CH3幂级数展开学习教案

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1、会计学1CH3幂级数展开幂级数展开(zhn ki)第一页，共59页。22收敛的充分(chngfn)必要条件设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。), 2 , 1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv绝对收敛与条件收敛称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的1nnw1|nnw称级数 是条件收敛的，如果 是发散，而 是收敛的1nnw1|nnw1nnw第1页/共59页第二页，共59页。33举例(j l)考察级数 的敛散性1/11nnien考察级数 的敛散性1nnz考察级数 的敛散性12) 1(nnnin第2页/共59页第三页，共59页。44概念(ginin)收敛(

2、shulin)与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。121)()()()(nnnzwzwzwzw点收敛：域收敛：收敛称之10)(nnzw收敛，zB，称之1)(nnzw第3页/共59页第四页，共59页。5收敛的充分(chngfn)必要条件级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中), 2 , 1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnn柯西收敛(shulin)判据1 ( )npkk nw z 对于 ，如果 0，存在 N，当nN 时，有 其中(qzhng)p为任意正数)(1zwnn第4页/共59页第五页，共59页。66

3、性质(xngzh)连续性级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn可积性级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw解析性级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf第5页/共59页第六页，共59页。77概念(ginin)收敛(shulin)半径与收敛(shulin)圆形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复常数。10)(nnnzza若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径收敛半

4、径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza第6页/共59页第七页，共59页。88收敛(shulin)半径的求法1limnnnaaRnnnaR1limDAlembert公式(gngsh)Cauchy (根式(gnsh) 公式第7页/共59页第八页，共59页。99举例(j l)求级数 的敛散半径及收敛圆1nnz第8页/共59页第九页，共59页。1010求级数 的敛散半径收敛圆12(1)1( 1)nnnz1lim1kkkaaR12)1(2111) 1(nnnzz第9页/共59页第十页，共59页。1111内闭一致(yzh)收敛幂级数的性质(x

5、ngzh)在收敛(shulin)园内幂级数具有连续性、可积性和解析性幂级数在收敛圆内内闭一致收敛第10页/共59页第十一页，共59页。1212可积性第11页/共59页第十二页，共59页。1313第三节 Taylor级数(j sh)展开第12页/共59页第十三页，共59页。1414设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于(duy)圆内任一点z，函数f(z)可写成00)()(kkkzzazf10( )01( )2i()1()!RkkCkfadzfzk其中z0zCRCRRR第13页/共59页第十四页，共59页。152：收敛：收敛(shulin)半径：半径：R=LL：展开：展开(zhn k

6、i)中心到被展函数离中心到被展函数离z0最近的奇点的距离最近的奇点的距离【例例】111kk ozzzX X展开的三要素：展开中心，收敛展开的三要素：展开中心，收敛(shulin)半径，展开系数半径，展开系数1 ：展开中心：题目中给定。展开中心：题目中给定。3：展开系数由不同的展开方法求出展开系数由不同的展开方法求出。收敛半径收敛半径R1（0到到1的距离）的距离）第14页/共59页第十五页，共59页。16泰勒展开的唯一性定理：泰勒展开的唯一性定理：对于对于(duy)给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开是唯一的。即若：是唯一的。即若： 0000 , kkkk

7、kkf zazzf zbzz则定有：则定有：kkab有唯一性定理有唯一性定理(dngl)作保障，同一道题目可以使用不同的展开方法。作保障，同一道题目可以使用不同的展开方法。(证明过程见课本证明过程见课本 P39)第15页/共59页第十六页，共59页。171、直接、直接(zhji)展开法展开法 利用利用(lyng)(lyng)： 0 !kkfzak【例【例1】在】在z0=0点邻域点邻域(ln y)，将，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数【例例2】在在z0=0点邻域，将点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数展为泰勒级数【例例3】在在z0=1点邻域，将点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数展

