第二章多元函数微分法及其应用第五节方向导数与梯度PPT学习教案

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1、会计学1第二章多元函数微分法及其应用第五节第二章多元函数微分法及其应用第五节方向导数与梯度方向导数与梯度- 2 - 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行1 问题的提出000(, ) 0P xy ),(,(0000yxfyxM xyzo第1页/共22页- 3 - 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz oyx

2、lP xy( , )( , )()zf x yP x yU PPl 设设函函数数在在点点的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，自自点点引引射射线线 ,(,)( ).xlP xx yylPU p 设轴正向到射线 的转角设轴正向到射线 的转角为并设为并设为上的另一点且为上的另一点且2 方向导数的定义P第2页/共22页- 4 - |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当 沿着 趋于 时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf ,z 考虑考虑是否存在？第3页/共22页- 5 -.),(),(lim0 yxfyyxxflf 22(,)( , ),()()f xx yyf

3、x yP PxyPlPPl 函数的增量与函数的增量与两点间的距离之比值，当两点间的距离之比值，当沿着 趋于时，如果此比的极限存在，则称这极限沿着 趋于时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方为函数在点沿方定义定义方方向 的向 的向导数向导数记为第4页/共22页- 6 -证明由于函数可微，则增量可表示为 ),(),(yxfyyxxf两边同除以,得到yyfxxf )( o cos cos ),(),(yxfyyxxf故有方向导数.coscos yfxf lf )(oyyfxxf 第5页/共22页- 7 -解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxe

4、yz)22(2221 lz.22 cos ,cos|PQPQ 22,22 如果记 为x到L方向的转角,则方向导数的计算公式为 lz cosxz sinyz 第6页/共22页- 8 -解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向的逆时针转角，,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos ),4sin(2 故22),(yxyxyxf x l例2 求函数在点（1，1）处沿任何一方向l 的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导 数有（1）最大值；（2）最小值（3）等于零？设为轴到则第7页/共22页- 9 -,),(),(lim0 zyxf

5、zzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义.coscoscos zfyfxflf 第8页/共22页- 10 -解令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为,142cos ,143cos .141cos 第9页/共22页- 11 -,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故第10页/共2

6、2页- 12 -例4 设函数,),(2zyxzyxf 求函数在点M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数解 曲线 12 32tztytx在点M (1,1,1) 处切线的方向向量为3,4,11dd,dd,dd ttztytxll 的方向余弦为263,264,261 )1 ,1 ,1(coscoscos zyxMffflf266 第11页/共22页- 13 -1 场的概念定义如果对区域 中的每一点，对应着物理量的一个确定的值，则称在区域 确定了该物理量的一个场，当对应的物理量为数量时，则称为数量场，当对应的物理量为向量时，则称为向量场。 上的数量场区域

7、上的数量函数)(Muu 上的向量场区域 上的向量函数)(MAA 在空间直角坐标系下，数量函数可以表示为),(,zyxuu 向量函数可以表示为kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 第12页/共22页- 14 -由方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量方向导数取最大值：,zfyfxfG cos,cos,cos0 l),cos(0lGG )1(0 l0lGlf ,0方向一致时方向一致时与与当当Gl Glf max2 梯度的概念设数量场),(zyxfu 一阶偏导数连续，l方向的方向余弦为,cos,cos,cos 第13页/共22页- 15 -这说明方向：f 变化率最大的

8、方向模 : f 的最大变化率之值:G定义如果在数量场)(Muu 中一点M处，存在这样一个向量,G其方向为数量场)(Mu在点M处变化率最大的方向，其模恰为这个最大变化率的数值，则称向量G为数量场)(Mu在点M处的梯度(gradient),记作),(gradMu或.gradu当),(zyxfu 且),(zyxf一阶偏导数连续时uadrgkzfjyfixf 第14页/共22页- 16 -当),(yxfu 且),(yxf一阶偏导数连续时uadrgjyfixf 说明:函数沿l方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.引入哈密尔顿微分算子zkyjxi 则梯度可以表示为fu gradf 第15页/共22页- 1

9、7 -函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,指向函数增大的方向.另一方面，函数),(zyxfu 在点P处沿梯度方向的方向导数是最大的，从而沿梯度方向函数值是增加的，所以3 梯度的几何意义 函数, ),(zyxfu 过点000( , , )(,) ,f x y zf xy z 当各偏导数不同时为零时,其上点P 处的法向量为.gradPf Pzyxfff| ,000(,)P xy z有等值(量)面第16页/共22页- 18 -解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxu ),(grad,6)24()32(kzjyix 故.1225)2 , 1 , 1(gradkjiu 第17页/共22页

10、- 19 -例6 求数量场)2(16222zyxu 在点)1 , 1 , 2(处沿曲面82222 zyx的内法向的方向导数。分析：曲面82222 zyx在点)1 , 1 , 2(处的等值面，为函数)2(16222zyxu 其内法向u 的函数值增大的方向，根据梯度的几何意义：数量场u 为在点M 处的梯度为函数u 过点M 的等值面的法向，且指向u 函数值增加一方，82222 zyx因此在点)1 , 1 , 2(处的内法向为数量场u 在点)1 , 1 , 2(处梯度的方向，再由梯度的定义数量场u 沿梯度方向的方向导数最大，最大的方向导数为梯度的模。第18页/共22页- 20 -例6 求数量场)2(1

11、6222zyxu 在点)1 , 1 , 2(处沿曲面82222 zyx的内法向的方向导数。解 xux2 )1 , 1 ,2()1 , 1 ,2(4 yuy2 )1 , 1 ,2()1 , 1 ,2(2 zuz4 )1 , 1 ,2()1 , 1 ,2(4 ugrad)1 , 1 ,2(kji424 lu222)4()2()4( 6 第19页/共22页- 21 -例7,)(可导可导设设rf),(222zyxPzyxr为点为点其中其中 证:xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)( rzrfzrf)()( 0)(rrf jyrf )(kzrf )(xrrf )(222zyxx ,)(ryrf ixrf )(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf 处矢径 r 的模 ,第20页/共22页- 22 -4 梯度的基本运算公式0grad(1) CuCuCgrad)(grad(2) vuvugradgrad)(grad(3) uvvuvugradgrad)(grad(4) uufufgrad)()(grad(5) 第21页/共22页