点从一个位置平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转到另一个位置所成的图形. .射线射线OAOA、OBOB分别分别(fnbi)(fnbi)是角的始边和终边，端点是角的始边和终边，端点OO为为角的顶点。角的顶

3、点。思考：这些旋转思考：这些旋转(xunzhun)(xunzhun)形成的角该如形成的角该如何表示和区分何表示和区分? ?引入新的角定义引入新的角定义(dngy):(dngy):第5页/共33页第六页，共34页。类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形成的角推广到任意角。为了方便规定：成的角推广到任意角。为了方便规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角没有没有(mi yu)(mi yu)作任何旋转形成的角叫做零角作任何旋转形成的角叫做零角1.任意角:

4、含任意大小(dxio)的正角，负角，零角。OA（B）第6页/共33页第七页，共34页。在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标题代数化。我们常在直角坐标(zh jio zu (zh jio zu bio)bio)系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于角的始边重合于x x轴的正半轴。轴的正半轴。角的终边落在第几象限，就说这个角的终边落在第几象限，就说这个(zh ge)(zh ge)角是角是第几

5、象限的角（包含第一、第几象限的角（包含第一、 二、三、二、三、 四象限角）四象限角）角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标轴上角（包含坐标轴上角（包含(bohn)x,y(bohn)x,y正负半轴上的正负半轴上的角）角） 第7页/共33页第八页，共34页。2象限象限(xingxin)角和坐标轴上角角和坐标轴上角xyo始边始边终边终边是第一象限角 终边终边是是第第二二象象限限角角 终边终边终边终边是是第第三三象象限限角角 是是第第四四象象限限角角 第8页/共33页第九页，共34页。用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋转用旋转定义的任意角，需要注意三个要

6、素：旋转中心、旋转方向和旋转量中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过（当旋转超过(chogu)(chogu)一周时，旋转量即超过一周时，旋转量即超过(chogu)360(chogu)360，角度的绝对值可大于，角度的绝对值可大于360 360 。于是就有于是就有720 720 ， 540 540，第一象限的角也已经，第一象限的角也已经超越原来锐角的范畴超越原来锐角的范畴. .）角第9页/共33页第十页，共34页。3终边相同终边相同(xin tn)的角的角 观察：观察：330330 ，750750角，它们角，它们(t men)(t men)的终边与的终边与3030角角的终边有何关系？的终边有何关系

7、？探究：与探究：与30 30 终边相同终边相同(xin tn)(xin tn)的角（含的角（含30 30 角本身）集角本身）集合用描述法如何表示？合用描述法如何表示？330330=30=30+(+(1) 1)360360 (k= (k=1) , 301) , 30=30=30+0+0360360 (k=0), (k=0), 750750=30=30+2+2360360(k=2) (k=2) (3)(3)结论：结论：思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？与 终边相同的角（含 本身）集合用描述法又将如何表示？Zkk,360Zkk,36030第10页

8、/共33页第十一页，共34页。S S1 1=| | =90=900 0+K+K3603600 0,KZ,KZ = =| | =90=900 0+2K+2K1801800,0,KZKZ=| =900+1800 =| =900+1800 的偶数的偶数(u sh)(u sh)倍倍 终边落在终边落在轴轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S S2 2=| | =270=2700 0+K+K3603600 0,KZ,KZ=| | =90=900 0+180+1800 0+2K+2K1801800 0,KZ,KZ=| | =90=900 0+ +（2K+12K+1）1801800 0 ，KZKZ=|

9、| =90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍 NoImage第11页/共33页第十二页，共34页。S=SS=S1 1SS2 2所以所以(suy)(suy)终边落在轴上的角的集合为终边落在轴上的角的集合为=| =900+1800 =| =900+1800 的偶数的偶数(u sh)(u sh)倍倍 | | =90=900 0+180+1800 0 的的奇奇数倍数倍 =| | =90=900 0+180+1800 0 的整数倍的整数倍 =| | =90=900 0+K+K1801800 0 ，KZKZ第12页/共33页第十三页，共34页。 根据角的动态定义(dngy)：角是由射线绕

