甘肃省武威六中高中数学论文《一道高考立体几何试题的几种简捷解法》理(通用)
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1、一道高考立体几何试题的几种简捷解法摘 要:本文给出了2020年全国卷文科第15题的4种简捷解法。关键词:高考试题;简捷解法;类比中图分类号:G6322020年高考全国卷文科填空题第15题: 在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB+AC=BC.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两互相垂直,则 .”答案: 解法1:(先猜测,再特殊值验证法)在平面内,若直角三角形ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB+AC=BC.猜想在空间内,三棱锥A-BCD的三个侧
2、面ABC、ACD、ABD两两互相垂直,则取AB=AC=AD=2,则BC=BD=CD=,,,. 解法2:(射影法)设三棱锥A-BCD的顶点A在底面的射影为O,则三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD在底面的投影分别为BOC,COD,BOD.再设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD与底面所成的二面角为,则, CABDO, 同理:, 则.解法3:(解析几何法)设三棱锥A-BCD的三条侧棱|AB|=a,|AC|=b,|AD|=c,则,ABCD在三角形BCD中,由余弦定理可得:,由诱导公式可得:,即.解法4:(等体积法)由 , , , 过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,再过点A作AFDE, 垂足为F,ABCDEF则得: 则:又由三角形的面积公式可得: 则综上可得一道精彩的高考题,犹如一道靓丽的风景,只要我们仔细地去发现、去品味,就一定会为其丰富而简捷的解法而陶醉和惊叹。
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