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1、3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较难点突破函数是高中数学的重要组成部分，而指、对、幂等基本初等函数又是函数中的难点。为此，下面举例探讨突破难点的方法。一、函数定义域、值域问题例1 已知函数，求函数的值域。解析：函数为，由 得，的定义域为，。又因为，故函数的值域是。点评：函数是定义域与对应法则（解析式）构成的不可分割的整体，定义域是构成函数的重要因素，求解函数问题时，坚持定义域优先原则，可有效地纠错防错。本题误认为定义域为，是常犯的错误。而在求与指、对、幂函数有关的函数的值域时，除要考虑指、对、幂函数本身的取值外，还要灵活运用单调性来求解。二、比较大小问题例2 比较的大小。解析：指数函
2、数在上是减函数，且，。又，。点评：对于同底的两个函数值，我们可以直接利用指数、对数函数的单调性来比较大小，而对于与则不能直接看作某一个指数函数的两个值，此时常借助中间量“”来牵线搭桥。常用的中间量还有“”、“”等。例3 设且，若，试比较的大小。解析：（1）当时,有，即。又当时,在上单调递减，,即。（2）当时, 有，即。又当时,在上单调递增，,即。综上所述,。点评：像这类含参数的比较大小问题，要注意结合指数、对数函数的本身特点，对参数进行分类。三、函数单调性问题 例4 讨论下列函数的单调性。 （1） ； （2） 。解析：（1）函数的定义域为 ，设 ， ， 在 上是减函数。 当 时，为减函数，为增
3、函数；当 ,+ 时，为增函数，为减函数。（2）要使函数有意义，必须 。 设 ，为增函数。当时，为减函数，故函数在上为减函数。点评：对于复合函数的问题，注意应用复合函数的单调性来求解。需要注意的地方是，在求函数单调区间前应先考虑函数的定义域。例5 已知函数在区间上总有，求实数的取值范围。解析：，。当时,，即。， ,解得 。当时,，即。， ,解得 。综上可得, 实数的取值范围是。点评：先对底数分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）而得到参数的范围。解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论。四、函数图象的应用例6 若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解析：，则，在同一坐标系中作出函数与的图象，如图。 要使在只要在上，函数的图象在的上方。 由于当 时, ，而当时,，所以，要使在内恒成立，只有且，由此解得。 =故的取值范围是。点评：不等式的解,从图象的角度考虑,其实就是函数的图象在的图象上方的部分点的横坐标的变化范围。
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