学案5 数列的应用课件

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1、学案5 数列的应用课件数列的应用数列的应用1.1.运用等差数列、等比数列的有关知识，解运用等差数列、等比数列的有关知识，解决两种数列互相交叉、互相渗透的一些综合决两种数列互相交叉、互相渗透的一些综合问题问题. .2.2.理解一般数列的求和方法理解一般数列的求和方法. .3.3.初步掌握数列的递推公式，运用这些知识初步掌握数列的递推公式，运用这些知识解决一些综合问题解决一些综合问题. .4.4.通过解决数列型应用题，提高分析问题和通过解决数列型应用题，提高分析问题和解决问题的能力，学会如何建立数学模型，解决问题的能力，学会如何建立数学模型，解决实际问题解决实际问题. .学案5 数列的应用课件 从

2、近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题的综合问题，或者与数列有关的应用题.数列与函数、方数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面注意的方

3、面.学案5 数列的应用课件 1.数列的综合应用数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会. （1）数列是一种特殊的）数列是一种特殊的 ，解数列题要注意，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法运用方程与函数的思想与方法. （2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为法

4、，复杂的数列问题经常转化为 、 数列数列或常见的特殊数列问题或常见的特殊数列问题.函数函数 等差等差 等比等比 学案5 数列的应用课件 （3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的. （4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对列中，经常要对 进行讨论；由进行讨论；由Sn求求an时，要对时，要对 进

5、行分类讨论进行分类讨论. 2.数列的实际应用数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型容，解答应用问题的核心是建立数学模型.n=1或或n2公比公比 学案5 数列的应用课件 （1）建立数学模型时，应明确是）建立数学模型时，应明确是 模型、模型、 模型，还是模型，还是 模型，是求模型，是求an还是求还是求Sn. （2）数列综合应用题的解题步骤）数列综合应用题的解题步骤 审题审题弄清题意弄清题意,分析涉及哪些数学内容分析涉及哪些数学内容,在每在每个数学内容中个数学内容中,各是什么问题各是什么问题.

6、分解分解把整个大题分解成几个小题或几个把整个大题分解成几个小题或几个“步步骤骤”，每个小题或每个小，每个小题或每个小“步骤步骤”分别是数列问题、函分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等数问题、解析几何问题、不等式问题等. 求解求解分别求解这些小题或这些小分别求解这些小题或这些小“步骤步骤”，从而得到整个问题的解答从而得到整个问题的解答.递推数列递推数列 等差数列等差数列 等比数列等比数列 学案5 数列的应用课件 具体解题步骤如下框图具体解题步骤如下框图:学案5 数列的应用课件 3 3、数列应用题常见模型、数列应用题常见模型 (1)银行储蓄单利公式银行储蓄单利公式 利息按单利计算，

7、本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y= . (2)银行储蓄复利公式银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率元，每期利率为为r，存期为，存期为x,则本利和则本利和y= . (3)产值模型产值模型 原来产值的基础数为原来产值的基础数为N,平均增长率为平均增长率为p,对于时间对于时间x的总的总产值产值y= . (4)分期付款模型分期付款模型 a为贷款总额为贷款总额,r为年利率为年利率,b为等额还款数为等额还款数,则则. .1 1- -r)r)(1(1a ar)r)r(1r(1b b

8、n nn n+=a(1+xr)a(1+r)xN(1+p)x学案5 数列的应用课件已知已知an是首项为是首项为19，公差为，公差为-2的等差数列，的等差数列，Sn为为an的前的前n项和项和.（1）求通项）求通项an及及Sn;（2）设）设bn-an是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，求数的等比数列，求数列列bn的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Tn.学案5 数列的应用课件 【解析】【解析】（1）an是首项为是首项为a1=19,公差为公差为d=-2的的等差数列，等差数列，an=19-2(n-1)=21-2n,Sn=19n+ n(n-1)(-2)=20n-n2.（2）由题意得）由题意得

