2020高考数学 考前冲刺第三部分专题三 二次函数和指数函数

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1、2020考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.二次函数的图象和性质的应用2.指数函数与对数函数的图象和性质的应用3.函数的应用4.二次函数闭区间上的最值的问题5.三个“二次”的综合问题6.含参数的对数函数与不等式的综合问题【易错点点睛】易错点1 二次函数的图象和性质的应用 1(2020模拟题精选)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围【错误答案】 依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f(x)=-3x2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f0t3x2-2

2、x在区间(-1，1)上恒成立设g(x)= 3x2-2x=3(x-)2-，当x=时，g(x)min=-t-即t的取值范围是-,+.【错解分析】 上面解答由t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立得t大于或等于3x2-2x的最小值是错误的因为若tg(x)min只能说存在一个x的值能使t3x2-2x成立，但不能保证x在(-1，1)上的每一个值都能使t3x2-2x成立因而t应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值【正确解答】 解法1：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.则f(x)=-3x2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f(x)=-3x2+2x+t0在 (-1

3、，1)上恒成立，即t3x2-2x在(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x=3(x-)2-对称轴为x=g(x)0即f(x)在(-1，1)上是增函数故t的取值范围是5，+ 2(2020模拟题精选)已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x时，f(x). (1)求a的值;(2)设0a1，an+1=f(an)，n N*，证明：an.【错误答案】 第(1)问，f(x)=ax-x2=-(x-a)2+，即a21-1a1 又当x时,f(x)，即f(x) 在上恒成立f(x)在上的最小值为f()f()即. 综合，知a1【错解分析】 上面解答错在f(x)在的最小值的计算上，由得-1a1(-,)，对称轴

4、x=离端点较远，因此,f(x)的最小值应是f().而不是f(). ()假设n=k(k2)时，不等式0ak成立，因为f(x)=x-x2的对称轴x=知f(x)在0，上为增函数，所以0ak得0f(ak)f()于是有0ak+1-2x的解集为(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围【错误答案】 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)解得0-2-或-2+a0故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-，-2-)(-2+，0)【错解分析】 上面解答由f(x)+2x0的解集为(1，3)忽视了隐含条件a0所以(1)应舍去

5、a=1另外第(2)问若没有a0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-，从而很不容易求得a的范围【正确解答】 (1)f(x)+2x0的解集为(1，3),f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 因为方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.由于a0，舍去a=1将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=- x2-x-. (2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0，可得f(x)的最大值

6、为-.由， 解得a-2-或-2+af(0)f(-2)Bf(-2)f(2)(0)Cf(0)f(-2)f(2)D. f(-2)f(0)f(2) 答案：B解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=b=-1. f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. f(-2)f(2)f(0).2 若函数y=x2-2x+3在闭区间0，m上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是_. 答案：1,2解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又f(0)3.结合图象易得，2m1. m的取值范围是1，2.3 设函数f(x)=ax2+bx+1(1，bR)(1)若f(

7、-1)=0，则对任意实数均有f(x)0成立，求f(x)的表达式答案：解析：（1）f(-1)=0a-b+1=0b=a+1,又对任意实数均有f(x) 0成立，f(x)=x2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x-2，2时，g(x)=xf(x)-kx是单调递增，求实数k的取值范围 答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g(x)=3x22222+4x+1-k0在-2，2上恒成立g(x)在-2，2上的最小值g(x)(-)4 已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3，求a的值答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga由已知，f

8、(x)有最大值3，lga0并且整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=易错点2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1(2020模拟题精选)函数y=elnx-|x-1|的图像大致是 ( )【错误答案】 选A或B或C【错解分析】 选A，主要是化简函数y=elnx-|x-1|不注意分x1和x1两种情况讨论，数，认为y=log2x和y=cos2x在(0，1)上是凸函数其实y=cos2x在(0，)是凸函数，在(，1)是凹函数.【正确解答】 B 根据条件，当0x1x2恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log2x适合y=2x和y=x2在(0，1)上是函数y=cos

9、2x在(0，)是凸函数，但在(，1)是凹函数，故选B 3(2020模拟题精选)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0, )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为 ( )A.(-，-) B(-，+)C(0，+) D(-，-)【错误答案】 选A或C【错误答案】 (1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a)f-1(x)=ln(ex-a)(xlna)，f(x)=ln(ex+a)= (2)由m-f-1(x)+lnf(x)0得-ln+ln(ex-a)mln(ex-a)+ln在(ln(3a)，ln(4a)上恒成立设h(x)=ln(ex-a)+ln. S(x)=-

