D84重积分的应用学习教案

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1、会计学1D84重积分重积分(jfn)的应用的应用第一页，共34页。8.4.1 重积分在几何重积分在几何(j h)上的应用上的应用 一、平面一、平面(pngmin)图形的面积图形的面积上页 下页例例1 1 求曲线求曲线 2cos222ar所围图形的面积所围图形的面积. .解解 曲线为一双纽线曲线为一双纽线, ,图形关于图形关于(guny)(guny)极轴和极点都对称极轴和极点都对称. . xy0a2D因此曲线所围成图形的面积因此曲线所围成图形的面积 2cos204044aDrdrddA.22sin22cos222402402aada.Dd第1页/共34页第二页，共34页。 曲顶柱体的顶为连续曲顶

2、柱体的顶为连续(linx)曲面曲面),(yxfz 则其体积则其体积(tj)为为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为zyxVddd上页 下页yzo),(yxfz xD第2页/共34页第三页，共34页。22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体立体(lt)的体积的体积. 上页 下页例例2. 2. 求球体求球体(qit)(qit)第3页/共34页第四页，共34页。上页 下页2244d dDVar rr20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322

3、(3323a20,cos20:arDoxyza2解解: 由对称性可知由对称性可知(k zh)DdxdyyxaV2224422xaxy0 0 xyDD第4页/共34页第五页，共34页。xoyza2锥面所围成的立体锥面所围成的立体(lt)(含在锥面内含在锥面内)的体积的体积. 解解:如图如图,在球面在球面(qimin)坐标系下立体所占坐标系下立体所占:则立体体积为则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM上页 下页区域为区域为第5页/共34页第六页，共34页。例例4. 用三重积分计

4、算由曲面用三重积分计算由曲面2225xyz及及224xyz所围成的立体的体积所围成的立体的体积. 上页 下页第6页/共34页第七页，共34页。上页 下页解解 利用利用(lyng)(lyng)柱面坐标计算柱面坐标计算 , 20 ,54:22rrzr.20dzrdrddvVrr25422020drrr4252220drrdrrr320220252204202328)5(32rr).455(322)551 (32第7页/共34页第八页，共34页。MAdzdnxyzSo设光滑设光滑(gung hu)曲面曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积则面积(min j) A 可看成曲面上各点可看成曲面上

5、各点),(zyxM处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d , Mnd上页 下页 d),(yxMdSxyz o 第8页/共34页第九页，共34页。Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为称为(chn wi)面积元素面积元素)则则故有曲面故有曲面(qmin)面积公式面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122即即上页 下页第9页/共34页第十页，共34页。若光滑曲面若光滑曲面(qmin)方程为方程为zyzxyxAdd)()(12

6、2,),( , ),(zyDzyzygx则有则有zyD上页 下页xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面若光滑曲面(qmin)方程为方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy则有则有xzD第10页/共34页第十一页，共34页。解解 由对称性由对称性, ,其面积其面积(min j)(min j)为它在第一卦限部分面积为它在第一卦限部分面积(min j)(min j)1S的的8 8倍倍. . 222yxaz它在它在 xoy面上面上(min shn)(min shn)的投影区域为的投影区域为:D222ayx,0,0 xy222222,yxayyzyxaxxz由由 在第一卦限在第一卦限, ,球面

7、球面(qimin)(qimin)方程为方程为22222)()(1yxaayzxz得得 上页 下页例例5. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.第11页/共34页第十二页，共34页。因此因此(ync)(ync),2221dxdyyxaaSD2002222aDrardrdardrdraa2)(2202122araaa于是于是(ysh)(ysh)整个球面面积为整个球面面积为 .4821aSS上页 下页注：上述二重积分是一个注：上述二重积分是一个(y )广义二重积分！广义二重积分！第12页/共34页第十三页，共34页。解解:设球面设球面(qimin)方程为方程为 ,ra则球面面积则球面

8、面积(min j)元素为元素为ddsind2aA 0202dsindaA24.asinada方法方法2 利用球面利用球面(qimin)的球面的球面(qimin)坐标方程坐标方程.axyzoddsina上页 下页刚才是利用球面的直角坐标方程解决的刚才是利用球面的直角坐标方程解决的,还可直接用还可直接用元素法元素法. 第13页/共34页第十四页，共34页。yxz 被柱面被柱面222Ryx所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上面上(min shn)投影为投影为,:222RyxD则则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积出的面积(mi

9、n j) A .上页 下页第14页/共34页第十五页，共34页。上页 下页练习练习 求锥面求锥面 22yxz被柱面被柱面 xz2割下部分的割下部分的 曲面面积曲面面积. . 解解 先求割下部分先求割下部分(b fen)(b fen)在在 yx0平面上的投影平面上的投影(tuyng)(tuyng)区域区域. . xyxxzyxz222222故投影故投影(tuyng)(tuyng)区域为区域为 . 0,2:22zxyxD2222,yxyyzyxxxz由由dxdydxdyyzxzSDD2)()(12222 .第15页/共34页第十六页，共34页。设空间设空间(kngjin)有有n个质点个质点, ),