8、为泰勒级数 泰勒级数的展开方法泰勒级数的展开方法第16页/共59页第十七页，共59页。展开展开(zhn ki)泰勒级数。泰勒级数。例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上将上将zezf)(解：解：! 212kzzzkzkk lim!)(0)(kzfakk01 d! dkzkzekz!1kze1limkkkaaR0!kkkz第17页/共59页第十八页，共59页。19展开展开(zhn ki)泰勒级数。泰勒级数。例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上将上将zzfsin)( f (z)=sinz f (z)=sinz 在全平面在全平面(pngmin)(pngmin)解析解析 0 sin kkk

9、za zz 012223334440sin 00 00!1cos 01 11!0sin 00 02!1cos 01 3!sin 00 0fzzfafzzfafzzfafzzfafzzfa 第18页/共59页第十九页，共59页。20 22100 0,1,21!21 !nknknafankan2101 sin z21 !nnnzzn 201cos z2!nnnzzn 级数(j sh)展开式中，等号左右的奇偶性是一致的。同理可证：第19页/共59页第二十页，共59页。21例：在例：在z0=1邻域邻域(ln y)上把上把zzfln)(解：解：zzfln)(1ln) 1 (fin2zzf1)( 2! 1

10、)( zzf3)3(! 2)(zzf( )1(1)!( )( 1)kkkkfzz 1) 1 ( f1) 1 ( f! 2) 1 ()3(f( )1(1)( 1)(1)!kkfk zln1211!( 1)(1)!2(1)(1)(1)1!2!kkknizzzk展开泰勒展开泰勒(ti l)级数。级数。第20页/共59页第二十一页，共59页。22ln z12121111!( 1)(1)!2(1)(1)(1)1!2!1( 1)2(1)(1)(1)2121 11kkkkkkkknizzzknizzzknizzk 第21页/共59页第二十二页，共59页。例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上将上将zzf

11、11)(解：解：1z21zz z110kkz展开展开(zhn ki)泰勒级数。泰勒级数。第22页/共59页第二十三页，共59页。24111ln21 11kkkznizzk2101sin z21 !nnnzzn 201cos z2!nnnzzn 01 !zkkezzk 01 z11kkzz基基 本本 展展 式式第23页/共59页第二十四页，共59页。252、间接、间接(jin ji)展开法展开法理论依据：泰勒展开理论依据：泰勒展开(zhn ki)(zhn ki)的唯一性的唯一性 出发点：基本展式出发点：基本展式方法方法(fngf)(fngf)一、变量变换一、变量变换【例例1】在在z0=0点，将点

12、，将f(z)=1/(2-z)展为泰勒级数展为泰勒级数【例例2】在在z0=1点，将点，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数【例例3】在在z0=0点，将点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数展为泰勒级数【例例4】在在z0=0点，将点，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数展为泰勒级数第24页/共59页第二十五页，共59页。26方法方法(fngf)一、变量变换一、变量变换【例例1】 1 02f zzzX X0 解：解： f(z)在在z0=0点及其邻域点及其邻域(ln y)解析解析 0 2kkk fza zz第25页/共59页第二十六页，共59页。27111112221120 Z0

13、z2 122zzZzzZzZ令令021001111221211 z2222kkkkkkkZzZzz第26页/共59页第二十七页，共59页。28【例【例2】在】在z0=1点邻域点邻域(ln y)，将，将f(z)=ez展为泰勒级数展为泰勒级数1 11zzzeeee z-1Z 1 Z0z-1 Zz 01!ZkkeeeZk011 z-1!kzkeezk 解：解： f(z)在在z0=1点及其邻域点及其邻域(ln y)解析解析 0 1 1kkk fzazz 第27页/共59页第二十八页，共59页。29【例【例3】在】在z0=0点，将点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒展为泰勒(ti l)级数级数解：解：

14、 f(z)在在z0=0点及其邻域点及其邻域(ln y)解析解析 0 ln 1 1kkk za zzln 1z令令1+zZ 0Z1z1Z-11z 11111ln21 1 21 1 kkkkkkZniZknizk 111ln 12 z1kkkznizkX X0 第28页/共59页第二十九页，共59页。30【例【例4】在】在z0=0点邻域点邻域(ln y)，将，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数展为泰勒级数 11111122121f zzzzzzz10011111 z222 12222kkkkkzzzz 01 z11kkzz其中其中(qzhng)：X X0 X X 10111 z112

