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1、第八讲 三角函数一、知识梳理1.任意角：按逆时针旋转所成的角为正角，按顺时针旋转所成的角为负角.2.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3.与角终边相同的角的集合为4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度.5.半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是.6.弧度制与角度制的换算公式：，.7.若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，.8.设是一个任意角，的终边上任意一点P的
2、坐标是，它与原点的距离是，则，.9.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.10.同角的三角函数关系：（1）；（2）.11.函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限.）（1），.（2），.（3），.（4），.（5），.（6），.12两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） ；（6） 13.二倍角的正弦、余弦和正切公式：（1）（2）升幂公式：降幂公式：， （3）二、方法归纳（1）在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.（2）弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度
3、与角度的换算，熟记特殊角的弧度制.（3）三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式.重视用数学定义解题.数形结合.充分利用单位圆中的三角函数线帮助解题；（4）利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与之间函数值关系（kZ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.等价变换.熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；三、典型例题精讲例1、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则_.答案：8解析：r，sin，sin，解得y8.跟踪训练：已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=A
4、B C. D.答案：B解析：解法1：在角终边上任取一点P（a，2a）（a0），则r22a2（2a）25a2，cos2，cos22cos211.解法2：tan2，cos2.例2 、若角的终边落在直线上，则的值等于（ ） A B C 或 D 答案： D解析：，当是第二象限角时，；当是第四象限角时，.例3、已知是第二象限的角，则=_.答案： 解析：， 例4、已知为第二象限的角，则 .答案：解析：因为为第二象限的角，又， 所以，所以变式训练：若，且，则的值等于（）A. B. C. D.答案：D解析：因为sin2cos2sin212sin21sin2cos2，cos2，sin21cos2，cos，sin
5、，tan，故选D.例5、（A） （B）- （C） （D） 答案： C解析：例6、已知，则（ ） （A） （B） （C） （D）答案：B解析： 例7 、若= -，是第三象限的角，则=（ ）（A）- （B） （C） （D）答案： A 解析：由已知得，所以.变式训练：已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值_.答案：解法一：，0.+，sin（）=sin2=sin（）+（+）=sin（）cos（+）+cos（）sin（+）解法二：sin（）=，cos（+）=，sin2+sin2=2sin（+）cos（）=，sin2sin2=2cos（+）sin（）=，sin2=例8、如图，图中的实线是由三段
6、圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ . 答案：解析：又，所以.例9、若，则的值等于（）A2 B3 C4 D6答案： D解析： 因为2tan6，故选D.例10、若，则= （ ） A B C D 答案：D解析：例11、观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160-32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p= .答案：962解析：因为所以；观察可得，所以m n + p
7、=962.例12、若实数、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.答案解析：（1） x（-2，2）；（2）对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；（3） ，kZ，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，函数f（x）在区间单调递增，在区间单调递减，kZ四、课后练习1.设是方程的两个根，则的值为（ ）（A）-3 （B）-1 （
8、C）1 （D）32.若，则（ ）（A） （B） （C） （D）3.已知，(0，)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 14.设为锐角，若，则的值为 5. ，（）求的值.（）求.6. 求函数的最大值与最小值.7在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为（）求tan（）的值；（）求的值8. 已知函数.（）求的定义域； （）设为第四象限的角，且，求的值.9.已知的值.10. 已知.（）求的值；（）求的值.【参考答案】1.【答案】A 【解析】因为是方程的两个根，所以，所以，选A.2.【答案】D【解析】因为，所以，所以，又
9、，所以，选D.3.【答案】A【解析一】，故选A【解析二】，故选A4.【答案】.【解析】为锐角，即，.，.5.【解析】（）由，得，于是.（）由，得.又，由得，所以.6.【解析】.由于函数在中的最大值为，最小值为，故当时取得最大值，当时取得最小值.7.【解析】由已知条件及三角函数的定义可知，因为，为锐角，所以=，因此，（）tan（）= （） ，所以为锐角，=.8.【解析】（）由 得， 故在定义域为（）因为，且是第四象限的角，所以故.9.【解法一】由已知得：由已知条件可知于是故，将代入上式，得即为所求.【解法二】由已知条件可知，则，所以原式可化为，即，又，以下同解法一.10.【解析】（）解法一：因为，所以，于是故.解法二：由题设得，即又sin2x+cos2x=1，从而25sin2x-5sinx-12=0，解得sin x=或sin x=.因为，所以.（）因为，故，所以.
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