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1、2010年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1、已知条件： 和条件 ：则是的（ C ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件解：因为，故是的充要条件故选C2、在5件产品中有4件正品、1件次品从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是（ C ）A、 B、 C、 D、解：数学期望是：故选C.3、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱与底面所成的角的大小是（ A ） A、 B、 C、 D、解：设顶点在底面的射影是，则为的外心从而，于是可得故选A4、已知函数的最小值
2、是0，则非零实数的值是（ B ）A、 B、 C、2 D、4解：， 因为，故 当时，不合题意；当时， 由条件知，解得或0（舍去）故选B. 5、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，则经过两点的球面距离是（ C ）A、 B、 C、 D、解：球的半径，在中，则，从而所以，经过两点的球面距离是故选C6、对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定点，则点的坐标为（ B ）A、 B、 C、 D、解：因为，故于是过的切线方程是：即，因此切线方程恒过故选B7、设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ D ） A、 B、 C、 D、解：
3、由题设知OPA2=90，设P(x,y)(x0)，以OA2为直径的圆方程为，与椭圆方程联立得由题设知，要求此方程在(0, a )上有实根由此得化简得，所以e的取值范围为故选D8、记，则的最小值是（ ）、 B、 C、 D、4解：设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离，当时等号成立故的最小值为故选C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1、是定义在上的奇函数，且，则 解：由条件知，于是，即是以2为周期的周期函数所以，故填02、实数满足，则的最大值是 解：由确定的图形是以四边形及其内部，其中、由线性规划知识知，的最大值是4，当时可取到故填43、在数列
4、中，当时，成等比数列，则 解：由条件知当时， 从而，于是 ，所以 于是 所以，故填4、集合的容量是指集合中元素的和则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 （用具体数字作答）解：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是 ：故填224.三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知函数 （I）试判断函数的奇偶性，并给出证明；（II）求在上的最小值与最大值解：（I） .5分 所以，为偶函数 .10分 （II） .15分 因为 ，故，所以，当时，有最小值；当时，有最大值 .20分14、
5、已知为抛物线的焦点， M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为（I）求的值；（II）求直线AB与直线CD夹角的取值范围解：（I）由条件知，设、，不妨设直线的方程为，与联立得所以， .5分 当时，则，故，即直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，即于是，所以 .10分 当时，直线AM方程为与抛物线方程联立得，又由，化简上述方程得此方程有一根为x1，所以另一根，即，同理，所以，即 .15分由、可知 （II） ，故所以，直线AB与直线CD夹角的取值范围是 .20分15、已知函数，其中为实数 （I）求函数的单调区间
6、； （II）若对一切的实数，有成立，其中为的导函数求实数的取值范围解：（I）因为， 所以有两个不等实根：，显然 .5分 当时，即单调递减； 当或时，即单调递增；综上所述，有的单调递减区间为：，；单调递增区间为：、 .10分（II）由条件有：，当时，即在时恒成立 因为，当时等号成立所以，即 .15分当时，即在时恒成立，因为，当时等号成立所以，即当时，综上所述，实数的取值范围是 .20分16、已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有成立，其中 （I）求数列的通项公式；（II）设 ，若，求实数的取值范围解：（I）当时，有，故 当时， 及 于是 即 若，则，于是从而 所以， .5分 若，则 于是从而
7、 所以， 综上所述， .10分 （II）若时，显然不满足条件，故 当时， 若时， ，故当时，不符合条件，舍去 若时，故从而为单调递减数列，且 所以，只须即可，显然成立故符合条件； .15分若时，显然也满足条件故符合条件；若时，从而为单调递增数列，因为故，要使成立，只须即可于是故符合条件综上所述，所求的实数的范围是 .20分2010年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅
8、时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分40分，每小题5分)1、C 2、C 3、A 4、B 5、C 6、B 7、D 8、C二、填空题（本大题满分20分，每小题5分） 9、0 10、4 11、 12、224 三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13、已知函数 （I）试判断函数的奇偶性，并给出证明；（II）求在上的最小值与最大值解：（I） .5分 所以，为偶函数 .10分 （II） .15分 因为 ，故，所以，当时，有最小值；当时，有最大值 .20分14、已知为抛物线的焦点， M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A
9、、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为（I）求的值；（II）求直线AB与直线CD夹角的取值范围解：（I）由条件知，设、，不妨设直线的方程为，与联立得所以， .5分 当时，则，故，即直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，即于是，所以 .10分 当时，直线AM方程为与抛物线方程联立得，又由，化简上述方程得此方程有一根为x1，所以另一根，即，同理，所以，即 .15分由、可知 （II） ，故所以，直线AB与直线CD夹角的取值范围是 .20分15、已知函数，其中为实数. （I）求函数的单调区间； （II）若对一切的实数，有成立，其中为的导函数求实数的取值范围解：（I）因
10、为，,所以有两个不等实根：，显然 .5分 当时，即单调递减； 当或时，即单调递增；综上所述，有的单调递减区间为：，；单调递增区间为：、 .10分（II）由条件有：，当时，即在时恒成立 因为，当时等号成立所以，即 .15分当时，即在时恒成立，因为，当时等号成立所以，即当时，综上所述，实数的取值范围是 .20分16、已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有成立，其中（I）求数列的通项公式；（II）设 ，若，求实数的取值范围解：（I）当时，有，故 当时， 及 于是 ,即 若，则，于是从而 .所以， .5分 若，则 于是从而 所以， 综上所述， .10分 （II）若时，显然不满足条件，故 当时， 若时， ，故当时，不符合条件，舍去 若时，故从而为单调递减数列，且 所以，只须即可，显然成立故符合条件； .15分若时，显然也满足条件故符合条件；若时，从而为单调递增数列，因为故，要使成立，只须即可于是故符合条件综上所述，所求的实数的范围是 .20分
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