9、bn-an=3n-1，即，即bn=an+3n-1,bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+3n-1)=-n2+20n+ . 【分析】【分析】在在an中，因为中，因为a1,d已知，则已知，则an可求，可求，Sn可求，而数列可求，而数列bn-an中，首项、公比已知，则通项可中，首项、公比已知，则通项可求，所以求，所以bn可求可求.21213n 学案5 数列的应用课件 （1）等差数列与等比数列相结合的综合问）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历项和

10、公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点年命题的热点. （2）利用等比数列前）利用等比数列前n项和公式时注意公比项和公式时注意公比q的取的取值值.同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解条件联立方程求解.学案5 数列的应用课件已知正项数列已知正项数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且 是是 与与(an+1)2的等比中项的等比中项.（1）求证：数列）求证：数列an是等差数列；是等差数列；（2）若）若bn= ，数列，数列bn的前的前n

11、项和为项和为Tn，求，求Tn.nn2anS41学案5 数列的应用课件 【解析】【解析】 （1）证明：由题知）证明：由题知Sn= (an+1)2,当当n=1时，时，a1= (a1+1)2,a1=1,当当n2时，时，an=Sn-Sn-1= (an+1)2- (an-1+1)2,(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an0,an-an-1-2=0.即当即当n2时，时，an-an-1=2.数列数列an是等差数列是等差数列. 41414141学案5 数列的应用课件 （2）由（）由（1）知数列）知数列an是以是以1为首项，以为首项，以2为公差的等为公差的等差数列差数列.an=1+(n-1)2=2n

12、-1.bn= = ，则则Tn= + + + + , Tn= + + + + , 由由-得得21nn2a又又n21-2n2233251n23-2n n21-2n21221323425n23-2n1n21-2n 学案5 数列的应用课件411nn1n1n1n21nn32n23n23T21n22112121n22112114122121n2212121221T21 学案5 数列的应用课件已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且Sn=n-5an-85,nN*.（1）证明：）证明：an-1是等比数列；是等比数列；（2）求数列）求数列Sn的通项公式，并求出的通项公式，并求出n为何值时，为何值时，

13、Sn取得最小值？并说明理由取得最小值？并说明理由.由于由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公故可由公式法求通项公式的思路消去式的思路消去Sn，建立，建立an与与an-1的关系的关系.学案5 数列的应用课件 【解析】【解析】 (1)证明证明:Sn=n-5an-85, 当当n=1时时,S1=1-5a1-85, 即即a1=1-5a1-85,解得解得a1=-14; 当当n2时时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-(n-1)-5an-1-85=-5an+5an-1+1,整理得整理得6an=5an-1+1,6(an-1)=5(an-1-1), .又又a1-1=-15,数列数列an-1是

14、以是以-15为首项为首项, 为公比的等比数列为公比的等比数列.651a1a-1nn 65学案5 数列的应用课件(2)由由(1)知知,an-1=-15 ,an=-15 +1,代入代入Sn=n-5an-85,得得Sn=n-5(-15) +1-85=n+75 -90. Sk-1Sk Sk+1Sk, ak0 ak+10， -15 +10 -15 +10, 1511n65 1n65 1n65 1n65 设设Sk为最小值，则为最小值，则 即即 1k65 k65 1k65 k65 151即即 学案5 数列的应用课件 即即又又lg20.301 0,lg30.477 1, 14.9.14.9k15.9.又又kN

15、*，k=15.即当即当n=15时，时，Sn取得最小值取得最小值. 151logk151log1k65651151logk151log6565 3lg2lg21)12lg3(lg65lg151lg151log65 151log65学案5 数列的应用课件 在数列中，若在数列中，若Sn与与an关系已知，求通项用公关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法的特点，如本题中最小值的求法.学案5 数列的应用课件设各项均

16、为正数的数列设各项均为正数的数列an的前的前n项和为项和为Sn,已知已知2a2=a1+a3,数列数列 是公差为是公差为d的等差数列的等差数列.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式(用用n,d表示表示);(2)设设c为实数为实数,对满足对满足m+n=3k且且mn的任意正整数的任意正整数m,n,k,不等式不等式Sm+SncSk都成立都成立,求证求证:c的最大值为的最大值为 .nS29学案5 数列的应用课件 【解析】【解析】 (1) 是等差数列是等差数列, .又又2a2=a1+a3, ,平方得平方得3a1+a2=2 ,即即 =0,a2=3a1,d= ,即即 =d, ,Sn=n2d2.当当n2时