15、2kkkf zzzz第29页/共59页第三十页，共59页。31【例例5】 201 0zf zez 21 zezf在在z=0点及其邻域点及其邻域(ln y)内解析内解析 22001 11 211 1-221 22 zzzzkkkkkkkf zeeezzk!k!zk! 方法方法(fngf)二、算术运算法二、算术运算法第30页/共59页第三十一页，共59页。32微分微分(wi fn)法：法： dddf zf zzz适用于被展函数的原函数易展开适用于被展函数的原函数易展开(zhn ki)的情况。的情况。【例例】 021 z01f zz0 X Xf(z)f(z)的奇点是的奇点是 z=1 z=1 f(z)

16、 f(z)在在z=0z=0点及其邻域点及其邻域(ln y)(ln y)内解析内解析201 11kkk a zzz方法三、分析运算法方法三、分析运算法第31页/共59页第三十二页，共59页。3312001d1dd 1d1kkkkzkzzzzz1201 z11kkkzz第32页/共59页第三十三页，共59页。34积分法：积分法： dddf zf zzCz适用于被展函数的导数适用于被展函数的导数(do sh)易展开的情况。易展开的情况。 0ln 1 0fzzz0 ln 1 1kkk za zz【例例】f(z)f(z)的奇点是的奇点是 z=1 z=1 f(z) f(z)在在z=0z=0点及其邻域点及其

17、邻域(ln y)(ln y)内解析内解析0 X X第33页/共59页第三十四页，共59页。35010dln 1ln 1dd1 d1 d1 1kkkkzzzCzzCzzzCzCk 0C 01110010Czkzlnzkkz101ln 1 01kkzzzk 第34页/共59页第三十五页，共59页。3636函数(hnsh) f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数第35页/共59页第三十六页，共59页。3737第四节 解析(ji x)延拓211 (| | 1)1kttttt 246211 (| 1)1zzzzz解析延拓：已给某个区域b上的解析函数(hnsh)f(z

18、),能否找到另一个函数(hnsh)F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上是解析函数(hnsh)，而且在区域b上等同于f(z)。简单地说，解析延拓就是解析函数(hnsh)定义域的扩大！)(zf)(zF第36页/共59页第三十七页，共59页。3838原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆有一部分超出(choch)b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。解析延拓是唯一的！ 第37页/共59页第三十八页，共59页。3939已知结果：当 f(z)在圆

19、|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们(w men)，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数(j sh)就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数(j sh)的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛(shulin)环内绝对一致收敛(shulin)。第40页/共59页第四十一页，共59页。424200)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环R2|z-z0|R101zz 第41页/共59页第四十二页，共59

20、页。4343R2R1z0B定理(dngl)设双边(shungbin)幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则nnnzza)(0nnnzzazf)()(0(1) 在B内连续；(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；(3) 在B内可逐项积分。第42页/共59页第四十三页，共59页。4444设函数(hnsh) f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z， f(z)可展开成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C第43页/共59页第四十四页，共59页。4545(3) Laurent级数(j sh)中的z0点可能是f

21、(z)的奇点，也可能不是f(z)的奇点说明(shumng)(2) Laurent级数(j sh)展开的唯一性)(!10)(zfnann(1)与泰勒展开系数不同(4) 与泰勒级数定理不一样，我们一般不利用洛朗级数定理计算洛朗级数展开怎么样求解洛朗级数展开呢？第44页/共59页第四十五页，共59页。4646例1在z0=0的邻域(ln y)上把(sin z)/z 展开解：函数(hnsh) f(z) = (sin z)/z 在z0=0点没有定义， z0=0 为奇点。为避开奇点，从复数平面挖去原点.已知357sin (|)1!3!5!7!zzzzzz 在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得 246s

22、in1 (|)3!5!7!zzzzzz 0sin (0)( )sinlim1 (0)zzzzf zzzz定义f(z)解析延拓第45页/共59页第四十六页，共59页。4747函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1|z| 和 0|z-1|2内的Laurent级数(j sh)展开11-11|z| 例22222246021111111111kkzzzzzzzz z1中心为z=0，因此是要将f(z)展开成z的幂级数1z的定义域是211)(zzf（1）1|z|第46页/共59页第四十七页，共59页。4821-10|z-1|2211 21 2111zzz220111111 1212 (0 |1| 2)k

