弹性力学答案

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1、1. 说明下列应变状态是否可能22c(xy)cxycxy2cy解:若应变状态可能，则应变分量应满足协调方程。.2_2.2二维情况下，协调方程为：一I2cyexccy_2_2_2xy-2_22畀c(xy).y；x:y2:2(cy)=2c2一(2cxy)=2c显然满足方程，故该应变状态可能。2、设.xy=卡二,其余应力分量为零，求该点的主应力及对应于最大主应力的主方向。Ii=02222I2Sery十CTyOz+0乙0IxylyzIzx=_2T0T0I3=T0=00T032CT-2TCT=0解:解得G-2.,6=0,6-2V2TT01、0AT-V2txm=00T-2T丿ln丿设对应于Ci的主方向为l

2、,m,n，有又有l2m2n2=11、21求得l,m,n=2223、一方板，z向厚度h=10mm,边长a=800mm，且平行于x,y轴，、二x=360MPa，二z=xz=xy=0，；y=0，若E=72Gpa,：=0.33,求二y和此板变形后的尺寸。解：（1）求二y1；y二y-（；x亠z）=0E.；y-.（；x；z）=118.8MPa（2）求；x1；x匚xy；z）=0.00446E.伸长.：a=；xa=0.00446800=3.56mm（3）厚度变化13；z=；z-：（；x；y）-2.1910-E.：h=2.191010=0.022mm4、平面应变问题中某点的三个应力分量为二x=100Mpa,；r

3、=50Mpa,.xy=50Mpa,求该点的三个主应力及妝。设弹性模量E=200GPa泊松比v=0.2。1、8分G=130.9MPa；2=30MPa；3=19.1MPa2、6分1-v2v；x二xy=0.00042E1v4、用逆解法求解圆截面柱体扭转问题的解.（提示：假定匚x=二y=z=xy=0）A解：(1)如图所示，由材料力学知距离圆心0点任意距离应力TP二,=；?2dxdypTT血=一sin二二一sin二二一一yIpIpTTyz二COS寸二一!?COS寸二一XIpIpTx=:二y-z-.xy=0(2)检验是否满足平衡微分方程和应力调协方程将应力分量分别代入平衡微分方程ij，jFbi=0(i,j

4、=x,y,z)和应力调协方程xyyzfor2C+ijkk,ij(where0=0+Txyaii:y：Z可知均满足方程.sin检验是否满足边界条件Py二Pz二0,方向余弦I二cosm，代人Pi二匚ijnj,能精确满足.端部：(匚z)z=0,I二0满足Mx二zydxdy=0,满足My二；zxdxdy二0,满足X二zxdxdy-0,利用圣维南原理，近似满足Y二zydxdy二0,利用圣维南原理，近似满足T=(xzy-yzx)dxdy,利用圣维南原理，近似满足可知利用圣维南原理，也可满足。故这些应力分量是圆截面柱体扭转问题的解。5、不计体力，设一物体内的位移分量为u=v=0,w=w(z),求位移函数w=

5、w(z).解:(1)由几何方程，求得应变分量：x=0,y=0,zdwdzyzxy(2)由物理方程，求得应力分量：CF二2厂r.kkdwdzdw=(2)dzxyyzzx(3)利用平衡微分方程求解：duXXdT+-dTzx二0+yxyzdTdty-+zy+-xy二0yzxdtdtz+xz+-yz二0zx:y前两个方程满足，由第三个方程有.2dw(2)02dz对该式积分得：W=C1ZC2(ci。为常数)不考虑刚体位移，则C2二0W二CiZ6、求应力分量(可假设：X=0)用半逆解法。h解:假设G=0,G二一=0cy=yfi(x)f2(x)代入双调和方程：:x42=032f1(x)=C2xC3xC4xC

6、532f2(x)=C6xC7xC8xC9=y(C2x3C3x2C4x)C6x3C7x2(一次项不要)由公式0二,.xy二一:xx:y=y(6C2x2C3)(6C6x2C7)2.xy二-(3C2x2C3xC4)边界条件：左边：C=X)x生=0,(.xy)x=0有C4=0右边:(；x)x土=0,(.xy)x仝=q有3C2h2C3h=q(1)上边(；y)y占=0有C6=C7=0而.xy显然不满足，应采用圣维南原理hh2xydx=(_3C2x-2C3x)dx=0即32C2hC3h=0(2)联立(1),(2)得C2,C3应力分量的最后解答为二x=0yx-y=2q(1一3)hhxxxy=q(32)hh分析

7、下列应力函数可解决什么样的平面应力问题3_3Fxyq2f(xy2)y4C3C2解:经验证，该应力函数满足双调和方程求应力分量2洽3Fx?yq2CCx-2：y孑-二0.xyCy23Fy(12):x:y4CC(3)建立如图所示坐标系，考虑物体边界条件上下边界：y-_C,G=0,xy=0左边界：-x=q而.xy的合力为F解决问题：悬臂梁在自由端受轴向拉力和横向集中力作用。8、契形体顶部受力偶解：可设二f，求得=Acos2nBsin2)D利用反对称，A=D=0最后得，rMMcos2aB,C=sin2二一2-cos2：sin2：一-2：cos2:qosin(ny/a)a9、如图边长为a的方板，其应力解是

8、否为；x=qoSin（二y/a）,二y=0,.xy=0?说明理由。解：虽然该解满足边界条件和平衡微分方程，但不满足协调方程。2210、设有应力场二X=y，二y-x，二z=xy=yz=zx=0，它是否能成为某弹性力学问题的解11、图示1/4薄圆板，一边固定一边受线性分布荷载。试分别写出直角坐标和极坐标系的边界条件。12、在极坐标中，二Cd可否作为应力函数？如可，求出应力分量，并考察此应力分量可表示何种有意义的工程问题。13、悬臂梁沿下边受均布剪力，而上边和x=l的一端不受荷载时，可用应力函数123l2l3=s（-xy得出解答。并说明此解答在哪些方面是不完善的。44c4c4c4c解：1、验证是否满

9、足74=0，满足;2a2x一厂=S(-：y4c2、求应力分量6xy2l6ly)22)4c4c4cG亍=oex2皿2&12y3yxys(r)：x：y44c4c3、验证边界条件主要边界:上边（匚yhnO,满足，（）y“.=0,满足下边（二y）y仝=0,满足，（yx）y仝二S,满足（二x）x=O,满足次要边界：（.xy）x=o,不可能精确满足，c利用圣维南原理，（）x丄bdy=0,满足匚c4、此解答在固定端和自由端附近有较大误差。14、试确定应力函数=c即（cos2-cos2）中的常数c值，使满足图中边界条件（坊0=0，（闻傘c（=s;（坊q）qi-ot=0,（曲舉-0（二s;。并证明契顶没有集中力或集中力偶。解：1、验证是否满足v4;:=0，满足;2、求应力分量_1,:二，尸+HPcP匚=兀=2c2工1:G,（cos2：沪cos2：）2=-2c（cos2:+cos2-）:3、边界条件（cr=：.=，（二）=-.=0,满足;（-.：）=-.=S；（-）=-一=-S；可得C二2sin2a4、证明顶点无集中力或集中力偶j*20zx