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1、第一章事件与概率案例2022版概率与统计学习导引实用文档 用心整理1 -千里之行 始于足下第一章 事件与概率案例案例1 某人有5把钥匙，其中有2把房门钥匙，但忘记了开门的是哪二把，只好逐把试开，问此人在三次内能翻开房门的概率是多少？分析p 第一次开时可以从5把中任取一把，有种取法，第二次在剩下的4把中任取一把，有种取法，第三次又在剩下的3把中任取一把有种取法，共有种取法，即含有60个根本领件。解答 设A=三次内翻开房门，那么三次都打不开房门共有种开法，所以A包含个根本领件。于是 。案例2 袋中有a+b张彩票，其中a张有奖b张无奖，如今把彩票随机地一张张摸出来，求第k次摸出的彩票中奖的概率(1k
2、a+b).分析p 假如把a+b张彩票看成是各不一样的，可采用无重复的排列方法求解，那么有解法1；假如构造的样本空间只考虑前k次摸彩票或第k次摸彩票，那么可得解法2与解法3。解答1 设A=第k次摸出的彩票中奖.把a+b张彩票随机地一个个摸出来进展全排列，样本空间含有(a+b)!个根本领件。A包含的根本领件数可以这样考虑：从a张有奖彩票中任取一张排在第k个位置，有a种取法，其余a+b-1位置上相当于a+b-1张彩票进展全排列，有(a+b-1)!种排法。于是 解答2 把a张有奖的和b张无奖的彩票看作是各不一样的，样本空间只考虑前k次摸摸彩票，根本领件总数为，其中第k个位置上排有奖彩票的种数为从a张有
3、奖彩票中任取一个排在第k个位置上，再从余下的a+b-1张任取k-1张排在前面k-1个位置上，共有种排法。于是 解答3 样本空间只考虑第k次摸彩票。根本领件总数是从a+b张彩票中任取一张排在第k个位置上，有a+b种排法。而第k个位置排有奖彩票的种数是从a张有奖彩票中任取一张排在第k个位置上，有a种排法。于是 评注 1显然所求事件的概率与k无关，即每一次摸到有奖彩票的概率一样。这是抽签问题的模型，即抽签时各人时机均等，与先后顺序无关；2本例的三种解法，来自对样本空间的不同构造。在计算n，k时必须在已经确定的样本空间中进展，否那么就会导致错误的结果；3本例也可作为条件概率问题，用全概率公式求解，读者
4、不妨一试。案例3 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。假如只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；假如有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；假如三人都击中，飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。分析p 要考虑飞机被击落，必须先考虑有几个人击中飞机，然后利用全概公式计算其概率。解答 设Ai分别表示甲、乙、丙击中飞机，(i=1,2,3)，那么由P(A1)=0.4， P(A2)=0.5， P(A3)=0.7.假设Bi=有i个人击中飞机，(i=0,1,2,3)，A=飞机被击落，那么由且注意到A1，A2，A3互相独立，有=10.4(10.5)(10.7)=0.09
5、,=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36. P(B2)=0.41, P(B3)=0.14,于是，由全概率公式得=0.090+0.360.02+0.410.6+0.141=0.458.案例4 产品中96是合格品，现用一种简化的质量检查方法，它把真正的合格品判为合格品的概率为98，而把废品误判为合格品的概率为5.求被判为合格品的一个产品确实是合格品的概率。分析p 本例为试验的结果，即一个产品被判为合格品，寻找导致该结果的某种原因发生的可能性，即计算这个合格品来自合格品的可能性.可用逆概公式求解。解答 设A=一产品确为合格品，B=检验后被判为合格品 ， 那么=一产品为
6、废品.由题设可知 于是，由逆概公式得评注 1该案例属于全概和逆概问题，一般这类问题所涉及的试验可分成两步：第一步的试验结果可构成样本空间的一个划分，或者说可构成一个完备事件组，在这些结果的根底上再进展第二步实验。2假如要求的是与第二步试验结果有关的某事件的概率，那么利用全概公式。假如与第二步试验结果有关的某事件已经发生，要求该事件发生的某种原因的概率，那么利用逆概公式。案例5 假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4，混合100个人的血清，求混合血清中含有肝炎病毒的概率。分析p 每个人血清中含有肝炎病毒的事件是互相独立的，且混合血清中含有病毒当且仅当100个人中至少一个人血清中含有病毒。解答 设Ai=第i个人的血清中含有肝炎病毒，(i=1,2,3,100)，那么所求概率的事件可表示为于是 评注 (1)这类问题,要根据实际意义由试验的独立性判断事件的独立性；(2)利用事件的独立性把积事件的概率转化为概率的积；3对于互相独立的事件的和事件的概率的计算，可利用对立事件，对偶性等转化为求积事件的概率。案例6 某批发站供给10家商店，其中每一家商店预订下一天货物的概率都等于第 4 页 共 4 页
第一章事件与概率案例2022版概率与统计学习导引
