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1、北京市西城区 2020年抽样测试 高三数学试卷（文科） 2020.5 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.题号分数 一 二 三总分151617181920 第卷(选择题 共40分)一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合A、B满足，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. B A C. D. 2. 函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 3. 设向量a=(1, x-1)，b=(x+1,3)，则“x=2”是“a/b”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充
2、分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离 等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 25已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直6数列对任意满足，且，则等于( ) A.24 B. 27 C. 30 D. 327. 某校要从高三的六个班中选出8名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选1人，则这8个名 额的分配方案共有（ ） A.21 B. 27 C. 31 D. 368. 根据程序设定，机器人在平面上能
3、完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S可以用不等式组表示为（ ） A. B. O x(m) yP(x, y)东北.C. D. 北京市西城区 2020年抽样测试 高三数学试卷（文科） 2020.5 第卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 为了了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n条鱼. 将这n个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为
4、30和0.25，则n=_.10. 设，则的内角A=_. 11. 若的展开式中常数项为672，则a=_. 12. 设函数，则=_；若，则x的取值范围是_.13. 已知一个球的表面积为，球面上有两点P、Q，且球心O到直线PQ的距离为，那么此球的半径r=_；P、Q两点间的球面距离为_.14. 已知三个函数：； ； .其中满足性质：“对于任意R，若，则有成立”的函数是_.(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击
5、中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. () 求3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标的概率； () 求乙至少有1次射击击中目标的概率.16.（本小题满分12分） 已知函数.（）求的值域和最小正周期；（）设，且，求的值.17.（本小题满分14分） C B C1 B1 A A1 D E 如图，在直三棱柱中，D、E分别是AA1、B1C的中点.() 求证：平面； () 求异面直线与所成角的大小；() 求二面角C-B1D-B的大小. 18.（本小题满分14分） 已知函数R).() 若a=3，试确定函
6、数的单调区间； () 若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于2a2，求a的取值范围.19.（本小题满分14分）已知的顶点A在射线上， A, B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足. 当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W. () 求轨迹W的方程； () 设N(2,0)，过N的直线l与W相交于P、Q两点. 求证：不存在直线l，使得. 20.（本小题满分14分） 已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作. 设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.若点在映射f
7、下的象为点. () 求映射f下不动点的坐标； () 若的坐标为(2,2)，求证：点存在一个半径为2的收敛圆.北京市西城区 2020年抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科） 2020.5 题号12345678答案 CDACDBAB一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 120 10. 11. 2 12. ， 13. 6， 14. 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中
8、目标” 为事件A. -1分由题意，得事件A的概率； -5分（）解：记“乙至少有1次射击击中目标”为事件B， -6分 事件B包含以下两个互斥事件： 事件三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目标，其概率为； -8分 事件三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为. -10分 所以事件B的概率为.所以事件“乙至少有1次射击击中目标”的概率为. -12分16.（本小题满分12分）（）解： -2分， -4分因为，所以，即函数的值域为. -6分函数的最小正周期为. -8分（）解：由（）得，所以， -9分因为，所以， -10分 所以， 所以 . -12分 17.（本小题满分14分）C G BC1 B1 A A
9、1 D E F方法一：（）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG， 在中， ，且， 又，且， ， 四边形为平行四边形， ， -2分 又平面ABC，平面ABC， 平面. -4分（）解：如图，设F为BB1的中点，连接AF，CF， 直三棱柱，且D是AA1的中点， ， 为异面直线与所成的角或其补角. -7分 在Rt中，AB=1，BF=1， ，同理， 在中， 在中，. 异面直线与所成的角为. -9分（）解：直三棱柱， 又，平面. -10分如图，连接BD，在中，即，是CD在平面内的射影，为二面角C-B1D-B的平面角. -12分在中, , BC=1, ，,二面角C-B1D-B的大小为. -14分 方
10、法二：（）同方法一. -4分（）如图，以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 则， , -6分，异面直线与所成的角为. -9分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G（）解：直三棱柱， 又，平面. -10分 如图，连接BD，在中，即，是CD在平面内的射影， 为二面角C-B1D-B的平面角. -12分， 二面角C-B1D-B的大小为. -14分18.（本小题满分14分）（）解：因为， 所以， -2分 由，解得， 由，解得或， -4分所以函数的单调增区间为，减区间为，.-6分（）解：因为， 由题意，得对任意R成立， -8分 即对任意R成立， 设，
11、 所以， 所以当时，有最大值1， -10分 因为对任意R，成立， 所以 ，解得或 ， 所以，实数的取值范围为或 . -14分19.（本小题满分14分） （）解：因为A, B两点关于x轴对称， 所以AB边所在直线与y轴平行. 设M(x, y)，由题意，得， -2分 所以， 因为，所以，即， -5分所以点M的轨迹W的方程为. -6分 （）证明：设或， 当直线时： 由题意，知点P，Q的坐标是方程组的解， 消去y得， 所以，且， ， -8分 因为直线l与双曲线的右支（即W)相交两点P、Q， 所以，即. -9分因为， 所以， ， ， -11分 要使，则必须有，解得，代入不符合. -12分 所以不存在l，使得. 当直线时，P(2, 3)，不符合题意. 综上：不存在直线l使得. -14分20.（本小题满分14分） （）解：设不动点的坐标为， 由题意，得，解得， 所以此映射f下不动点为. -4分 （）证明：由，得， -6分 所以， 因为， 所以， 所以， -8分 由等比数列定义，得数列N*)是公比为-1，首项为的等比数列， 所以，则. -10分 同理 . 所以 . -11分 设，则， -12分 因为 ， 所以，所以. 故所有的点都在以为圆心，2为半径的圆内，即点存在一个半径为2的收敛圆. -14分
北京市西城区2020届高三数学第二次模拟考试文科试题
