四川省宜宾市第一中学高三数学 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 新人教A版

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1、2.3函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在

2、括号中打“”或“”)(1)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)若函数f(x)为奇函数，则a2.()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数()(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 016)0.()1(2020山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)(11)2.2已知f

3、(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D答案B解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.3(2020四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f()_.答案1解析函数的周期是2，所以f()f(2)f()，根据题意得f()4()221.4设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(1,0)(1，)题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)

4、(x1) ；(3)f(x)解(1)定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以函数为奇函数(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)所以对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x)函数为奇函数思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立(1)若函

5、数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)等于()A1 B1C. D答案(1)B(2)B解析(1)由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数(2)f(2)2231.又f(x)为奇函数，f(2)f(2)1.题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2

6、)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于()A335 B336 C1 678 D2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案(1)B(2)2.5解析(1)利用函数的周期性求解f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 016)f(0)0.f(1)

7、f(2)f(3)f(2 015)336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思维升华(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值(2)求函数周期的方法(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f等于()A B C. D.答案(1)

8、A(2)A解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选A.(2)f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.题型三函数性质的综合应用例3(1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案(1)A(2)D解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|)

9、，根据这个结论，有f(2x1)ff(|2x1|)f，进而转化为不等式|2x1|，解这个不等式即得x的取值范围是.(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，所以f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)0，又log2a1log2a.f(x)是R上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f()f(log2a)f()2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又因f(x)在0，)上递增|log2

10、a|1，1log2a1，a，选C.忽视定义域致误典例：(1)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误：由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2)画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)答案(1)1(2)(1，1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义

11、域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并集还是交集方法与技巧1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性3若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数失误与防范1f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2判断分段函

12、数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可利用图象进行判断.A组专项基础训练(时间：30分钟)1(2020广东)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1答案C解析由奇函数的定义可知yx3，y2sin x为奇函数2已知f(x)在R上是奇函数，且f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2C98 D98答案A解析f(7)f(3)f(1)f(1)2.3(2020福建)已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)答案D解析

13、函数f(x)的图象如图所示，由图象知只有D正确4定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)(1)，即x0的解集为_答案x|x或x0等价于f(|x|)f()，又f(x)在0，)上为增函数，|x|，即x或x.8已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 015)_.答案解析方法一令x1，y0时，4f(1)f

14、(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1时，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1时，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6为周期的函数，f(2 015)f(33565)f(5).方法二f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 015)cos.9设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解(1)由f(x2

15、)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.10已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22

16、x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知所以10，且a1)若g(2)a，则f(2)等于()A2 B. C. Da2答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2.12设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa1或a Ba1C1a Da答案C解析函数

17、f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1，解得1a.13设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0,1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知

18、，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；在区间1,1上，f(x)的最大值为f(1)f(1)2，f(x)的最小值为f(0)1，故错误14已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解f(x)的定义域为2,2有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1.即实数m的取值范围是1,1)15函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1.