有关概率论问题的论文

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1、 本科毕业论文（设计）模板本科学年论文论文题目： 概率论与数理统计在实际生活中的应用 学生姓名： 黄宇航 学 号： 1104280115 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1101 指导教师： 朱少平 完成日期：2014 年 3 月 7 日概率论与数理统计在实际生活中的应用摘 要随着科技的发展，时代的进步，概率论与数理统计作为数学的一个分支，在生活中扮演着越来越重要的角色，生活中处处存在着概率统计，看完本文大家就知道概率的魅力了。本文先叙述了生活中的几个实例：彩票中奖问题，抽签的公平性，石头、剪刀、布中的概率，着重利用概率得出彩票投注中奖的概率的非常小的，小到可以忽略不计，并分析了彩票投

2、注的两种误区：大小号都要买和开奖数字走势图，这两种都是没有科学依据，劝戒人们买彩票要端正心态，不要把想着中大奖。然后叙述概率论与数理统计在医学方面以及生活中小概率事件的应用，得出了一种快速验血的方法，让人们知道小概率事件处处存在，利用好小概率事件，我们生活更如意。以上应用中主要用到了中心极限定理，数学期望，贝努利大数定理以及离散型随机事件发生的概率，n重贝努利试验。关键词：随机事件；数学期望；n重贝努利试验目录序言1一、概率论与数理统计在日常生活中的实例1（一）彩票是否中奖问题11.中国福利彩票双色球中奖概率12.利用概率论得出彩票投注中各种办法的本质13.彩票投注的两种误区2（二）抽签的公平

3、性4（三）石头、剪刀、布中的概率4二、概率论在医学方面的应用6（一）用概率论得出一种提高验血的方法6三、概率统计在经济学中的应用7（一） 在经济管理决策中的应用7（二）在经济损失估计中的应用8（三）在求解最大经济利润问题中的应用8（四）在经济保险问题中的应用9参考文献10序言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。1例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100

4、0年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。一、概率论与数理统计在日常生活中的实例（一）彩票是否中奖问题1.中国福利彩票双色球中奖概率一张彩票的中

5、奖机会有多少呢？现以中国福利彩票“双色球”为例来计算一下。“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和一个蓝色球号码组成。红色球号码从133中选择；蓝色球号码从1|-16中选择。如果一注彩票6个红色球号码与一个蓝色球号码与摇奖机摇出的号码完全相同，就获得一等奖，我们来计算一下“双色球”的数字多少种排列方法：N=17721088,这就是说假如只买一注“双色球”彩票，中一等奖的机会是大约1/1800万，这几乎是单个人力不可为的，获奖仅是人们期盼的偶然而又偶然的事。2但对全体彩民来说，就算每人买一注彩票，1800万人几乎肯定有一人中一等奖。有的人一次买数百元，有的人甚至一次买万元，究竟买多少算比较合适呢

6、？经济学上有一个边际效益递减规律，简单的讲，就像对于一个饥饿的人，给他吃第一个馒头他觉得很好吃，但吃到第十个时就变得食之无味，甚至是反胃了。买彩票也一样，买2元就拥有了机会，多买几注无非是为了多一些中奖可能。但从彩票的中奖概率上讲，200元购买彩票的中奖概率并不比2元高出多少。因此，购彩献的是一份爱心，得的是一份幸运，要端正心态不要盲目去赌！2.利用概率论得出彩票投注中各种办法的本质首先看我国现行的彩票种类。最主要的一类是“选”型（比如说25选6,36选7等），这种彩票的规则是：从指定的n个自然数选出不同的（有的彩票允许相同）的数，最后看选出的这些数，和摇奖器随机选出的数符合程度来确定所获奖项

7、的高低；另外又有一类，每张彩票所代表的奖项是预先定好的，并且用一层涂料覆盖着，购彩者当场刮开兑奖；还有一类就是和一些具体的社会活动有关系的，比如说足球彩票等，这类彩票中奖情况和该社会活动的情况相关。对于后两类彩票来说，因为每一个彩民是否中奖，不但依赖与他自己的选择，并且还由一些其他不可预测但不具有随机性的人为因素来决定，所以这里无法用科学的方法来分析。但对于“选”型的彩票，因为是否中奖直接由彩民自己选择决定，满足随机事件的性质，因此可以用概率论的方法来考察。离散型随机事件的发生的概率用如下公式定义的：事实一：我们不可以问“为什么这个公式是对的”，因为这个公式是作为概率论的一条公理，没有它就没有

8、概率论；人类接受它是因为它具有直观上的正确性，就好像我们接受“两点确定唯一一条直线”这个几何公理是一样的。中国福利彩票双色球的中奖概率就是由这个公式的算出的。3同时由公式还可以推出事实二：买注的中奖概率是只买一注的赔，这个规律肯定是不变的。我们知道，“选”型的彩票所有可能买的组合总数是固定的，比如说36选7的所有可能组合有8347680种。因此，想获得尽可能大的中奖概率的唯一途径就是增大式右边分数的分子，也就是说，覆盖尽可能多的组合，除此之外别无它法，除非不承认概率论。所以剩下的问题就是简化为：怎么去尽可能覆盖这些组合。这就是所谓“包号”。从上面的讨论可以看出，如果是一般彩民，买几注或者几十注