23、kkkzzzz210 z中心(zhngxn)为z=1，因此是要将f(z)展开(zhn ki)成(z1)的幂级数?011112141(1) 211142kkkzzz负幂项（2）0|z-1|2第47页/共59页第四十八页，共59页。4949在z=0的邻域(ln y)上把 f(z)=e1/z 展开例3将z全换成1/z即得013201!111! 311! 211! 1111!1kkzkkzzkezzzzzke即zzzzzkekkz320! 31! 21! 111!1已知第48页/共59页第四十九页，共59页。5050zzzzzkekkz320! 31! 21! 111!1357sin (|)1!3!5

24、!7!zzzzzz zzzzz642! 61! 41! 211cos111132zzzzz第49页/共59页第五十页，共59页。51若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立(gl)奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立(gl)奇点。举例孤立奇点的例子2/111 , ,1zezz非孤立奇点的例子)/1sin(1z1 ,21 , ,0, ,21 ,1第50页/共59页第五十一页，共59页。5252在区域 0|z-z0|R 内的单值解析(ji x)函数 f(z) 可展开成nnnzzazf)()

25、(0其中正幂部分00)(nnnzza是该级数的解析部分10)(nnnzza是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用(zuyng)，被称为f(z)在点z=z0处的留数第51页/共59页第五十二页，共59页。5353主要部分不存在(cnzi)即没有负幂项主要(zhyo)部分有m项即有m项负幂项主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项nnnzzazf)()(0可去奇点：m阶极点：本性奇点：第52页/共59页第五十三页，共59页。5454内有界在可去奇点|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(lim 0)z()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzm

26、zzm解析且阶极点不存在且不为无穷本性奇点)(lim0zfzz第53页/共59页第五十四页，共59页。55【例例】zef,)z( zf,zzsinf1321 11 判断三个函数判断三个函数(hnsh)中奇点（中奇点（z=0）性质）性质解：解：z=0是三个函数的孤立奇点，是三个函数的孤立奇点， 将三个函数在将三个函数在z=0点去心邻域点去心邻域(ln y)作洛朗展开作洛朗展开|0)!12() 1()!12() 1(1sin201201zzkzkzzzfkkkkkk无负幂项，所以无负幂项，所以(suy)z=0点是点是f 1(z)的可去奇点的可去奇点第54页/共59页第五十五页，共59页。56Z=0

27、是是 f2(z) 的一阶极点的一阶极点(jdin)|0)1(!1013zzkefkkzZ=0是是 f3 (z)的本性的本性(bnxng)奇点奇点0010211)1 (1kkkkkkzzzzzzzf1|0 z第55页/共59页第五十六页，共59页。571、可去奇点、可去奇点定理定理(dngl)：z0为为 f (z) 的可去奇点的可去奇点有限）(A)z(flimzz02 2、极点、极点(jdin)(jdin)注：此定理只能判断出奇点是否为极点，注：此定理只能判断出奇点是否为极点， 但判断不出极点的阶数。但判断不出极点的阶数。定理：定理：z0是是f (z)的极点的极点0lim( )zzf z 第56

28、页/共59页第五十七页，共59页。583、本性、本性(bnxng)奇点奇点定理定理(dngl)：z0为为f (z)的本性奇点的本性奇点)(lim0zfzz不确定不确定(qudng)【例例】zezf1)(z=0为函数的本性奇点为函数的本性奇点该极限随该极限随z趋于趋于z0的方式而定。的方式而定。10limzze见见 课本课本P49的证明过程。的证明过程。第57页/共59页第五十八页，共59页。59奇点奇点孤立孤立(gl)奇点奇点可去奇点可去奇点极点极点(jdin)本性本性(bnxng)奇点奇点Azfzz)(lim0)(lim0zfzz0lim( )zzf z不确定非孤立奇点非孤立奇点第58页/共59页第五十九页，共59页。