10、它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧。 思考：不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系? 1 的角是周角的 用1角作单位来度量角的制度叫做角度制但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于(yuy)数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。13 6 0第13页/共33页第十四页，共34页。设设=n,AB=n,AB弧长为弧长为l l，半径，半径OAOA为为r r，则可以看出，等式右端不含则可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的半径，表示弧长与半径的比值比值(bzh)(bzh)跟半径无关，只与跟半径无关，只与

11、的的大小有关。大小有关。 22,360360rllnnr3弧度弧度(hd)rr对于同一圆心角，BAAB第14页/共33页第十五页，共34页。3 3弧度弧度(hd)(hd) 弧长等于半径长（弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记弧度的角，弧度记作作rad.角角 的弧度数的绝对值规定等于的弧度数的绝对值规定等于 . 的正负由的正负由 的终边的旋转方向决定的终边的旋转方向决定(judng)。 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。rlrl 360= ， 180= rad，)(22radrrrl 1 =rad

12、0.01745rad1801 8 05 7 .3 05 7 1 8 1 rad注：rad今后可以省略不写第15页/共33页第十六页，共34页。 用弧度来度量用弧度来度量(dling)(dling)角，实际上角的集合角，实际上角的集合与实数集与实数集R R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：弧度的集合（实数集弧度的集合（实数集R R）角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数(shsh)零零负实数负实数(shsh)第16页/共33页第十七页，共34页。度度0-3045 -13512015030弧度弧度42433603013665233260609090-150-150270

13、2700第17页/共33页第十八页，共34页。3 3弧度弧度(hd)(hd) r弧长22121rrS扇形1802360rnrn弧长236021rnrS扇形对比记忆：初中弧长和面积对比记忆：初中弧长和面积(min (min j)j)公式：公式：思考：扇形的弧长和面积共含几个思考：扇形的弧长和面积共含几个(j )(j )变量，变量，已知几个已知几个(j )(j )量量, ,才能求出另外的量呢？才能求出另外的量呢？rl第18页/共33页第十九页，共34页。例例2. 2. 已知一半径已知一半径(bnjng)(bnjng)为为R R的扇形，它的周长等于所的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角

14、是多少弧度？合多少度？在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？扇形的面积是多少？ 解：周长解：周长(zhu chn)=2R=2R+l(zhu chn)=2R=2R+l，所以，所以l=2(l=2(1)R.1)R.所以所以(suy)(suy)扇形的中心角是扇形的中心角是2(2(1) rad.1) rad.合合 度度360(1)扇形面积是扇形面积是2(1)R第19页/共33页第二十页，共34页。2.| =k1800 ，kZZ | | =k =k ，kZkZ.| =k900 ，kZZ | | =k=k ，kZkZ3.| k 3603600 0 k 3603600 0+ +9

15、00 ，kZZ | | 2 2k k 2 2kk + + ，kZkZ4.| =k 1801800 0+ +450 ，kZZ | | =k=k + + ，kZkZ24思考思考: :终边在过直角坐标系原点的直线终边在过直角坐标系原点的直线(zhxin)(zhxin)上角的集合共同特征是怎样的上角的集合共同特征是怎样的? ?第20页/共33页第二十一页，共34页。合作探究练习合作探究练习(linx)2.(linx)2.在在0 0到到360360度度(02(02）范围内，找出与下）范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？（1 1）-120

16、-120（2 2） （3 3） -950 -950 12 12（4 4）所以与所以与-120 -120 角终边相同的角是角终边相同的角是240 240 角角, ,它是第三它是第三(d (d sn)sn)象限角。象限角。 所以所以(suy)(suy)与与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ，它是第四象限角。，它是第四象限角。 所以与所以与-950-95012 12 角终边相同的角是角终边相同的角是12912948 48 角，角，它是第二象限角。它是第二象限角。 （2）因为 解（1）因这-120=-1360 +240 （3）因为-95012 = -3360+12948311623352311311

