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1、江苏省苏州陆慕高级中学2020届高三数学上学期第六次双周考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填在答题卡相应位置上1集合，则 2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 . 3已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空）4已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 5.已知等差数列的前11项的和为55，则 6已知函数 则不等式的解集为 7已知为锐角, ,则_8. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 .9若将函数f(x)sin(wx+)(w0)的图象
2、向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 10. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 11. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 12. 已知，且若点C满足，则的最小值是 , 13. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ； 14. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ；二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
3、已知（1）求A的大小； （2）若,求的取值范围16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，且 N是的中点 (1)求证：直线平面； (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点17. （本小题满分14分）已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当OPQ的面积为1时，求直线l的方程18. （本小题满分16分）某山区有三个村庄、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已
4、知，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设.ABCP（1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）求当在何处时，总费用最小. 19. （本小题满分16分）已知数列中，其中是数列的前项和，且满足.（1）求实数的值；（2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（3）数列中是否存在正整数，（），使得，成等差数列？如果存在，求出，的所有解；若不存在，请说明理由20. （本小题满分16分）已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围；（3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请
5、说明理由.附加卷本试卷共40分，测试时间30分钟21. （本小题满分10分）矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求.22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值23. （本小题满分10分）如图，在三棱柱中，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为24(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球 （1）若n=15，且摸出的2个
6、球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 集合，则 2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 . 3 已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空）充分不必要4已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 5已知等差数列的前11项的和为55，则 136已知函数 则不等式的解集为 7已知、为锐角,c
7、os,tan(),则tan来 338. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 .9若将函数f(x)sin(wx+)(w0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 310. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 15. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 16. 已知，且若点C满足，则的最小值是 ,17. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；18. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ；8二、解答题
8、：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，且 N是的中点 (1)求证：直线平面； (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点15(1)证明：直三棱柱，,， .3分,，且 N是的中点，,，直线平面 .7分(2)证明：平面，平面，N是的中点，M是的中点 .14分16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求A的大小； （2）若,求的取值范围16.解：（1） 3分 是三角形的内角 7分（2）9分14分17.已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端
9、点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点(1) 求椭圆C的方程；xOyFAPQ（2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当OPQ的面积为1时，求直线l的方程17. 解：（1）由， 2分由解得，故椭圆方程为. 6分（2）法一：设方程为，令，联立消去， 8分，解得所以， 10分则，解得故方程为. 14分法二：设方程为，令，联立消去， 8分，则，所以， 10分则解得故方程为. 14分19. （本小题满分16分）某山区有三个村庄、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已知，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设
10、.ABCP（1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）求当在何处时，总费用最小.解：（1）在中，在中，由正弦定理得，所以，4分所以8分（2），令，记，则，所以极小值所以时最小，此时14分答：当时，总费用最小16分 19.（本小题满分16分）已知数列中，其中是数列的前项和，且满足.（1）求实数的值；（2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（3）数列中是否存在正整数，（），使得，成等差 数列？如果存在，求出，的所有解；若不存在，请说明理由解：（1）令，3分（2）时，- 得为定值，为首项为，公差为的等差数列9分（1） 假设存在正整数、使得，、成等差数列，则设，所以为递
11、减数列时，左边，左边右边时，（舍），时（舍），时时，；12分时，左边左边右边，方程无解综上：，.16分20. （本小题满分16分）已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围；（3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由.解（1）又切线方程为3分（2）对任意的恒成立.即设，若，则在递增又不等式恒成立5分若，令得0递减极小值递增,设，,所以在递减，又因为.所以.所以无解.综上：9分（3）假设存在两点，且，使得直线的斜率满足:，因为因为，所以11分两边同除以得，设，因为，所以，得.设因为，所以在
12、递增，又因为.所以.故不存在两点，且，使得直线的斜率满足：.16分数学答案21.矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求.解：由题意. 1分 3分的特征多项式为.则. 5分当，特征方程属于特征值的一个特征向量为，. 7分. 10分22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值解：，圆心，半径，圆心，半径3分圆心距， 5分两圆外切时，； 7分两圆内切时，综上，或10分23. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，在三棱柱中，且（1）求棱与BC所
13、成的角的大小；（第22题）BACA1B1C1（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）P为棱中点，设，则设平面的法向量为n1，则故n18分而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，解得，即P为棱中点，其坐标为10分24(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球 （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?23解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则 1分设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则， 或(舍) 红球的个数为(个) 3分随机变量的取值为0，1，2，分布列是012的数学期望 6分（2）设袋中有黑球个，则）设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则， 8分当时，最大，最大值为10分
江苏省苏州陆慕高级中学2020届高三数学上学期第六次双周考试题（通用）
