2020年高考平面向量试题汇编

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1、第五章 平面向量 一 平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念（2）掌握向量的加法和减法（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算【2020年湖北卷理5文8】已知ABC和点M满足+=0若存在实数m使得+=m成立，则m=BA2 B3 C4 D5【解析】由+=0知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则=（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B【2020年全国卷理8文10】ABC中

2、，点D在AB上，CD平分ACB若=a，=b，| a |=1，| b |=1，则=BAa +b Ba +b Ca +b Da +b【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且=（），所以=+=+=a +b【2020年陕西卷理11文12】已知向量a=（2，1），b=（1，m），c=（1，2），若（a+b）c，则m= 【答案】1【解析】a+b =（1，m1），c =（1，2），由（a+b）c得12（1）（m1）=0，所以m=1【2020年高考上海市理科13】如图所示，直线x=2与双曲线：y2=1的渐近线交于E

3、1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，若=a e1+b e2（a，bR），则a、b满足的一个等式是 4ab=1【答案】4ab=1【2020年高考上海卷文科13】在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若=a e1+b e2（a，bR），则a、b满足的一个等式是 4ab=1 解析：因为e1=（2，1），e2=（2，1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=a e1+b e2=（2a+2b，ab），化简得4ab=1二 平面向量的数

4、量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件【2020年江西卷文13】已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是 【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】在RtABC中，C=90，AC=4，则等于DA16 B8 C8 D16解析一：因为C=90，所以=0，=（+）=2+=16解析二：在上的投影为|，所以=|2=16【2020年北京卷理6】a、b为非零向量。“ab”是“函数f（x）=（xa+b）（xba）为一次函数”的BA充分而不必

5、要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：f（x）=（xa+b）（xba）=（ab）x2+（|b|2|a|2）x ab，如ab，则有ab=0，如果同时有|a|=| b |，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则ab=0，因此可得ab，故该条件必要。【2020年北京卷文4】若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f（x）=（xa+b）（xba）是AA一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数 D二次函数但不是偶函数解析：f（x）=（xa+b）（xba）=（ab）x2+（|b|2|a|2）x ab，由ab，则ab=0

6、，f（x）=（|b|2|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数OABC【2020年江西卷理13】已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2， a与b的夹角为60，则|ab|= 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a=，b =，ab=，由余弦定理得：|ab|=【2020年重庆卷理2】已知向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2ab|= BA0 B C 4 D8解析：|2ab|=.【2020年浙江卷文13】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a（a2b），则|2a+b|的值是 解析：，由题意可知a（a2b）=0，结合|a|=1，|

7、b|=2，解得ab=，所以|2 a+b |2=4a2+4ab + b 2=8+2=10，开方可知答案为，【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【2020年浙江卷理16】已知两平面向量a，b均为非零向量，且ab，| b |=1，a与ba的夹角为120，则| a |的取值范围是_（0，【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题BCA60120abab【解析】如图所示，在ABC中，ABC=60，AC=1，设ACB=，由正弦定理得：，| a |=|AB|=sin，故| a |（0，【2020年湖南卷文6】

8、若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）b =0，则a与b的夹角为CA30 B 60 C120 D 150【解析】（2a+b）b =2ab+bb=0，所以ab=|b| 2，cosa，b=，a，b=120【2020年辽宁卷理8文8】平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，则OAB的面积等于CA BC D解析： 【2020年四川卷理5文6】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|，则|=CA8 B4 C 2 D1解析：由216，得|BC|4 ，|+|=|=|4，而|+|=2|，故|=2DABC【2020年天津卷文9理（填空）15】如图，在ABC中，ADAB，=，|=

9、1，则=DA B C D【解析】=|cosDAC=|cosDAC=|sinBAC=|sinB=|sinB=【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.【2020年全国卷理11文11】已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为DA B C D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如图所示：设PA=PB=x，APO=，则APB=2，PO=，=，令，则，即，由x2是实数，所以，解得或.故.此时.【解

10、析2】法一： 设，法二：换元：，或建系：园的方程为，设，【2020年山东卷理12文12】定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令ab=mqnp，下面说法错误的是BA若a与b共线，则ab=0 Bab=baC对任意的R，有（a）b=（ab） D（ab）2+（ab）2=|a|2|b|2【解析】若a与b共线，则有ab=mqnp，故A正确；因为ba =pnqm，而ab=mqnp，所以有abba，故选项B错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。【2020年重庆卷文3】若向量a=(3，m

11、)，b=(2，1)， ab=0，则实数m的值为DA B C 2 D 6【解析】ab=6m=0，所以m =6【2020年安徽卷理3文3】设向量a=（1，0），b=（，），则下列结论中正确的是CA|a|=| b |Bab= Cab与b垂直 Dab解析：ab=（，），（ab）b=0，所以ab与b垂直【2020年福建卷文8】若向量a=（x，3）（xR），则“x = 4”是“| a |=5”的AA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=（4，3），所以| a |=5；反之，由| a |=5可得。【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。【2

12、020年广东卷文5】若向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件 (8ab)c =30，则x=A6 B5 C4 D3解析：8ab =（6，3），(8ab)c =63+3x=30，故x=4【2020年全国新课标卷文2】a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于CA B C D解析：由已知得b=（2a+b）2a=（5，12），所以【2020年高考福建卷理科7】若点O和点F（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为BA B C D【解析】因为F（2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+

13、1=4，即a2=3，所以双曲线方程为y2=1，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2020年高考福建卷文科11】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为CA2 B3 C6 D8【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），则有,解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以

14、当x0=2时，取得最大值，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2020年江苏卷15】在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1) （）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（）设实数t满足（t）=0，求t的值解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E

15、（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由（t）=0，得：，从而所以。或者：，【2020年上海市春季高考22】【2020年高考福建卷文科18】 设平顶向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4.（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；（II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。【2020年高考湖北卷文科20】已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（）求曲线C的方程（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。