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1、安徽省宣城市2020届高三数学第二次调研测试试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数（是虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】C【解析】分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【详解】解：复数2+3i复数（i是虚数单位）的虚部是3故选：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解分式不等式化简集合B，进行补集、交集的运算即可【详解】，又故选：D【点睛】本题考查描述法的定义，
2、考查不等式的解法，以及补集和交集的运算3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数的单调性即可得出结果【详解】，故选：A【点睛】本题考查了指数函数与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.已知平面向量，满足，与的夹角为，若，则实数的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和向量垂直的条件即可得到实数的值【详解】解：，与的夹角为，|cos60且满足，（）0， |20，即+10，解得-1，故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题5.我国
3、明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（ ）白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石【答案】C【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差18，再由180，能求出甲应该分得78石，进而可得结果【详解】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，18，180，解得78（石）7818=6
4、0石乙应该分得60石故选：C【点睛】本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.已知为角终边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】，解得又为角终边上一点，故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题7.下列命题中错误的是（ ）A. 若为假命题，则与均为假命题B. 已知向量，则是充分不必要条件C. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】B【解析】【分析】利用复合命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；四
5、种命题的逆否关系判断C的正误；命题的否定形式判断D的正误【详解】解：若“”为假命题，则p与q均为假命题，正确；已知向量，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B不正确；命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；故选：B【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知识，是基本知识的考查8.设，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：设，则的几何意义为区
6、域内点到点D（2，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图像可知：PB斜率最小，PA斜率最大即的取值范围是，故选：D【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题利用数形结合是解决本题的关键9.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意可得，利用“乘1”与均值不等式可得结果.【详解】双曲线和椭圆有相同的焦点，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为3故选：B【点睛】本题考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了均值不等式的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.10.在中，角
7、，成等差数列，且对边分别为，若，则的内切圆的半径为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由题意可求B，进而可求ca40，由余弦定理可得a+c13，然后利用面积法求解即可【详解】角，成等差数列，即，即，由余弦定理b2c2+a22cacosB，可得：49a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）2120，解得：a+c13，设ABC的内切圆的半径为r，则（a+b+c）racsinB，可得：（5+8+7）r58，可得ABC的内切圆的半径r故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量的数量积的运算，考查了转化思想，属于中档题11.一个几何
8、体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（ ）A. 2B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAB2即可得出结果【详解】解：如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，最大面为PBD，故选：C【点睛】本题考查了三视图、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，
9、且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点，即方程x2+2（x，e）有解.【详解】解：函数y的图象与函数yx2+2的图象关于x轴对称，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点，即方程x2+2（x，e）有解，即ax2+28lnx（x，e）有解，令f（x）x2+2，则f（x），当x，2）时，f（x）0，当x（2，e时，f（x）0，故当x2时，f（x）取最小值，由f（），f（e），故当x时，f（x）取最
10、大值，故a，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数的零点存在性及个数判断，利用导数研究函数的单调性与最值，难度中档第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知圆：，直线：，在上随机选取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆心到直线l的距离dr，列出不等式求出k的取值范围，利用几何概型的概率计算即可【详解】解：圆C：x2+y21的圆心为（0，0），半径为r1；且圆心到直线l：yk（x+2）的距离为d，直线l与圆C相交时dr，1，解得k，故所求的概率为P故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，也考查了直线与
11、圆相交的性质与应用问题，是基础题14.顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期_个工作日工序原料时间初级加工精细加工原料甲510原料乙415【答案】29【解析】【分析】由题意分析结合最优化思想可得加工方案，可得最短时间【详解】解：由题意可得交货日期最短即耽误工期最少，故先让徒弟加工原料乙需4小时，再由师傅精加工需15小时，师傅精加工期间徒弟用5小时可把原料甲初加工，然后再由师傅精加工A需10小时，故
12、最短时间为4+15+1029故答案为：29【点睛】本题考查最优化问题，考查学生们分析问题解决问题的能力，属基础题15.已知，三点在球的表面上，且球心到平面的距离等于球半径的，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积【详解】解：设球的半径为r，O是ABC的外心，外接圆半径为R，球心O到平面ABC的距离等于球半径的，得r2r2，得r2球的表面积S4r24故答案为：【点睛】本题考查球O的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题16.已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则_.【答案】3【解析】【
13、分析】首先写出抛物线的焦点坐标，然后求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值【详解】解：抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（，0），直线l倾斜角为60，直线l的方程为：y0（x）设直线与抛物线的交点为A（，）、B（，），|AF|，|BF|，联立方程组，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得，|AF|2p，|BF|，|AF|：|BF|3：1，的值为3故答案为：3【点睛】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列的前项和，且的最小值是-4（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的
14、前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的最小值是-4可得，利用可得数列的通项公式；（2），利用错位相减法可得结果.【详解】（1）因为，所以当时，其最小值为，即，所以，当时，当时，.综上：.（2）由（1）可知：，令，则，两式相减得： ，化简得.【点睛】本题考查算了通项公式求解，错位相消法数列求和，考查数列中an与 Sn关系的应用和计算能力18.某单位共有职工1000人，其中男性700人，女性300人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）根据这200个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间
15、的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，.估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）；（3）在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”，0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：.【答案】（1）；（2），；（3）有.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得对应的概率值；（2）由频率分布直方图可得该单位职工每周平均体育运动时间
16、的平均数和中位数；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论【详解】（1）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为，所以该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（2）平均值： .中位数：，解得，所以中位数是.（3）由（2）知，200位职工中有（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，50人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有140份是关于男职工的，60份是关于女职工的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男女总计每周平均体育运动时间不超过4小时302050每周平均体育运动时间超过4小时11040150总计14060200
17、.所以有的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，点在线段上，且，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结，则与交于点，连接，易知为的中位线，所以，从而问题得证；（2）由题意易证平面，所以.同理可证平面，根据等积法可得结果.【详解】证明：（1）如图，连结，则与交于点，连接，易知为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面，为的中点，所以，所
18、以平面，所以.又四边形为菱形，所以，所以，又，所以平面，所以平面，又，所以 ，即三棱锥的体积为.另解：.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断与证明，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用20.已知椭圆：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍（1）求椭圆的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点， ， 的重心分别为，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得：，从而得到椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设其方程为,联立方程可得,即结合韦达定理可得,从而得到直线的方程.【详解】（1
19、）由题意得：，解得，即所求椭圆的方程为.（2）假设存在这样的直线，设其方程为.由得.其，解得：.设，则.又，所以，由题意知，以线段为直径的圆过原点，所以，则，所以，则，则，解得.所以存在这样的直线，其方程为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，证明【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，解含参二次不等式即可得到的单调区间；（2）证明，即求的最小值大于4即可.【详解】（1）由题设知：，令，解得或（舍），当，解得，当，
20、解得，即的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知：，令，因为，所以当时，所以，使得，所以，即.当时，即，所以在上单调递减，当时，即，所以在上单调递增，所以 ，.令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化能力与计算能力，是一道中档题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值【答案】（1）；（2
21、）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23.已知函数和的图象关于原点对称，且（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）利用零点分段法解含绝对值不等式即可；（2）对，不等式恒成立，即，求的最小值即可.【详解】（1）由题意可得，所以.时，解得，所以；时，解得，所以；综上：.（2）因为，即.令，所以.即【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.
安徽省宣城市2020届高三数学第二次调研测试试题 文（含解析）
