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1、3二面角的计算 【例1】 （2020安徽高考）如图, 四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC. 过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q, 若AA14，CD2，梯形ABCD的面积为6，则平面与底面ABCD所成二面角的大小为 【解析】如图所示，在ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E.又DEAA1，且AA1AEA，所以DE平面AEA1，所以DEA1E.所以AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角因为BCAD，AD2BC，所以SADC2SBCA.又因为梯形ABCD的面积为6，DC2，所以SADC4，AE4.于是tanA
2、EA11，AEA1.故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.【评注】 定义法做二面角的平面角，要注意题设特殊性和系列题的特点，合理选择棱上的点，且过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是平面角. 【变式1】三棱锥中取特殊点定义法作二面角的平面角四面体ABCD中，ABAC2，DBDC2，BC2AD4，则二面角ABCD的大小是()A30 B45C60 D1351.45. 【解析】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，根据二面角的平面角的定义，AED即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则AED45.【例2】（2020湖南高考）如图所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有
3、棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形若CBA60，则二面角C1OB1D的余弦值为 【解析】如图 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1B1D1，从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1O
4、B1，于是OB1平面O1HC1.进而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，OB1.在RtOO1B1中，易知O1H2.,而O1C11，于是C1H.故cosC1HO1. 即二面角C1OB1D的余弦值为.【评注】自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，简称做棱的垂面法，其中面面垂直的性质定理和三垂线定理的应用是求解的关键.【变式1】三棱柱中作棱的垂面法找二面角的平面角（2020高考全国卷）如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACC
5、C12.设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，则二面角A1 AB C的正切值为 1. 【解析】 连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B. BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1 AB C的平面角由AD1，得D为AC中点，所以DF，tanA1FD
6、【例3】图10DACBEFB1D1OGM 如图已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，AF = 1，M是线段EF的中点. 则二面角A DF B的大小为 【解析】将原几何体补成长方体ABCD FB1ED1，如图 由正方体的性质知，BA面ADD1F，过A作AGDF连BG，则BGDF，AGB为所求二面角的平面角，在RtAGB中，易求AGB = 60.【评注】某些特殊几何体通过补形法，构造常见的长方体 正方体 正四面体等模型，使抽象问题简单化，易找到二面角的平面角. 互相垂直的两两长（正）方形补成长（正）方体易求二面角和体积。【变式1】四棱锥补成长（正）方体作平面角图8ABDA1
7、C1B1SC 如图8，四棱锥S ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB =，则面ASD与面BSC所成二面角的大小为 1. 45【解析】AB = BC = 1，SD = 1，故可把原四棱锥补成正方体ABCD A1B1C1S，连A1B，则面ASD与面BSC所成的二面角，即为面ADSA1与BCSA1所成的二面角.A1SSD，A1SSC，CSD为所求二面角的平面角，CAD = 45，故所求二面角为45.【变式2】四棱锥补成三棱锥作平面角在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD =，则面SCD与面SAB所成二
8、面角的正切值为 图13ABECDS2. 【解析】 如图13，延长BA、CD交于E，连结SE. AD =BC，且ADBC，EA = AB = SA = 1，SESB。又SA面ABCD，面SEB面ABCD，BCEB，BC面SEB，BCSE，SE面SBC，SESC，BSC是所求二面角的平面角，又SB =，BC = 1，tanBSC =.【例4】 如图，在正方体中，E为的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为 .【解析】 在正方体中，底面 A为点E在底面上的射影。ABD是EB1D在底面上的射影三角形。设正方体的棱长为1，则在EB1D中，过E作EGB1D于G，则，设平面与底面所成的二面角为则.【评注】射影面积法求二面角 ; 斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立. 【变式1】直三棱柱中射影面积法求二面角（06全国）如图，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分别为、的中点. 设，则二面角的大小为 .C BADE1. 【解析】连结.，即面在面内的射影是.在面内的射影是.设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.设AB = BC = 1，. 所以二面角的大小为.
高三数学 3二面角的计算试题（通用）
