安徽省宣城市2020届高三数学第二次调研测试试题 文(含解析)

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1、安徽省宣城市2020届高三数学第二次调研测试试题 文(含解析)第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.复数(是虚数单位)的虚部是( )A. B. C. 3D. 6【答案】C【解析】分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【详解】解:复数2+3i复数(i是虚数单位)的虚部是3故选:C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念,是基础题2.设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解分式不等式化简集合B,进行补集、交集的运算即可【详解】,又故选:D【点睛】本题考查描述法的定义,

2、考查不等式的解法,以及补集和交集的运算3.设,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数的单调性即可得出结果【详解】,故选:A【点睛】本题考查了指数函数与对数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题4.已知平面向量,满足,与的夹角为,若,则实数的值为( )A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和向量垂直的条件即可得到实数的值【详解】解:,与的夹角为,|cos60且满足,()0, |20,即+10,解得-1,故选:A【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质,主要考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基础题5.我国

3、明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问:乙应该分得( )白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石【答案】C【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石,求出公差18,再由180,能求出甲应该分得78石,进而可得结果【详解】解:今有百米一百八十石,甲乙丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,18,180,解得78(石)7818=6

4、0石乙应该分得60石故选:C【点睛】本题考查等差数列的首项的求法,考等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6.已知为角终边上一点,且,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得,借助三角函数定义可得m值与.【详解】,解得又为角终边上一点,故选:B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和正切公式,属于基础题7.下列命题中错误的是( )A. 若为假命题,则与均为假命题B. 已知向量,则是充分不必要条件C. 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”D. 命题“,”的否定是“,”【答案】B【解析】【分析】利用复合命题的真假判断A的正误;充要条件判断B的正误;四

5、种命题的逆否关系判断C的正误;命题的否定形式判断D的正误【详解】解:若“”为假命题,则p与q均为假命题,正确;已知向量,则“”可得,解得或,所以“”是“”的必要不充分条件,所以B不正确;命题“若,则的逆否命题为“若,则”,满足逆否命题的形式,正确;命题“,”的否定是“,”满足命题的否定形式,正确;故选:B【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用,四种命题的逆否关系,复合命题的真假,充要条件等知识,是基本知识的考查8.设,满足约束条件,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解:设,则的几何意义为区

6、域内点到点D(2,2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由图像可知:PB斜率最小,PA斜率最大即的取值范围是,故选:D【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题利用数形结合是解决本题的关键9.已知双曲线和椭圆有相同的焦点,则的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意可得,利用“乘1”与均值不等式可得结果.【详解】双曲线和椭圆有相同的焦点,当且仅当,即时,等号成立,的最小值为3故选:B【点睛】本题考查了圆锥曲线的简单几何性质,考查了均值不等式的应用,考查了转化能力与计算能力,属于中档题.10.在中,角

7、,成等差数列,且对边分别为,若,则的内切圆的半径为( )A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由题意可求B,进而可求ca40,由余弦定理可得a+c13,然后利用面积法求解即可【详解】角,成等差数列,即,即,由余弦定理b2c2+a22cacosB,可得:49a2+c2ac(a+c)23ac(a+c)2120,解得:a+c13,设ABC的内切圆的半径为r,则(a+b+c)racsinB,可得:(5+8+7)r58,可得ABC的内切圆的半径r故选:A【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,考查了平面向量的数量积的运算,考查了转化思想,属于中档题11.一个几何

8、体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,最大面积是( )A. 2B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,且PAAB2即可得出结果【详解】解:如图所示,由三视图可知:该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,且PAAB2,最大面为PBD,故选:C【点睛】本题考查了三视图、空间位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12.已知函数的图象上存在点,函数的图象上存在点,

9、且,关于轴对称,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若函数的图象上存在点,函数的图象上存在点,且,关于轴对称,则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点,即方程x2+2(x,e)有解.【详解】解:函数y的图象与函数yx2+2的图象关于x轴对称,若函数的图象上存在点,函数的图象上存在点,且,关于轴对称,则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点,即方程x2+2(x,e)有解,即ax2+28lnx(x,e)有解,令f(x)x2+2,则f(x),当x,2)时,f(x)0,当x(2,e时,f(x)0,故当x2时,f(x)取最小值,由f(),f(e),故当x时,f(x)取最

10、大值,故a,故选:D【点睛】本题考查的知识点是函数的零点存在性及个数判断,利用导数研究函数的单调性与最值,难度中档第卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知圆:,直线:,在上随机选取一个数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆心到直线l的距离dr,列出不等式求出k的取值范围,利用几何概型的概率计算即可【详解】解:圆C:x2+y21的圆心为(0,0),半径为r1;且圆心到直线l:yk(x+2)的距离为d,直线l与圆C相交时dr,1,解得k,故所求的概率为P故答案为:【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题,也考查了直线与

11、圆相交的性质与应用问题,是基础题14.顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品,工艺师带一名徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成初级加工,再由工艺师进行精细加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下表所示,则最短交货期_个工作日工序原料时间初级加工精细加工原料甲510原料乙415【答案】29【解析】【分析】由题意分析结合最优化思想可得加工方案,可得最短时间【详解】解:由题意可得交货日期最短即耽误工期最少,故先让徒弟加工原料乙需4小时,再由师傅精加工需15小时,师傅精加工期间徒弟用5小时可把原料甲初加工,然后再由师傅精加工A需10小时,故

