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1、2020考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.不等式的概念与性质均值2.不等式的应用不等式的证明3.不等式的解法不等式的综合应用4.不等式的概念与性质5.不等式的解法6.不等式的证明7.不等式的工具性8.不等式的实际应用【易错点点睛】易错点1不等式的概念与性质 1(2020精选模拟题)如果a、b、c满足cba，且acac Bc(b-a)0 Ccb2ab2 Ddc(a-c)c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号【错解分析】 由dbc，且acc，故a0，cbc且ac0，故a0且cc，又a0，abac(2)b-a0，c0，Da-c0，acOac(a-c)ab;|a|b|；ab中，正确的不等式有
2、 ( )A1个 B2个C3个 D4个 【错误解答】 A 只有正确，、显然不正确，中应是2，故也错【错解分析】 中忽视 与 不可能相等，a b，故 【正确解答】 B 方法1：运用特值法，如a=-，b=-3 方法2：运用性质由，则ba0，故而判断 3(2020精选模拟题)对于0a1，给出下列四个不等式 loga(1+o)loga(1+) a1+aa 其中成立的是 ( ) A.与 B与 C.与 D与 【错误解答】 B 1+a1+，故1oga(1+a) loga(1+)成立，故有3个不可能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3 又1g2-b，a0时，ab” 不能弱化条件变成“”也不能强化条件变
3、为“ab0 ”【变式训练】 1 若，|a|，|b|0，且ab0，则下列不等式中能成立的是 ( ) A BC D 易错点2均值不等式的应用 1(2020精选模拟题)设a，0，b0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A BC D【错误解答】 Di不一定大于或等于【错解分析】 D中直接放缩显然不易比较 【正确解答】 B A：a+b2ab,成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+12a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”) 成立 D：两边平方|a-b|a+b-2 a-ba+b-2或a-b-a-b+2当时显然成立解得ab或ab 成立 2(2020精选模拟题)设x(0，)，则函数f(x)=sinx+的最
4、小值是 ( ) A4 B5 C3 D6 【错误解答】 因为x(0，)，所以sinx0，0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4故选A3(2020精选模拟题)设a0，b0，a2+=1，求a 的最大值 【错误解答】 0ii(a=0时取等号) 【错解分析】并非定值 【正确解答】 为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”时取 “=”.【特别提醒】利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.【变式训练】1 已
5、知答案： B 解析：联立=1又0m1，bc.故abc.3.答案：解析： x2(1-3x)=xx(-2x)，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值 易错点3 不等式的证明1.(2020精选模拟题)设函数()证明:当0a1;()点P(xo,yo)(0xo1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)f曲线y=f(x)在点即【错解分析】 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.【正确解答】 ()证法一:因f(x)=证法二:()解法一:0x1.求证：b22(b+2c)；(t-x1)(t+1-x2)0，即t2+bt+cx1 .2已知数
6、列问是否存在mN,使xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在mN*，使xm=2，则2=xm-1=2， 同理可得xm-2=2， 以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2试比较xn与2的大小关系；设答案：当n2时，xn+1，-2=-2=-，则xn0，xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=12，以此类推有：x2n-12；(3)易错点4 不等式的解法1(2020精选模拟题)在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)1,解关于x的不等式：【错误解答】【错解分析】(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.【正确解答】(1)同错解中(1)当1k0解集
7、为x(1,2) (2,+ ); 当k2时，解集为x(1,2) (k,+ ).3.(2020精选模拟题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。并不能使之成立.【正确解答】 |kx+2|6, (kx+2)236,即k2x2+4kx-320.由题设可得解得k=-4, f(x)=-4x+2. 解得由解得x1,由得4(2020精选模拟题)设对于不大于【错误解答】A=x|a-bxa+b,故【错解分析】 在求b的范围时，应考虑必成立的条件，如才能上式恒成立.【正确解答】 A=x|a-bxa+b,【特别提醒】 0sin201-x2sin2cos2x21，又
8、cos0 -1xcos或-cosx0时，原不等式为x1,x1当x0且x0，x-1 综上，可得x|x1易错点5 不等式的综合应用1(2020精选模拟题)已知函数f(x)=ax-( )求a的值；()设0a【错误解答】(1)由于f(x)的最大值不大于又由，可得a=1.(),当n=1时，0a1,结论成立。假设【错解分析】在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.【正确解答】()解法：由于由得a=1.()证法一：当可知，对任何nN成立。证法三：由知当n=k+1时，不等式2.(2020精选模拟题)六一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾
9、客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）200，400400,500500,700700,900获奖券的金额（元）3060100130依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？【错误解答】(1)设商品的标价为x元，则500x800,由已知得一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”2运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件
10、应同时考虑。【变式训练】答案： D 解析：1，由倒数法则0balogtba=1，0logba|logab+logba|故选D2 已知不等式x2-2x+a0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+1ax2+2x-30 对xR恒成立1不等式(a2x+1ax2+2x-3a,x2-ax-2a20, x-a.当xa,不等式显然无解.2.函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图，与y轴无交点)，则不等式f(x).即可求解。【答案】A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)画图可知A正确，所以选A3函数则使g(x) f(x)的x的取值范围是【解析】利用数形结合法.【答案】D用数形结合法，