10、(kkkzyx其质量其质量(zhling)分别分别, ),2, 1(nkmk由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 , 分别位于分别位于为为 为为即即: 采用采用 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质心可导出其质心 上页 下页8.4.2 重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用 第16页/共34页第十七页，共34页。将将 分成分成(fn chn) n 小块小块, ),

11、(kkk将第将第 k 块看作质量块看作质量(zhling)集中于点集中于点),(kkk例如例如(lr),nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点上页 下页第17页/共34页第十八页，共34页。zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得则得形心坐标形心坐标：,dddV

12、zyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd上页 下页第18页/共34页第十九页，共34页。若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区域(qy) D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为为 D 的面积的面积(min j)得得D 的的形心坐标形心坐标:则它的质心则它的质心(zh xn)坐标为坐标为MMyMMx其面密度其面密度 xMyM 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩上页 下页第19页/共34页第二十页，

13、共34页。上页 下页解解 记所考虑的球体为记所考虑的球体为 , , 以以 的球心为原点的球心为原点 ,O射线射线 0OP为为 x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,( ,0,0),R球面球面(qimin)(qimin)的方程为的方程为 .2222Rzyx设设 的重心位置为的重心位置为 ( , , ),x y z由对称性由对称性, ,得得 例例7 7 设有一半径设有一半径(bnjng)(bnjng)为为 R的球体的球体(qit)(qit)， 0P是此球表面是此球表面上的一上的一 平方成正比（比例常数平方成正比（比例常数 0k）, ,求球体的求球体的 重心位置重心位置. . 定点，球体上任意一个

14、点的密度与该点到定点，球体上任意一个点的密度与该点到 0P的距离的的距离的0P的坐标为的坐标为 则点则点 , 0, 0zydVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222222)(zyRxk第20页/共34页第二十一页，共34页。上页 下页而而 dVzyRx)(222dVRdVzyx2222)(5220022034sin8RdrrrddR,15325RdVxRdVzyRxx22222)(,158)(326222RdVzyxR第21页/共34页第二十二页，共34页。故故dVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222.4153215856RRR上页 下页第22页/共34页第二十三页，共3

15、4页。4sin2rsin4r和和的质心的质心(zh xn). 2D解解: 利用利用(lyng)对称性可知对称性可知0 x而而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片之间均匀薄片0dsin3143212oyxC上页 下页第23页/共34页第二十四页，共34页。设物体设物体(wt)占有空间区域占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体该物体(wt)位于位于(x , y , z) 处的微元处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量为的

16、转动惯量为:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 上页 下页第24页/共34页第二十五页，共34页。zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对对 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 对对 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 对原点的转动惯量为对原点的转动惯量为 上页 下页第25页/共34页第二十六页

17、，共34页。面面密度为密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 上页 下页xyoz第26页/共34页第二十七页，共34页。例例9 9 求半经为求半经为 a, ,高为高为 h的均匀圆锥体对中心轴的均匀圆锥体对中心轴的转动惯量的转动惯量. . 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系, ,圆锥体的方程为圆锥体的方程为 解解 以圆锥的顶点为原点以圆锥的顶点为原点, ,中心轴为中心轴为 z轴轴, ,建立空间建立空间)0(

18、 ,22222hzzhayx设密度设密度(md)(md)为为 , ,用柱面坐标用柱面坐标(zubio),(zubio),锥面方程为锥面方程为 rahz , ,则则 drdzrdrdVyxIz222)(hadzdrrdhraha1010320上页 下页第27页/共34页第二十八页，共34页。rraddsin0302解解: 建立建立(jinl)坐标系如图坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆半圆(bnyun)薄片的质量薄片的质量221aM 2212oxyDaa上页 下页第28页/共34页第二十九页，共34页。P209 2，4 , 6， 8，9

19、 上页 下页第29页/共34页第三十页，共34页。)(th( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 设有一高度为设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ), 问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? (2001考研考研)上页 下页第30页/共34页第三十一页，共34页。yxzo记雪堆记雪堆(xu du)体积为体积为 V, 侧面积为侧面积为

20、 S ,则则)(:221220thyxD22212:( )( ) zDxyh th t zVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(用极坐标用极坐标) 上页 下页第31页/共34页第三十二页，共34页。)(12132thS, )(43thV由题意由题意(t y)知知StV9 . 0dd1013ddth130)0(h1301013)(tth令令,0)(th得得100t(小时小时(xiosh)因此高度为因此高度为130c

21、m的雪堆全部的雪堆全部(qunb)融化所需的时间为融化所需的时间为100小时小时.上页 下页第32页/共34页第三十三页，共34页。1:221yxzS任一点的切平面任一点的切平面(pngmin)与曲面与曲面222:yxzS所围立体所围立体(lt)的体积的体积 V . 解解: 曲面曲面(qmin)1S的切平面方程为的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面它与曲面22yxz的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为记所围域为D ),(000zyx在点在点Drrrdd2rr dd10320上页 下页第33页/共34页第三十四页，共34页。