10、ln+ln（ex-a)即mh(x)mni.且mS(x)maxS(x)，h(x)=ln(ex-a)+ln(1+)在ln(3a)，ln(4a)上是增函数h(x)min=ln(2a)+ln=ln(a) S(x)max=ln(3a)-ln=ln(a) ln(a)mlna)，f(x)= .即aema，于是，得ln amln(a)解法2 由m-f-1(x)+ln(f(x)0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+xmln(ex-a)+ln(ex+a)-x设(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x，r(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x，于是原不等式对于xln(3a)，ln(4a)恒成立等价于

11、 (x)mr(x) 由(x)=+1,-1注意到0ex-aex0，r(x)0，从而可知 (x)与r(x)均在ln(3a)，h(4a)上单调递增，因此不等式成立，当且仅当(ln(4a)mr(ln(3a)，即ln(a)mln(a)【特别提醒】论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.【变式探究】1 已知函数f(x)=(ex+e2-x)(x1)(其中e为自然对数的底数)，则 ( )Af-1()f-1() Bf-1()f-1()C.f-1()0恒成立。解析：（1）

12、当a1时，只要即与1矛盾. (2)当0a1时，设g(x)=只要0g(x)1.a=时，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒为正。当0a时，当易错点 3 函数的应用 1(2020模拟题精选)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为x=10时，获得最大利润L=-015102+30610+30=456万元选B 2甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)(1)将乙方的

13、年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0002t2.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少?【错误答案】 (1)因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际利润为：W=2000-St=(2000-S)=S(2000-)S=10003S当且仅当=2000-.即t=106(吨)时W取得最大值(2)设甲方净收入为v元，则v=St-0.002t2,将t=106代入上式v=106S-10120.002=106(S-2103).v在(0，+)上是增函数即S越大，v越大

14、，故甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是任意大的数字 【错解分析】 上面解答主要在第(1)问求w的最值时，变形出了错误，即由w=2000-St=S(2000-)正确的变形为w=2000-St=S(-)这一步出错导致后面结果都是错误的由w=-S=,令w=0得t=t0=()2当t0；当tt0时，w0所以t=t0时w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0=()2吨设甲方净收入为v元，则v=St-0002t2 将t=()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v=-.又v=-令v=0得S=20，当S0；当S20时，v0，S=20时，v取得最大值 因此甲方向乙方

15、要求赔付价格S=20(元吨)时，获得最大净收入 3(2020模拟题精选)某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkmh，匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差(1)分别写出列车在B、C两站的运行误差；(2)若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围【错解分析】 上述解答错在单位不统一，应将速度v(kmh)化为v(60km分)由于

16、一开始出现错误，导致后面结果全是错误的【正确解答】 (1)列车在B、C两站的运行误差(单位：分钟)分别是-7和-11(2)由于列车在B、C两站的误差之和不超过2分钟，|-7|+|-11|2(*)当0v时，(*)式变形为-7+-112，解得39v.当v，(*)式变形为7-+-112，解得时，(*)式变形为7-+11-2，解得v，综上所述，v的取值范围是39, 4(2020模拟题精选)某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹

17、角为，tan=试问，设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)，由经过两点的直线的斜率公式kPC=kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得：tan BPC= 设u=ux2-(288u-64)x+160640u=0 u0xR.=(288u-64)2-4160640u20. 解得 u2当u=2时，x=320即此人距山崖320米时，观看铁塔的视角BPC最大【错解分析】 上述解答过程中利用xR由判别式法求u的最大值是错误的，因为x200，即由判别式求得u的最大值，还必须检验方程的根在(200，+)内设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)由经过两点的直线的斜率公式 kPC=,k

18、PB=.由直线PC到直线PB的角的公式得 tanBPC=要使tanBPC达到最大，只须x+达到最小由均值不等式x+2,当且仅当x=时上式取得等号故当x=320时tanBPC最大由此实际问题知，0BPC5时，f(x)=12-025x12-1255时，12-025x05x48综合得01x48即生产量在10件到4800件不亏本【特别提醒】与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式，然后应用函数知识加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去，看是否符合实际问题.【变式探究】 1

