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1、单元质量评估 (时间：120分钟分数：150分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是()Ax|2x2Bx|0x2Cx|2x2 Dx|x2或x2解析：由题意知|x|2，即2x2，故应选C.答案：C2若(，)，M|sin |，N|cos |，P|cos cos |，则它们之间的大小关系为()AMNP BPNMCMPN DNPM解析：(，)，0sin cos ，|sin |cos |.P|sin cos |(|sin |cos |)(|sin |sin |)|sin |M，P|sin
2、cos |(|cos |cos |)|cos |N.NPM.答案：D3不等式|x|(12x)0的解集是()A(，) B (，0)(0，)C(，) D(0，)解析：原不等式等价于解得x且x0，即x(，0)(0，)答案：B4不等式1|x1|3的解集为()A(0，2) B(2，0)(2，4)C(4，0) D(4，2)(0，2)解析：原不等式等价于1x13或3x11，解之得：0x2或4x2.故应选D.答案：D5若关于x的不等式|x1|x3|a22a1在R上的解集为，则实数a的取值范围是()Aa1或a3 B1a3C1a2 D1a3解析：|x1|x3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之
3、和，故它的最小值为2，原不等式解集为，a22a12.即a22a30，解得1a3.答案：B6若x，y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：由基本不等式得xyz3，即xyz8，所以lg(xyz)3lg 2，即lg xlg ylg z3lg 2，当且仅当xyz2时，等号成立，故选B.答案：B二、填空题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，把答案填在题中的横线上)7函数f(x)sin3 xcos x的最大值为_解析：当sin xcos x0时，函数f(x)不可能取最大值当sin xcos x0时，f2(x
4、)sin6 xcos2 x27(sin2 x)(sin2 x)(sin2 x)cos2 x27.f(x)的最大值是.答案：8已知x(0，)，则函数f(x)3cos x4的最大值为_解析：设m(3，4)，n(cos x，)，则f(x)3cos x4|mn|m|n|5，当且仅当mn时取“”答案：59已知集合Ax|xa|1，Bx|x25x40，若AB，则实数a的取值范围是_解析：Ax|a1xa1，Bx|x1或x4又AB，可得解得2a3.答案：a|2a310设x，y为正数，且2x3y10，则的最小值为_，此时x_，y_解析：(2x3y)()249，当且仅当时取等号，又2x3y10，得x，y.的最小值为
5、.答案：11设函数f(x)|x2|x1|，若f(x)5，则x的取值范围是_解析：f(x)|x2|x1|当x2时，由2x15得2x3；当1x2时，由35得1x2；当x1时，由12x5得2x1.综上，x的取值范围是2，3答案：2，312若关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，则a的取值范围是_解析：根据绝对值的几何意义知，|x3|x4|1，要使不等式有解，必须a1.答案：(1，)13设x，y正实数，且x2y8，则的最小值为_解析：(x2y)()()2()225，又x2y8，.答案：14已知a，b，c均为正数，且abc1，则的最大值为_解析：(111)2(4a1)(4b1)(4c1)(121
6、212)21.答案：15函数y的最大值为_解析：由、非负且()2()23，所以.答案：16若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是_解析：1x2y4z，x2y2z2， 即x2y2z2的最小值为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，求实数a的取值范围解析：法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1、y2的图象如图所示由图可知，当a3时，|x2|x1|a的解集为.法二：|x2|x1|表示数轴上的点A(x)到B(2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|3，所以A到B、C两点的距离之和的最小值为3
7、.即对一切xR，总有|x2|x1|3.因为|x2|x1|a的解集为，所以只需a3即可所以a的取值范围是a3.18(12分)已知x0，y0，求证：(xy)2(xy)xy.证明：法一：左边(xy)(xy)()xy.法二：左边(xy)2(xy)(2)2(xy)2xy(xy)xyxxyy22 xy.19(12分)设Ax|2x1|3，Bx|x2|1，求集合M，使其同时满足下列三个条件：(1)M(AB)Z；(2)M中有三个元素；(3)MB.解析：Ax|2x1|3x|1x2，Bx|x2|1x|3x1，M(AB)Zx|1x2x|3x1Zx|3x2Z2，1，0，1，2又MB，2M.又M中有三个元素，同时满足三个
8、条件的M为：2，1，0，2，1，1，2，1，2，2，0，1，2，0，2，2，1，220(12分)在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列求证：B90.证明：法一：假设B90不成立，即B90，从而B是ABC的最大角，b是ABC的最大边，即ba，bc.，.相加得，与矛盾故B90不成立，B90.法二：假设B90不成立，即B90，从而B是ABC的最大角，b是ABC的最大边又，b.ba，有a2cacca，同理bc，有c2aacac，显然与矛盾，从而假设B90不成立，B90.21(12分)已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.证明：x、y、z是互不相等
9、的正数，且xyz1.101010又0x1，1.同理1，1.将三式相乘，得8.22(12分)已知实数a，b满足：关于x的不等式|x2axb|2x24x16|对一切xR均成立(1)请验证a2，b8满足题意；(2)求出所有满足题意的实数a，b，并说明理由；(3)若一切x2，均有不等式x2axb(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解析：(1)当a2，b8时，有|x2axb|x22x8|2|x22x8|2x24x16|.(2)在|x2axb|2x24x16|中，取x4，x2，得解得a2，b8.因此满足题意的实数a，b只能是a2，b8.(3)由x2axb(m2)xm15(x2)，得x22x8(m2)xm15.即x24x7m(x1)对一切x2，均有不等式m成立，则m应小于或等于f(x)的最小值而(x1)2222 (当x3时，等号成立)实数m的取值范围是(，2
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