12、最短时间为4+15+1029故答案为:29【点睛】本题考查最优化问题,考查学生们分析问题解决问题的能力,属基础题15.已知,三点在球的表面上,且球心到平面的距离等于球半径的,则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设出球的半径,小圆半径,通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积【详解】解:设球的半径为r,O是ABC的外心,外接圆半径为R,球心O到平面ABC的距离等于球半径的,得r2r2,得r2球的表面积S4r24故答案为:【点睛】本题考查球O的表面积,考查学生分析问题解决问题能力,空间想象能力,是中档题16.已知抛物线:,过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于,两点,且,则_.【答案】3【解析】【

13、分析】首先写出抛物线的焦点坐标,然后求解直线的方程,利用焦半径公式求解比值【详解】解:抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(,0),直线l倾斜角为60,直线l的方程为:y0(x)设直线与抛物线的交点为A(,)、B(,),|AF|,|BF|,联立方程组,消去y并整理,得12x220px+3p20,解得,|AF|2p,|BF|,|AF|:|BF|3:1,的值为3故答案为:3【点睛】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识,属于中档题三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列的前项和,且的最小值是-4(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的

14、前项和【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由的最小值是-4可得,利用可得数列的通项公式;(2),利用错位相减法可得结果.【详解】(1)因为,所以当时,其最小值为,即,所以,当时,当时,.综上:.(2)由(1)可知:,令,则,两式相减得: ,化简得.【点睛】本题考查算了通项公式求解,错位相消法数列求和,考查数列中an与 Sn关系的应用和计算能力18.某单位共有职工1000人,其中男性700人,女性300人,为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)(1)根据这200个样本数据,得到职工每周平均体育运动时间

15、的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:,.估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(2)估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数(保留两位小数);(3)在样本数据中,有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”,0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附:.【答案】(1);(2),;(3)有.【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求得对应的概率值;(2)由频率分布直方图可得该单位职工每周平均体育运动时间

16、的平均数和中位数;(3)由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论【详解】(1)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为,所以该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(2)平均值: .中位数:,解得,所以中位数是.(3)由(2)知,200位职工中有(位)的每周平均体育运动时间超过4小时,50人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有140份是关于男职工的,60份是关于女职工的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男女总计每周平均体育运动时间不超过4小时302050每周平均体育运动时间超过4小时11040150总计14060200

17、.所以有的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题19.如图,在四棱锥中,底面为菱形,点在线段上,且,分别为,的中点(1)求证:平面;(2)若平面平面,求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)连结,则与交于点,连接,易知为的中位线,所以,从而问题得证;(2)由题意易证平面,所以.同理可证平面,根据等积法可得结果.【详解】证明:(1)如图,连结,则与交于点,连接,易知为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面.(2)因为平面平面,平面平面,为的中点,所以,所

18、以平面,所以.又四边形为菱形,所以,所以,又,所以平面,所以平面,又,所以 ,即三棱锥的体积为.另解:.【点睛】本题考查几何体的体积的求法,直线与平面平行的判断与证明,考查空间想象能力以及计算能力,转化思想的应用20.已知椭圆:的右焦点为,其长轴长是短轴长的倍(1)求椭圆的方程;(2)问是否存在斜率为1的直线与椭圆交于,两点, , 的重心分别为,且以线段为直径的圆过原点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由题意得:,从而得到椭圆的方程;(2)假设存在这样的直线,设其方程为,联立方程可得,即结合韦达定理可得,从而得到直线的方程.【详解】(1

19、)由题意得:,解得,即所求椭圆的方程为.(2)假设存在这样的直线,设其方程为.由得.其,解得:.设,则.又,所以,由题意知,以线段为直径的圆过原点,所以,则,所以,则,则,解得.所以存在这样的直线,其方程为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,韦达定理的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题21.已知函数,.(1)求的单调区间;(2)当时,证明【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数,解含参二次不等式即可得到的单调区间;(2)证明,即求的最小值大于4即可.【详解】(1)由题设知:,令,解得或(舍),当,解得,当,

20、解得,即的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)知:,令,因为,所以当时,所以,使得,所以,即.当时,即,所以在上单调递减,当时,即,所以在上单调递增,所以 ,.令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以.【点睛】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及不等式的证明,考查转化能力与计算能力,是一道中档题请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点作倾斜角为的直线与圆交于,两点,试求的值【答案】(1);(2

21、).【解析】【分析】(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求出直线的参数方程,代入圆的方程可得:,利用根与系数的关系可得结果.【详解】(1)将曲线的极坐标方程,化为直角坐标方程为;(2)直线的参数方程为:(为参数),将其带入上述方程中得:,则,所以.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题选修4-5:不等式选讲23.已知函数和的图象关于原点对称,且(1)解关于的不等式;(2)如果对,不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)利用零点分段法解含绝对值不等式即可;(2)对,不等式恒成立,即,求的最小值即可.【详解】(1)由题意可得,所以.时,解得,所以;时,解得,所以;综上:.(2)因为,即.令,所以.即【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题,考查转化能力与计算能力,属于中档题.

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