9、，想中头等奖或一、二等奖，不管用什么买号“技巧”再加上“灵感”，中奖的概率都是在百万分之几这个极低水平；事实上现在被幸运之神光顾过的“专业彩民”，大多数是通过一定数量的“包号”这个方法来保证的。从式看出，如果想保证让人乐观的中奖率，起码要包上千万个号，具体买多少注看个人经济能力了。其余类似的彩票同理可知。到这里我们对于“选”型这中彩票的所有底细都一目了然了，有公式这盏“明灯”，我们的思路就不会乱，也不容易受各种稀奇古怪的说法所迷惑了。有人可能会发现：怎么“选”型这么快就讨论完了？难道就没有更深入的吗？回答是：对，没有更深入讨论，就这么简单。一句话概括就是：要想中大奖就要多投注，不要想着买很少就

10、有很高的中奖率，这绝对是不现实的。其实现在所有科学根据的方法，百分之百都是上面所说的原则的等价说法，只不过换个形式，换种语气或者绕来绕去又回到原地而已。有一种倾向是不对的，那就是把彩票的规律看成深不可测的，其原因就是没能抓住这些规律的本质，思路不清晰，方向不明确，瞎碰乱撞最终的结果必然头晕不知所以然。3.彩票投注的两种误区误区一：大小号都要有现在有一种个说法，说只要选的数字的和比较适中，就可以增大中奖概率。这是片面的。应该这样说才对：要把数字和适中的所有组合都包下来，才可以增大中奖概率。换个角度看，数字和适中的所有组合的个数占的比例最大，所以正确的说法实质上等价于：要多下注。上面的错误看法的另

11、外的一种等价说法就是：大小号都要有。这种看法产生原因就是，因为现在开奖的结果号码分布一般都是比较均匀的（实际上计算易知开出号码都是小号或大号的概率和中二等奖的概率差别不大，都是极低的），因此会让人误认为大小号都选中奖的概率会增大。其实尽管开奖结果大小号都有的概率是最大的，但是大小号都选的可供选择的组合个数也是最多的。因此这样综合起来其效果还是符合事实二的。之所以很多人多次这样买号中不了大奖还坚信其正确性，可能是因为每次开出来的结果和自己的选号比较“接近”，让人有“差一点就成功的感觉”。其实以另外的眼光看看就清楚了：“差一点就中奖”和“差很多才中奖”的实际效果都是“没中奖”，理论计算得出的结果肯

12、定是正确的。误区二：开奖数字“走势图”除了上面所说之外还有更严重的情况：现在出现了一股“不讲科学”的风气。其中一个很典型的症状，也是一个很大的误区，就是所谓的“走势图”。我们知道股票里的走势图，可以从过去几天股票市场的情况可以预测将来的股票市场，这个的确有一定的经济学依据的；但是有一些人就“同理类推”，根据以往几期“选型”彩票的抽奖结果，弄一个走势图就像分析股票那样去“预测”下一期的“重号”等等。这里姑且先不谈论具体预测方法的正确性，光是这个“预测”所依赖的前提就已经大错特错了。事实上，各期彩票开奖的情况之间也是不存在任何关系的。甚至，每一期之中各号码之间也是不存在关联的，这个是由这种抽奖方式

13、决定的。概率论里面称这种事件为“独立随机事件”。通俗来说就是，任何一部抽奖的摇珠机、里面装的每一个数字球都要有一定的机械质量保证，使得每次从机器里掉出来的号码，都是互相独立随机的。也许有人认为就算这样，很多随机事件都可以表现出一定的统计规律。这个说法也不是没有道理的，关键是“许多”的概念到底是多少呢？历史上真的有物理学家去研究这个问题，因此有一个很著名的实验结果。那个实验是研究“2选1”的，也就是拿一个硬币去抛，观察正反面出现的次数的统计规律。在那个著名实验中，科学家发现，光是“2选1”这个最简单的情况，也要进行3万多次才可以说出现了统计规律。现在我们的彩票远远不止“2选1”这么简单，因此需要

14、经过的次数要远比3万远远大的多，不是几倍的关系，而是一个大得和某些恒星的质量差不多的天文数字了。因此从已有的开奖结果来预测今后情况，恐怕是到了我们居住的太阳系灭亡的时候都还是不可能的事情。具体再看看现在一些所谓的“走势图预测”，看看他们的结论多么不堪一击：如果有几期连续出现某些数字，那么有一些人就说，要“关注”这几个“重要的号码”，下一期很可能又是它们，难道彩票也实行“世袭制”？又有这样的例子，前几期出现过一段时间是这些号，突然有一期来了另外一个号，有些人就说，今后要注意这个“冷号”，难道彩票是历史学家，会吸取历史教训？还有形形色色类似的东西，这里就不一一列举了，这些东西现在不时可以在舆论媒体