17、3564623（4 4）因为）因为6236所以与所以与 角终边相同的角是角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。它是第一象限角。第21页/共33页第二十二页，共34页。小结小结(xioji)(xioji)：1. 1.在在0 0到到360360度（度（02)02)内找与已知角终边相同的角，内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以方法是：用所给角除以3600(2)3600(2)所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：度数除以所给角是负的：度数除以3600(23600(2），商是负数，它的绝对值应比被），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大除

18、数为其相反数时相应的商大1 1，以便使余数为正值。，以便使余数为正值。2.2.判断一个角是第几象限角，判断一个角是第几象限角，方法是：把所给角方法是：把所给角 改写改写(gixi)(gixi)成成 ： 0+k 3600 0+k 3600 ( KZ,00 0( KZ,00 03600) 3600) 的形式，的形式， 0 0在第几象限在第几象限, , 就是第几象限角。就是第几象限角。0 0 +k+k22 ( KZ, 0( KZ, 0 0 02 2 ) ) 第22页/共33页第二十三页，共34页。合作合作(hzu)(hzu)探究练习探究练习3 3：(1)(1)在半径为在半径为R R的圆中，的圆中，2

19、40240的中心角所对的弧长为的中心角所对的弧长为 ，面积为，面积为2R 22R 2的扇的扇形的中心角等于形的中心角等于 弧度。弧度。(2)(2)一手表现发现走慢十五分钟需调正一手表现发现走慢十五分钟需调正, ,分针要转多少弧度分针要转多少弧度? ?解：（解：（1 1）240240 = = ，根据，根据l l=R R，得，得4343lRrad290(2)(2)需顺时针转需顺时针转9090度度, ,即为即为 根据根据S S= = lR= lR= R R2 2，且，且S S=2=2R R2 2. .2121所以所以(suy) =4.(suy) =4.第23页/共33页第二十四页，共34页。Zkk,

20、360 1 =18057.3057 18 1 radrad0.01745rad1803.3.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长和面积公式.(.(角度角度(jiod)(jiod)和和弧度制弧度制) )第24页/共33页第二十五页，共34页。第25页/共33页第二十六页，共34页。谢谢同学谢谢同学(tng xu)(tng xu)们配合们配合! !欢迎各位专家和老师提出宝贵意见欢迎各位专家和老师提出宝贵意见! !第26页/共33页第二十七页，共34页。在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中任取象限的一个角系中任取象限的一个角 ，其其 和和角所在象限怎样变化？

21、角所在象限怎样变化？212第27页/共33页第二十八页，共34页。已知已知,角的终边相同角的终边相同(xin tn)，那么，那么的终边在（的终边在（ ） A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A第28页/共33页第二十九页，共34页。在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，那么终边互相垂直，那么(n me)与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD第29页/共33页第三十页，共34页

22、。若若是第四象限是第四象限(xingxin)角，则角，则180是是（ ） A 第一象限第一象限(xingxin)角角 B 第二象限第二象限(xingxin)角角 C 第三象限第三象限(xingxin)角角 D 第四象限第四象限(xingxin)角角C第30页/共33页第三十一页，共34页。1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm,求扇形的圆心角的弧度数。（2）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么(shn me)值时，才能使扇形的面积取得最大？最大面积是多少？第31页/共33页第三十二页，共34页。Zkk,360 1 =18057.3057 18 1 radrad0.01745rad1803.3.扇形的弧长和面积扇形的弧长和面积(min j)(min j)公式公式.(.(角度和角度和弧度制弧度制) )第32页/共33页第三十三页，共34页。感谢您的观看(gunkn)。第33页/共33页第三十四页，共34页。