19、 把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 ( )Acm2 B.4cm2C3cm2 D.2cm2 答案： D解析：S=2 将一张2mx6m的硬钢板按图纸的要求进行操作，沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中与、与分别是全等的矩形，且+=)，设水箱的高为xm，容积为ym3) (1)求y关于x的函数关系式；答案：依题意，长方体水箱长故水箱容积y=(3-x)(2-2x)x,又y关于x的函数关系式为y=2x(1-x)(3-x),(0x0;当y因此把水箱的高设计成时，水箱装的水最多。4 某车间有工人30人，现有生产任务：加工A

20、型零件100个，B型零件50个在单位时间内，每个工人若加工A型零件能完成10个，若加工B型零件能完成7个问这30名工人应如何分组，才能使任务完成得最快? 答案：解：设加工A型零件的一组工人数为x，则加工B型零件的另一组工人数为30-x。由题意加工100个A型零件所需的时间为p(x)=加工50个B型零件所需的时间为令p（x）=q(x); .当x；当0xq(x).当0xq(x).考虑到人数必须是整数，分别考虑p(17)和q(18),p(17)=即p(17)bca0，c0，从而=b2-4ac0，即函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点 (2)c=-a-b，abc即ac=-a-b，得2a-b，-b

21、c，b=-a-c，得a-a-cc，(-2,)设|A1B1|2=h()=4()2+的对称轴为x=-,h=()在(-2,)上是减函数|A1B1|2(3,12),得|A1B1|().难点 2 三个“二次”的综合问题1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，bR，且a0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，(1)如果x12x2-1(2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的取值范围【解析】 (1)由二次函数的图像找出方程f(x)=x的两根x1、x2满足x12x24的充要条件从而求出x0=-的范围即可(2)由x1x2=0知x1,x2同号，故对较小根x1分0x12和-2x10，由x12x

22、24得g(2)0即故x0= (2)由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0知x1x2=0，x1，x2同号，若0x12g(2)=4a+2b-10，又|x2-x1|=4,得2a+1=(a0,负根舍去)，代入上式得23-2b，解得b.若-2x10，则x2=-2+x1-2，g(-2)0即4a-2b+3. 故b的取值范围是(-, )(+)2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR，a0)满足条件：当xR,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；当x(0，2)时,f(x)；f(x)在R上的最小值为0 (1)求f(x)的表达式； (2)求最大的m(m1)，使得存在tR，只要x就有f(x+t)x恒

23、成立由条件，f(x)在R上的最小值为0，可知，函数f(x)的图像是开口向上，顶点位于点(-1，0)的抛物线，故不妨设f(x)=a(x+1)2，(a0)由条件f(x)x，xR，当x=1时f(1)1由条件,f(x)x(0，2)，当x=1时，有f(1)1f(1)=1，从而a=方法三 同解法1，可判断f(x)图像的对称轴为x=-1，且f(-1)=0b=2a，a-b+c=0即b=2a，c=a，故f(x)=ax2+2ax+a由条件,f(x)x对一切xR恒成立即ax2+(2a-1)x+a0，xR恒成立.由条件,f(x),x(0,2) 令(a-)x2+(2a-)x+(a-)由上a(2)方法一 假设存在t，只要

24、x1，m就有f(x+tx，即f(x+t)-x0，x2+2(t-1)x+(t+1)20对一切x1，m恒成立不妨设G(x)=x2+2(t-1)x+(t+1)2则对x1，m，都有G(x)0，故设h(t)=t2+(2+2m)t+(m-1)2即在区间-4，0上存在实数t，使h(t)0成立由图像得， (1)当a0时，若函数f(x)的图像与直线y=x均无公共点，求证：4ac-b2. (2)若a+c=0,f(x)在-2，2上的最大值为，最小值为-求证：2 (3)当b=4，c=时，对于给定负数a，有一个最大正数M(a)使得x0，M(a)时都有|f(x)|5，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)证

25、明你的结论 (4)若f(x)同时满足下列条件a0；当|x|2时，有|f(x)|2；当|x|1时,f(x)最大值为2，求f(x)的解析式【解析】 (1)利用0证明；(2)用反证法证明；(3)借助二次函数图像进行分类讨论(4)利用不等式性质推出-2f(0)-2得f(0)=-2，再借助最值可求得a，b，c值【答案】 (1)f(x)的图像与y=x是公共点 =(2b-1)2-16ac=4b2-16bc+1-4b0同理由f(x)的图像与y=-x公共点得4b2-16ac+1+4b5，即-8a0此时0M(a)- M(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根M(a)=因此当且仅当a=-8时，M(a)取最大值(4

