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1、浅谈函数的对称性新化二中数学组 陈秋生函数的对称性是函数性质的一条非常重要的性质，对学生的逻辑思维能力和数形结合思想有着较高的要求，也逐渐成了高考和竞赛的热点，笔者在分析2020年高考试题时发现：全国卷（文）第4题，北京卷（文）第2题，天津卷（理）第8题，山东卷（理）第6题，湖南（文）第8题等，都是一些能直接用函数对称性解决的问题。但同时也使很多同学感到困惑，本文就笔者在教学中的一些心得谈几点浅显的看法。一、 函数自身的对称性结论. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (bx)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。证明 ：已知对于任意的都有f(a+) =f(b)
2、= 令a+=, b= 则（，），（，）是函数y=f(x)上的点显然，两点是关于x= 对称的。反之，若已知函数关于直线x = 对称，在函数y = f (x)上任取一点（）那么（）关于x = 对称点（a+ b,）也在函数上故f()=f(a+ b)f(a+(-a)=f(b-(-a)所以有f (a +x) = f (bx)成立。推论：偶函数（f(x)=f(-x)）关于y轴对称。结论.如果函数 y = f (x)满足f (x) + f (ax) = b，那么它的图像关于点A ()对称，反之亦然。证明：设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，则点P()关于点A ()的对称点P（a， b）也在y
3、 = f (x)图像上，故b = f (a)即 + f (a)=b故f (x) + f (ax) = b反之，设点P()是y = f (x)图像上任一点，则0 = f () f (x) + f (ax) =bf () + f (a) =b，即b = f (a) 。 故点P（a， b）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A ()对称，所以函数图象是关于点成中心对称的。推论：奇函数（f(-x)=-f(x)）图象关于原点成中心对称。结论A)若函数y = f (x) 图像同时关于点P (a ,c)和点Q (b ,c)成中心对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其
4、一个周期。 B)若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。C)若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且4| ab|是其一个周期。证明（略）例如：设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x2)与函数y=f(2x)的图象关于对称。函数是定义在上的函数且f(x2)f(2x)由f(a-x)=f(x+b)的对称轴是x=0函数图象关于y轴对称！细心的读者会看出，它其实不是同一个函数的对称问题，而是两
5、个函数的对称，所以上述的解法是错误的。二、 不同函数的对称问题结论.若点p(,)关于点（a,b）对称点为q()则2a-,=2b- 若点p(,)关于直线Ax+By+C=0对称点为q()则（证明留给读者）结论. 函数y = f (x)与y = 2bf (2ax)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。结论.函数y = f (x)与y = f (2ax)的图像关于直线x = a成轴对称。函数y = f (x)与ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。 设点P(x0 ,y0)是y = f (x
6、)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线xy = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1) 点P（x1， y1）在函数xa = f (y + a)的图像上。同理可证：函数xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线xy = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的成立。推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。三、 函数对称性应用举例例1：定
7、义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1
8、(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) =
9、 _ （第八届希望杯高二 第一试题）解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+x = ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = 故选(A)例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)
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