(完整版)阿波罗尼斯圆问题

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1、阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版数学必修2 P.112 第 12 题:已知点 M (x, y) 与两个定点 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为1 ,那么点 M 的坐标应满足2什么关系?画出满足条件的点M 所构成的曲线二、【阿波罗尼斯圆】公元前 3 世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius )在平面轨迹一书中,曾研P究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图,点 A, B 为两定点,动点P满足 PAPB ,B1P1PA则的轨迹为直线;当时,动点的轨迹为圆,时,动点后世称之为 阿波罗尼斯圆 证:设 AB2m( m 0),PAPB

2、 以 AB 中点为原点,直线AB 为 x 轴建立平面直角坐标系,则A(m,0),B(m,0)又设 C( x, y),则由 PAPB 得( xm)2y 2( xm) 2y2,两边平方并化简整理得 (2)2(2)(2)222()1 x 2m1 x1 ym 1,当1时, x0 ,轨迹为线段AB 的垂直平分线;当1时, ( x21m)2y24 2 m22 ,轨迹为以点 (221(21)2长为半径的圆上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、【范例】12 mm,0)为圆心,211例 1满足条件 AB2, AC2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是解: 以 AB 中点为原点,直线AB 为 x 轴建

3、立平面直角坐标系,则A(1,0),设,由 AC2BC 得222(x2y2,B(1,0)C( x, y)( x 1) y1)1平方化简整理得y2x2288 , y2 2,则6x 1 ( x 3)S ABC12 y22 , S ABC 的最大值是 22 2变式 在ABC 中,边 BC 的中点为 D ,若 AB2, BC2AD ,则ABC 的面积的最大值是解:以 AB 中点为原点, 直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A(1,0),B(1,0),由 BDCD,BC2AD 知, AD2BD , D 的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为x 32y28C (x, y)BCDx1 y,所以点C的轨迹方程为

4、(,设,的中点为得D (, ))22x1y 2(2,即52232)()8y,232( x)1SABC2yy324 2 ,故 S ABC 的最大值是 42 2例 2在平面直角坐标系xOy 中,设点 A(1,0), B(3,0), C (0, a), D (0, a2) ,若存在点P ,使得 PA2PB, PCPD ,则实数 a 的取值范围是解: 设 P( x, y) ,则( x1)2y22(x3)2y2 ,整理得 (x5)2y28,即动点 P 在以 (5,0)为圆心, 22 为半径的圆上运动另一方面,由PCPD 知动点 P 在线段 CD 的垂直平分线ya1上运动,因而问题就转化为直线ya1与圆

5、( x5)2y28 有交点,所以 a122 ,故实数 a 的取值范围是 221,221例 3在平面直角坐标系xOy 中,点 A 0,3,直线 l:y2x4. 设圆的半径为 1,圆心在 l上.若圆 C 上存在点 M ,使 MA2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 .解:设Ca,2 a4xa2y 2a21,则圆方程为4又设 M ( x0 , y0 ), Q MA2MOx02y024x0 24 y02 , 即3x2y12400这说明 M 既在圆xa2y2a421上,又在圆 x2y24 上,因而这12两个圆必有交点,即两圆相交或相切,2 122a 4 ( 1)2a 02 1,解得 01212

6、a,即 a 的取值范围是 0,55例 4已知 O : x2y 21和点 M (4,2) .(1)过点 M 向 O 引切线 l ,求直线 l 的方程;(2)求以点 M 为圆心,且被直线y 2x1截得的弦长为4 的 M 的方程;(3)设 P 为( 2)中 M 上任一点,过点P向 O 引切线,切点为Q. 试探究:平面内是否存在一定点R ,使得 PQ 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,PR请说明理由 .解:( 1)设切线 l 方程为 y2k(x4) ,易得 | 4k2 |1 ,解得 k819 ,k 2115切线 l方程为 y2819 ( x4) 15( 2)圆心到直线 y 2x1

7、 的距离为5 ,设圆的半径为r ,则 r 22 2(5 )29 M 的方程为 ( x4) 2( y2) 29( 3)假设存在这样的点R(a,b) ,点 P 的坐标为 ( x, y) ,相应的定值为,根据题意可得 PQx 2y 21 ,x 2y 21b) 2,( xa) 2( y即 x 2y212 ( x2y 22ax2by a 2b 2 )(*),又点 P 在圆上 (x4) 2( y2) 29 ,即 x2y 28x 4 y11,代入( * )式得:8x 4 y122(82a)x(4 2b) y (a 2b211)2 (82a)8若系数对应相等,则等式恒成立,2 (42b)4,2 (a2b 21

8、1)12解得 a2,b1,2或 a2 , b1 ,10,5533可以找到这样的定点 R ,使得 PQ 为定值 . 如点 R 的坐标为 (2,1) 时,比值为2 ;PR点 R的坐标为 (2,1) 时,比值为10 553四、【练习】1如图,在等腰ABC 中,已知 ABAC,B(1,0) ,yAAC 边的中点为 D (2,0) ,点 C 的轨迹所包围的图形的面积等于Bx解: AB2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其OD方程为 ( x3)2y 24 ,C设 C ( x, y) ,由 AC 边的中点为D (2,0) 知 A(4x,y) ,所以 C 的轨迹方程为 (4x3) 2(y) 24 ,即

9、( x1)2y 24 ,面积为 42如图,已知平面平面, A、B是平面与平面的交线上的两个定点,DA,CB,且 DA,PCB, AD4,BC8, AB 6,在平面上有一个动AB点 P,使得APDBPC ,求PAB 的面积的最大值 DC解: 将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点 P 所满足的几何条件DADAPA , 在 Rt PAD 中, tanAD4APD,BC8AP AP同理 tanBPC,BPBPAPDBPCBP2AP ,这样就转化为题3 的题型在平面上 , 以线段 AB 的中点为原点, AB 所在的直线为x 轴 ,建立平面直角坐标系,则A(3,0), B(3,0) ,设 P(x

10、, y) 则有( x3)2y22(x3)2y2 ( y0)化简得 : ( x5) 2y216 , y216 ( x5) 216 , | y |4 ,PAB 的面积为 S PAB1 | y | | AB |3| y |12 ,当且仅当 x5, y4 等号取得,则2PAB 的面积的最大值是12 43 圆 O1 与圆 O2 的半径都是1, O1O24 ,过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线PM , PN ( M , N 分别为切点) ,使得 PM2PN 试建立适当的坐标系, 并求动点 P 的轨迹方程 .解:以 O1 , O2 的中点 O 为原点, O1 , O 2 所在直线为x 轴,建立如

11、图所示平面直角坐标系,yPMNO1OO2x则 O1(2,0) , O2 ( 2,0) ,由已知 PM2PN得PM22PN2,因为两圆的半径都为 1,所以有: PO1212( PO221) ,设 P( x,y ),则 (x 2)2y 21 2( x 2)2y 21 , 即 (x6)2y 233 ,此即 P 的轨迹方程 .4已知定点 O (0,0) ,点 M 是圆 ( x1) 2y 24 上任意一点,请问是否存在不同于O 的定点 A 使都为 MO 常数?若存在,试求出所有满足条件的点MA说明理由解: 假设存在满足条件的点A(m, n) ,设 M ( x, y) , MOMA则x 2y 2, 又 M ( x, y) 满足 ( x 1)2( xm)2( y n) 2A 的坐标 ,若不存在,请0 y 24 ,联立两式得 ( 2m 222m22)x2 2 y 32 (m 2n23) 0,22220由 M 的任意性知 22 y 0,解得 A(3,0) ,132 (m2n 23) 025

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