26、)f(x)=2ax+2b a0f(x)max=2a+2b=2 a+b=1-2f(0)=4c=4a+4b+4c-4(a+b)=f(2)-42-4=-2 4c=-2c=-又|f(x)|2 f(x)=-2=f(0)f(x)在x=0处取到最小值且0-2，2- b=0 从而a=1f(x)=x2-2.难点3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 1已知函数f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在y=f(x)图像上运动时，点P( ,2y)在函数y=g(x)的图像上运动 (1)求y=g(x)的解析式； (2)当t=4，且x0，1时，求g(x)-f(x)的最小值；(3)若在x0，1时恒有g(x)f(x)成立

27、，求t的取值范围 (3)由g(x)f(x)，即2log2(2x+t)log2(x+1)，在x0，1时恒成立，即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-10在0，1上恒成立即即1t或t综合，得t1即满足条件t的取值范围是(1，+)2设函数f(x)=ax+3a(a0且a1)的反函数为y=f-1(x)，已知函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于点(a，0)对称 (1)求函数y=g(x)的解析式； (2)是否存在实数a，使当xa+2，a+3时，恒有|f-1(x)-g(-x)|1成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由【解析】 (1)先求反函数f-1(x)再用相关点法可求得y=g

28、(x)的解析式；(2)可将原不等式转化为一元二次不等式在a+2，a+3上恒成立，利用二次函数图像和性质可判断是否存在实数a【答案】 由f(x)=ax+3a易得f-1(x)=loga(x-3a)由题设的点对称可得g(a+x)+f-1(a-x)=0则g(x)=-loga(-x-a)(x3a)又x(a+2，a+3)，应有a+23a，0a2a函数h(x)=x2-4ax+3a2在a+2，a+3上为增函数，函数H(x)=loga(x2-4ax+3a2)在a+2，a+3上为减函数，从而：H(x)max=H(a+2)=loga(4-4a)H(x)min=H(a+3)=loga(9-6a)于是目标不等式等价于

29、解得0a综上可知，存在实数a(0，)可使当xa+2，a+3时，恒有|f-1(x)-g(-x)|1成立【典型习题导练】1.若不等式3x2-logax0的解集为x|0x的非空子集，则实数a的取值范围是 ( )A，1 B(，1)C(0，) D(0，) 答案： A解析：作出y=3x2,y=logax的图象知0a1.当y=logax过点2 已知f(x)=，则下列正确的是 ( )A.奇函数，在R上为增函数B.偶函数，在R上为增函数C.奇函数，在R上为减函数D.偶函数，在R上为减函数 答案： A解析：函数f(x)=3 若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是 ( )Aa

30、0 Ba1Ca2 Da3 答案： C解析：原不等式即为a2-x+12+(y+1)2恒成立，只需a大于或等于2-（x+1）2+(y+1)2的最大值为2，即a2.4 若函数f(x)=logax(0a1)在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于 ( )A B C D. 答案： A解析：f(x)=logax(0a1,a(1,2).10 设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1),f(1)=0且方程f(x)+1=0有实根 (1)证明：-3c-1且b0答案：解(1)f(1)=01+2b+c=0b=,又cb1,故c2a，在-1，1上是否存在x使得|f(x|b成立答案：由b2a,得,则f(x)在-1,

31、1上递增且b0,由|f(x)|b,得f(x)b或f(x)b或f(-1)b或a-b+c-b,则a+c0, 即a+c0.故当a+c=0时,符合题设条件的x不存在;当a+c0 时,符合题设条件的x必存在(2)当方程f(x)-x=0的根在(0，1)内时，试求a的最小值 答案：设g(x)=f(x)-x=0的两根为x1,x2.则g(x)=a(x-x1)(x-x2),由于g(0).g(1)=a2x1x2(1-x1)(1-x2)a2其中，当x1=x2=由于方程的根在(0,1)间,则g(0)0,g(1)0.又已知a,b,c为整数,则g(0)=c1.g(1)=a+b-1+c1.则校食堂改建一个开水房，计划用电炉或

32、煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用S元，用电炉烧开水每吨开水费用为P元，S=5m+08n+5，P=108n+20其中m为每吨煤的价格，n为每百度电的价格；如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则用煤烧水；否则就用电炉烧水 (1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；答案：解(1)由题意知:S=P,可得m=2n+4(2)已知现在每百度电价不低于50元，那么当每吨煤的最高价不超过多少元时可以选择用煤? 答案：由f(x)-h(x)=-1,得lg解得x=而要使g(x)=lg(ax2+2f-1)(0)x+1)的值域为全体实数,有(i)a=0时显然成立,(ii)a0,则