17、时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且对且对n=1成立成立,an=(2n-1)d2.nS2121a3aaa2 312SSS2 21aa3 212a3a 11112aaa2SS 1Sndd)1n(SS1n 学案5 数列的应用课件(2)证明证明:由由Sm+SncSk得得m2+n2ck2,即即c ,m+n=3k, = .2mnm2+n2(mn), ,c ,c的最大值为的最大值为 .222knm 222knm 2mnnm)n9(mn)(m)n9(m2222222 222knm 29n)(m)n9(m222 2929学案5 数列的应用课件假设某市假设某市2010年新建

18、住房年新建住房400万平方米万平方米,其中有其中有250万平方米是万平方米是中低价房中低价房,预计在今后的若干年内预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均该市每年新建住房面积平均比上一年增长比上一年增长8%.另外另外,每年新建住房中每年新建住房中,中低价房的面积均比中低价房的面积均比上一年增加上一年增加50万平方米万平方米.那么那么,到哪一年底到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面（以该市历年所建中低价房的累计面（以2010年为累计的第一年为累计的第一年）将首次不少于年）将首次不少于4 750万平方米？万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首当年建造的中

19、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不大于次不大于85%（参考数据：（参考数据：1.0841.47， 1.0881.59 ）学案5 数列的应用课件【分析】【分析】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+ 50=25n2+225 4 750.(2)a10.85bn,bn=4001.08n-1.21)-n(n【解析】【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知由题意可知an是等差数列，其中是等差数列，其中a1=250，d=50，则则an=250+（n-1）50=50n+200，Sn=250n+

20、50=25n2+225n,令令25n2+225n4 750,即即n2+9n-1900,而而n是正整数，是正整数，n10.2 1)-n(n学案5 数列的应用课件到到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于于4 750万平方米万平方米.（2）设新建住房面积形成数列）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数是等比数列，其中列，其中b1=400，q=1.08,则则bn=400（1.08）n-1.由题意可知由题意可知an0.85bn,即即50n+200400（1.08）n-10.85.当当n=5时，时，a50.85b5,

21、当当n=6时，时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数满足上述不等式的最小正整数n为为6.到到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于积的比例首次大于85%.学案5 数列的应用课件 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.学案5 数列的应用课件某地区原有木材存量为某地区原有木材存量为a，且每年增长

22、率为，且每年增长率为25%,因生产因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设，设an为为n年后年后该地区森林木材存量该地区森林木材存量.（1）求）求an的表达式；的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于林木材存量不少于 a,如果如果b= a，那么该地区今后会，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取取lg2=0.30)?977219学案5 数列的应用课件【解析】【解析】（1）解法一：设第一年的森林木材存量为）解法一：设第一年的森

23、林木材存量为a1,第第n年后的森林木材存量为年后的森林木材存量为an,则则a1=a（1+ ）-b= a-b,a2= a1-b= a-（ +1）b,a3= a2-b= a- + +1b, 41454545453)45(2)45(2)45(451b)45()45a()45(a2-n-1nnn 1b)454(-a)45(nn (nN*).学案5 数列的应用课件解法二：设第解法二：设第n年木材存量为年木材存量为an，则第，则第n-1年存量为年存量为an-1(n2)，故，故an=an-1(1+ )-b，即即an= an-1-b(n2),所以所以an-4b= (an-1-4b)(n2),所以所以an-4b

24、组成以组成以a1-4b为首项为首项, 为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以an-4b=(a1-4b)( )n-1,即即an=4b+( a-5b)( ) n-1=( )na-4 n-1 b(nN*).4145454545454545)45(学案5 数列的应用课件（2）当）当b= a时，若时，若an a,则则( )na-4 ( ) n-1 a5,所以所以n 7.2.答：经过答：经过8年后该地区就开始水土流失年后该地区就开始水土流失.7219974545721997n)45(3lg2-1lg2-12lg2-lg5lg5 学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件【解析】【解析】学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件学案5 数列的应用课件