D傅里叶级数学习教案

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1、会计学1D傅里叶级数傅里叶级数(j sh)第一页，共36页。同理可证 :第1页/共36页第二页，共36页。上的积分(jfn)不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个(lin )相同的函数的乘积在 形如的函数(hnsh)项级数称为三角级数.第2页/共36页第三页，共36页。设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 且右端级数(j sh)可逐项积分, 则有叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式 确定的以)(xf的傅里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf第3页/共36页第四页，共36页。利用(lyng)正交性,对在逐项积分(jfn), 得第4

2、页/共36页第五页，共36页。(利用(lyng)正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得用 cos k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得第5页/共36页第六页，共36页。设 f (x) 是周期(zhuq)为2 的周期函数(zhu q hn sh),并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展

3、成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 第6页/共36页第七页，共36页。yx它在 上的表达式为解解: 先求傅里叶系数先求傅里叶系数(xsh)将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. 11第7页/共36页第八页，共36页。第8页/共36页第九页，共36页。yx11O1) 根据收敛定理(dngl)可知,时,级数(j sh)收敛于2) 傅氏级数(j sh)的部分和逼近f (x) 的情况见右图.Oyx第9页/共36页第十页，共36页。1. 周期周期(zhuq)为为2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理2 . 对周期对周期(zhuq)为为 2 的奇函数的奇函数

4、 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为第10页/共36页第十一页，共36页。周期(zhuq)延拓 F (x) f (x) 在 0, 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xOy正弦级数 f (x) 在 0, 上展成Oxy第11页/共36页第十二页，共36页。1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛(shulin)定理 其中(qzhng)注意注意: 若为间断点,则级数收敛于第12页/共36页第十三页，共36页。2. 周期(zhuq)为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数

5、奇函数正弦(zhngxin)级数 偶函数余弦(yxin)级数3. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .第13页/共36页第十四页，共36页。 ,处收敛(shulin)于则它的傅里叶级数(j sh)在在处收敛(shulin)于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为xyO11第14页/共36页第十五页，共36页。叶级数(j sh)展式为则其中(qzhng)系数提示提示:利用“偶倍奇零”(1993 考研)的傅里 函数第15页/共36页第十

6、六页，共36页。xO又设求当的表达式 .解解: 由题设可知由题设可知(k zh)应对应对)(xf作奇延拓:由周期性:为周期的正弦(zhngxin)级数展开式的和函数, 在2x f (x)的定义域 内时第16页/共36页第十七页，共36页。P315 1(1) 第八节 第17页/共36页第十八页，共36页。的表达式为 f (x) x ,将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. f (x) 是周期(zhuq)为2 的周期(zhuq)函数,它在解解: 若不计周期(zhuq)为 2 的奇函数, 因此yxO第18页/共36页第十九页，共36页。n1根据收敛定理(dngl)可得 f (x) 的正弦

7、级数:级数(j sh)的部分和 逼近(bjn) f (x) 的情况见右图. yxOn2n3n4n5Oxy第19页/共36页第二十页，共36页。xyO11)(xf傅氏级数(j sh)的和函数 .0, 1x0 x,0,0答案(d n):定理3 第20页/共36页第二十一页，共36页。xyO1分别(fnbi)展成正弦级数与余弦(yxin)级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,第21页/共36页第二十二页，共36页。注意注意(zh y):在端点(dun din) x = 0, , 级数的和为0 ,与给定(i dn)函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 .

8、 xyO1第22页/共36页第二十三页，共36页。将)(xf则有O),2, 1(k作偶周期(zhuq)延拓 ,第23页/共36页第二十四页，共36页。na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k说明说明(shumng): 令令 x = 0 可得可得即xyO1第24页/共36页第二十五页，共36页。上的表达式为),将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数.解解: 它在 xyO2332第25页/共36页第二十六页，共36页。12 kn)(xf说明说明(shumng): 当当时, 级数(j sh)收敛于第26页/共36页第二十七页，共36页。周期(zhuq)延拓傅里叶展开(zhn

9、 ki)上的傅里叶级数(j sh)其它第27页/共36页第二十八页，共36页。则解解: 将 f (x)延拓成以 展成(zhn chn)傅里叶级数.2为周期(zhuq)的函数 F(x) , yxO第28页/共36页第二十九页，共36页。当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得第29页/共36页第三十页，共36页。设已知又第30页/共36页第三十一页，共36页。展成傅里叶级数(j sh), 其中E 为正常(zhngchng)数 .解解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此 为便于计算, 将周期取为2 y2xO2第31页/共36页第三十二页，共36页。第32页/共36页第三十三页，共36页。是

10、以 2 为周期(zhuq)的函数 ,其傅氏系数(xsh)为则的傅氏系数(xsh)提示提示:hxt令类似可得利用周期函数性质第33页/共36页第三十四页，共36页。法国(f u)数学家. 他的著作(zhzu)热的解析 理论(lln)(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 第34页/共36页第三十五页，共36页。德国数学家. 对数论(shln), 数学分析和数学物理有突出(t ch)的贡献, 是解析数论 他是最早提倡(tchng)严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明第35页/共36页第三十六页，共36页。