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1、会计学1D117常系数常系数(xsh)齐次齐次第一页，共16页。代入得称为微分方程称为微分方程(wi fn fn chn)的特征方程的特征方程,1. 当时时, 有两个有两个(lin )相异实根相异实根方程(fngchng)有两个线性无关的特解:因此齐次方程的通解为( r 为待定常数 ),设 则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 -特征方程法特征方程法第1页/共16页第二页，共16页。时时, 特征方程有两个特征方程有两个(lin )相等实根相等实根则微分方程(wi fn fn chn)有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:是特征
2、方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共16页第三页，共16页。时时, 特征方程有一对特征方程有一对(y du)共轭复根共轭复根这时原方程有两个(lin )复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程(fngchng)的线性无关特解:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共16页第四页，共16页。（1 1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程; ;（2 2）求出特征根）求出特征根; ;（3 3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况, ,得到得到(d do)(d do)相应的通解相应的通解. . 二阶常系数齐次
3、微分方程二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤求通解的一般步骤: :0 qyypy机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共16页第五页，共16页。的通解(tngji).解解: 特征方程特征方程特征(tzhng)根:因此(ync)原方程的通解为例例2. 求解初值问题求解初值问题解解: 特征方程特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共16页第六页，共16页。解解: 所给微分方程所给微分方程(wi fn fn chn)的特征方程为的特征方程为它有一对它有一对(y du)共轭复根共轭复根 故所求通解故所求通解(
4、tngji)为为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共16页第七页，共16页。特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(121 ik 复根重共轭若是 sin)( cos)( xxDxDDxxCxCCekkkkx 121121 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共16页第八页，共16页。注意注意(zh y): n次代数方程次代数方程(dish fngchng)有有n个根个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意
5、常数.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第8页/共16页第九页，共16页。的通解(tngji). 解解: 特征方程特征方程特征(tzhng)根:因此原方程(fngchng)通解为例例5.解解: 特征方程特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解推广 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共16页第十页，共16页。解解: 特征方程特征方程:即其根为方程(fngchng)通解 :机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第10页/共16页第十一页，共16页。解解: 特征方程特征方程:特征(tzhng)根为则原方程(fngchng)通解为:机动 目录 上页 下页 返回
6、(fnhu) 结束 第11页/共16页第十二页，共16页。特征(tzhng)根:(1) 当时, 通解(tngji)为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共16页第十三页，共16页。 1.求方程(fngchng)的通解(tngji) .答案答案:通解为通解为通解为第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共16页第十四页，共16页。为特解的 4 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,并求其通解(tngji) .解解: 根据根据(gnj)给定的特解知特征方程有根给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共16页第十五页，共16页。作业作业(zuy) P451 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) , (2) 第七节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第15页/共16页第十六页，共16页。
D117常系数齐次学习教案