11、分别作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解关于x的不等式 (2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+xz1,则有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()试求f(0)的值；()试求函数f(x)的最大值；()试证明：当x【解析】(1)赋值法； (2)变形f(x2)=f(x2-x1)+x1,即可求函数f(x)的最大值；【答案】()令得f(0) 0, f(0)=0.()任取()设y=f(x)的定义域为R，当x1且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x) f(y)成立，数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)(3)
12、若不等式【解析】(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.【答案】(1)设(3)由难点4 不等式的工具性1若直线2ax-by+2=0(a、b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )A.4 B.2 C. D.【解析】利用重要不等式求最小值。【答案】A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(abc),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.试推断f(x)在区间0，+上是否为单调函数，并说明你的理由；设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2R,且x
13、1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；求证：f(m+3)0.【解析】由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；【答案】(1) f(m)=-a,mR. 方程ax2+bx+c+a=0有实根=b2-4a(a+c) 0f(1)=0, a+b+c=0,即a+c=-b.b2-4a(-b)=b(b+4a) 0.abc, a0,c0.b0.x=f(x)在0，+上是增函数.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=(3)f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)难点5 不等式的实
14、际应用某机关在“精简人员”中，对部分人员实行分流，规定分流人员在第一年可到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，若某人在分流前工资收入每年为a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an;(2)当【解析】建立数学模型，求出an,再运用重要不等式求an的最小值，解不等式.【答案】(1)(2)(3)2.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服
15、用一种药物预防,规定每人每天早晚八时各服用一片,现知该药片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,在体内的残留量超过386毫克(含386毫克),就将产生副作用(1)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少(2)长期服用的人这种药会不会产生副作用？解题思路依题意建立数列模型，写出an,an-1的关系式，求出an的范围解答(1)依题意建立数列模型，设人第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则(2)由an=220+0.4an-1 (n2)可得an-【典型习题导炼】答案： A 解析：略3 已知奇函数f(x)在(-,0)上为减函数,且f(
16、2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)0的解集为 ( )A.x|-3x-1B.x|-3x2C.x|-3x3D.x|-1x1或1x0得，由题4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|1的解集是( )A.(1,4) B(-1,2)C.(- ,1) 4,+ D.(- ,-1) 2,+ 答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当 5已知f(x)=A.x|1x3或x2C.x|1x2或3x4D.x|x0答案： C 解析：略6.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x
17、0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集为 ( )A(-3,0) (3,+ )B.(-3,0) (0,3)C.(- ,-3) (3,+ )D.(- ,-3) (0,3)答案： D 解析：设F(x)=f(x)g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x) F(x)为奇函数 又x0 x0时，9(x)也为增函数 F(-3)=f(-3)g(-3)=0 F(3)=-F(-3)=0 如图为一个符合题意的图象观 察知9(x)=f(x)，g(x)logb|x-4|的解集是_.答案：x|x0，所以2-bx在0，1上递减，由已知可知0b1，所以原不等式等价于0|x+2|
18、，x-4|，解得x|x0时，f(x)=x+答案：依题意x-3，-1时f(x)=f(-x)=-x+=(),m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1， 9定义符号函数sgnx=答案：-2解析：略；10已知关于x的不等式(1)a=4时，求集合M；答案：当a=4时，原不等式可化为， 即4(x-)(x-2)(x+2)0，x(-，-2)(，2)，故M为(-，-2)(，2)(2)若3M且5M,求实数a的取值范围。答案：由3M得9或a， 由5M得0，1a25， 由、得1a，或9a25因此a的取值范围是1，(9，25)11已知函数f(x)对任意实数P、q都满足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1
19、)=(1)当nN+时，求f(n)的表达式；答案：解：由已知得12某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？答案：解：没矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800(m) 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以S808-4=48(m2) 当a=2b，即a=40(m)，b=20(m)时， S最大值=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面
20、积最大，最大种植面积为648m213已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数.x1,x2都有() 证明答案：任取x1，x2 及，x1x2，则由(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2) 和，|f(x1)-f(x2)，|x1-x2| 可知(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2)|x1-x2|f(x1)-f(x2)1|x1-x2|2， 从而A1假设有b0a0，使得f(b0)=0，则由式知 0(a0-b0)2(a0-b0)f(a0)-f(b0)=0矛盾 不存在b0a0，使得f(b0)=0 =2f(a)2-(b-a)f(b)-f(a)+f(a)2 2f(a)2-(b-a
21、)2+f(a)2 (用) =2f(a)2-22f(a)2+f(a)2 =(1-2)f(a)214已知函数f(x)=(1)设0|x|1,0|t|1,求证：|t+x|+|t-x|f(tx+1)|答案：f(x)=f(tx+1)=tx+ |f(tx+1)|=|t|+2=2，当且仅当，|tx|=1时，上式取等号0|x|1，0|tx|2s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.当|t|x|时，s=4t24；当|t|x|时s=4x24 |t+x|+|t-x|21f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|f(tx+1)|设x是正实数，求证:f(x+1)n-f(xn+1) 2n-2.答案： n=1时，结论显然成立当n2时，f(x+1)n-f(xn+1)
2020高考数学 考前冲刺第三部分专题七 不等式
