2020年高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用（含2020试题含点评）

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1、第七讲不等式及综合应用真题试做1(2020高考浙江卷)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D62(2020高考江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_考情分析不等式部分在高考中往往是一到两个填空题，重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯不等式的题目，而会穿插在其他知识中进行综合考查一元二次不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决相关数学问题的基础与工具在近几年的高考中，涉及二次不等式的试题占有较大的比例，试题形式活泼且多种多样，

2、既有填空题，又有解答题，多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用考点一一元二次不等式解一元二次不等式，换元法和图解法是常用的技巧之一，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准更清晰(1)已知函数f(x

3、)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1(2)若函数f(x)(a24a5)x24(a1)x3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是()A1a19 B1a19C1a19 D10对一切xR恒成立(1)解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2bxc0或ax2bxc0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解；(2)解指数、对数不等式，可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后再根据指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件；(3)求解分段函数条件下的不等式，应按每段

4、定义域对应下的函数解析式分别转化为一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在区间上恒成立的问题一般是把一元二次不等式看作二次函数，通过二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x轴的相对位置，列出不等式恒成立满足的条件强化训练1解不等式：(1)1；(2)log(x22x3)log(3x1).考点二简单的线性规划问题熟悉二元一次不等式AxByC0表示平面区域的判定方法，会求与平面区域相关的整点、面积等问题掌握线性规划问题的解题步骤，结合目标函数的几何意义，利用数形结合思想解答设x，y满足约束条件求z2xy的最大值和最小值(1)几何意义法：指根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义，结合图形求

5、解，它是解决中学阶段线性规划问题的一般方法，高考范围内的所有线性规划问题都可采用这一方法常见目标函数表示的几何意义有截距、向量投影(目标函数是整式)、斜率(目标函数是分式)、距离(目标函数是两个完全平方式之和)、点线距(目标函数是二元一次因式的绝对值)等(2)变量替代法：指把目标函数z代换到原约束条件中去，得到新的不等式组，画出此时的平面区域，观察左右或上下边界即可得到目标函数z的值域(最值)(3)解不等式法：指在目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题中，把目标函数z代换到原约束条件中去，得到z的不等式组，直接放缩求解(4)界点定值法：指通过总结，若目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题，

6、对应目标函数最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点，这时要求目标函数的值域，只要把可行域的几个顶点代入，找到目标函数几个取值中最大的和最小的，即目标函数的最大值和最小值强化训练2设定点A(3，0)，动点P(x，y)的坐标满足约束条件则|cosAOP(O为坐标原点)的最大值为_考点三基本不等式及其应用利用基本不等式及变形求最值，掌握基本不等式及变形求函数的最大值和最小值；能灵活应用基本不等式解答函数和数列等综合问题(2020高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v2，而Mx|x1，MNx|x2，U(MN)x|x2【答案】x|x

7、2本题主要考查分式不等式的解法及集合的交集、补集运算，不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考常考内容，要认真掌握，并确保得分二、不等式与逻辑条件的交汇(2020云南师大附中月考改编)已知条件p：x23x40；条件q：x26x9m20；若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是_【解析】对于p：1x4，对于q讨论如下，当m0时，q：3mx3m；当m0时，f(x)0，且不等式f(cos 23)f(4m2mcos )0对所有恒成立，求实数m的取值范围【解】令x1x20，则f(0)f(00)f(0)f(0)，所以f(0)0.由题意，对于任意实数xR，f(0)f(xx)f(x)f(x)0，即f(x)

8、f(x)，故f(x)是奇函数对任意实数x10，所以f(x2x1)f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，则f(x)是增函数由题意，得f(cos 23)f(4m2mcos )f(2mcos 4m)又f(x)是增函数，则原不等式等价于cos 232mcos 4m对所有恒成立，分离参数，得m(2cos )4，由于的最大值是42.故实数m的取值范围是(42，)利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式四、不等式与数列的交汇已知数列an中，a13，an12an1(n1)(1)设bnan1(n1，2，3)，求证

9、：数列bn是等比数列；(2)设cn，求证：数列cn的前n项和Sn.【证明】(1)由an12an1，得an112(an1)，an1是以a112为首项，以2为公比的等比数列(2)由(1)知an122n12n，an2n1，cn，Sn()()()0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.2【解析】由题意知f(x)x2axbb.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x).又f(x)c，c，即x.，得26，c9.【答案】9_典例展示解密高考_【例1】【解析】(1)当x10，即x1时，f(x1)(x1)1x.原不等式可化为x(x1)(x)1.由

10、得x21，xR，此时不等式的解集为x|x1当x10，即x1时，f(x1)x11x，原不等式可化为x(x1)x1.解得1x1，此时不等式的解集为x|1x1综上可知，原不等式的解集为x|x0对一切xR恒成立当a24a50时，有a5或a1.若a5，不等式可化为24x30，不满足题意；若a1，不等式可化为30，满足题意当a24a50时，应有解得1a19.综上，可得a的取值范围是1a4.故原不等式的解集为x|x1，或x4(2)原不等式可转化为不等式的解集为【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如图(1)中的ABC及其内部(阴影部分)，且求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)，作出直线L0：2x

11、y0，再将直线L0平移当L0的平行线过C点时，可使z2xy达到最小值；当L0的平行线过A点时，可使z2xy达到最大值所以zmin，zmax8.图(1)法二：(变量替代法)将y2xz代入原约束条件，可得把z看作纵轴，画出此不等式组表示的平面区域，如图(2)所示(阴影部分)，可知最高点P(5，8)，最低点Q(1，)，所以zmin，zmax8.图(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知可变为所以解得z8.故z的最大值为8，z的最小值为.法四：(界点定值法)先作出可行域，如图(1)中的ABC及其内部(阴影部分)，可求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)把ABC的顶点A，B，C的坐标代到目标函数中求出z值分别为8，1，比较大小，可知z的最大值为8，z的最小值为.强化训练2【解析】|cosAOPx.作出动点P(x，y)的坐标满足约束条件的平面区域如图所示，由图形，可知当点P是直线xy6与y2的交点时，x取最大值联立方程得P(4，2)所以x的最大值为4，即|cosAOP的最大值为4.【答案】4【例3】【解析】设甲乙两地相距s，则小王用时为，v，0ab，a.，av0，y0，z0)，1.当且仅当，即x2y时等号成立，此时zx23xy4y24y26y24y22y2，(1)21，当y1时，的最大值为1.