高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课素材 新人教A版必修4（通用）

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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量,、为任意实数,则有(1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b. 证明：(1)如果=0或=0或a=0,则式显然成立.如果0,0,且a0,则根据向量数乘的定义,有|(a)|=|a|=|a|,|()a|=|a|=|a|.所以|(a)|=|()a|.如果、同号,则式两边向量的方向都与a同向;如果、异号,则式两边向量的方向都与a反向.因此,向量(a)与()a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果=0或=0或a=0,则显然成立.如果0,0且a0,可分如下两种情况:当、同

2、号时,则a和a同向,所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|,|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|,即有|(+)a|=|a+a|.由、同号,知式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即式两边向量的方向相同.综上所述,式成立.如果、异号,当时,式两边向量的方向都与a的方向相同;当0且1时如图13,在平面内任取一点O作=a,=b,=a,=b,则=a+b,=a+b.由作法知,有OAB=OA1B1,|=|.所以|=.所以AOBA1OB1.所以=,AOB=A1OB1.图14因此O、B、B1在同一条直线上,|=|,与的方向也相同.所以(a+b)=a+b.当0时,由图14可

3、类似证明(a+b)=a+b.所以式也成立.二、备用习题1.(2a+8b)-(4a-2b)等于（ ）A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（ ）A.1 B.-1 C.1 D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（ ）A.a B.-6a C.6a D.a4.在ABC=,EFBC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_.5.在ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=_.6.已知ABC的重心为G,O

4、为坐标原点,=a,=b,=c,求证:=(a+b+c).7.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:解:a=-2e,b=-2e,b=-a.a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B 2.C 3.C4.-a+b5. e1-e2.6.连接AG并延长,设AG交于M.=b-a,=c-a,=c-b,=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).=(c+b-2a).=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的条件,且使b=a成立的值也不唯一(如=-1,=1,=2等均可使b=a成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线.(2)当e0时,则a=-2e0,b=2e0,b=-a这时满足定理中的a0,及有且只有一个实数(=-1),使得b=a成立.a与b共线.综合(1)(2),可知a与b共线.