15、上看到，并且有一点很有意思，这些人只是摆个方法在那儿，从来都闭口不提这些所谓“预测”的实际效果。根据上面的分析，我认为这些“走势图”的思路是没有丝毫科学依据的，是站不住脚的。它提供的方法除了让人感到活泼之外根本没有提高中奖的可能性。因此我觉得，不可能存在一种最好的办法，可以让人稍微碰上点运气或者持之以恒地买彩票、靠积累经验就可以拿大奖；当然拿小奖也不需要技巧，因为本来中小奖的要求很低，式中的分子变得很大，所以中奖率较高。事实上没有人能够很多次地中头等奖，这个事实说明，彩票这个事情靠的完全是运气，想中奖的可能性只有多下注，没有旁门左道可走。（二）抽签的公平性 四个人抓阄，其中只有一张参观券，三张

16、白卷，求每个人抓到参观卷得概率。设按甲、乙、丙、丁的顺序抓阄，用表示第i个人抓到参观卷，用表示第i个人没有抓到参观卷，用表示第i个人抓到参观卷的概率，用 表示第i个人没抓到参观卷的概率，（i=1,2,3,4）= =在日常生活中，我们常用类似于上例的抽签方式来决定一件事，如运动会中跑道的确定，比赛时歌手的出场顺序等。上例的结果表明抽签时不必争先恐后，因为不论先抽还是后抽，抽到好签的概率都是相等的，因为抽签对每个人都是公平合理的。4（三）石头、剪刀、布中的概率 在两个体育代表队进行比赛或两个人开展游戏时，经常需要裁决先后，而最简易的方法之一就是“剪刀、石头、布”，以两人为例（两队则派一代表进行）参

17、与比赛的甲乙双方同时出示三种手势（拳、叉、掌分别代表石头、剪刀、布）中的任何一种，其胜负规则为：“拳胜叉、叉胜掌、掌胜拳。”比如，甲出示拳而乙出示掌时，记为（拳、掌），则乙胜；如果双方出示相同手势，如（拳、拳）、（叉、叉）、（掌、掌），则不能决胜负，于是再来一次，类此下去，直至决出胜负。由此，我们提示如下问题：此规则是否公平？如果双方出示相同手势，则“石头、剪刀、布”要继续下去，为了节约时间，甲向乙提出“若一次能决胜负则甲胜；否则为乙胜”问乙能否接受甲的提议？“石头、剪刀、布”作为一种决定先后的方法，我们自然不希望所花的时间太长，那么要问：裁决成功平均要花多长时间，即多少回合？“石头、剪刀、布

18、”三次还不能决胜负的概率？ 以下依次分析上述问题、“石头、剪刀、布”这种裁决先后的方法是否公平，要看每一次比赛双方获胜的概率是否相等。事实上，我们假定每人每次出示三种手势是等可能的，且均不受对方的影响，于是我们讨论的随机试验是一个古典概型，其全体基本事件为： （拳、拳）、（掌、拳）、（叉、拳） （拳、掌）、（掌、掌）、（叉、掌） （拳、叉）、（掌、叉）、（叉、叉） 九种状态。5在一个回合中设事件A为“甲获胜”，事件B为“乙获胜”。则由古典概型的求概率法则有：显然n=9，而甲获胜当且仅当（拳、叉）、（掌、拳）、（叉、掌）等三个基本事件发生，因此k=3.即，同理。于是得，即该方法是公平的。、若设“

19、一个回合决定胜负成功”为事件C，则且A、B互不相容，那么：而 于是，即“一个回合决定了胜负”的概率大于“不能决定胜负”的概率。因此，若乙盲目同意，则乙将吃亏。、由规则知“石头、剪刀、布”每次均不互相影响，即是一个独立试验序列。因“裁决成功所需要的次数”是个离散的随机变量，记为，它的取值是一切自然数。我们求出它的分布列如下：从而随机变量遵从参数的几何分布，其分布列如表：123NP为求随机变量的数学期望，要应用下述事实。由等比级数知，当此即是说，裁决成功所需要的次数平均不超过两次，而三次还不能决定胜负的概率为：因此，三次还不能决定胜负的可能性是很小的，粗略的说，在进行约27场比赛中，才可能有一次出

20、现三次以上决胜负。 二、概率论在医学方面的应用（一）用概率论得出一种提高验血的方法在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血。对这些人的血的化验可以用两种方法进行。每个人的血分别化验，这时需要化验N次；把K个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么对这K个人只需作一次化验，如果结果是阳性的，那么必须对这K个人再逐个分别化验，这时对这K个人供需作K+1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，而且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法可以减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。6解：若记q=1-p，则k个人的混合血呈阳性反应的概率为，在使用方法验血时，每个人的血需要化验的次数

21、X是随机变量，它的分布律为：XP因此，X的数学期望为 N个人需要化验次数的平均值为 由此可知，只要选择k，使得 即使 ，则按照方法就可以减少验血次数。当p固定时，若选取，使得达到最小，即 这时，把个人分为一组就最能节省验血次数。三、概率统计在经济学中的应用（一） 在经济管理决策中的应用 在进行经济管理决策之前，往往存在不确定上的随机因素，从而所做的决策有一定的风险，只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标，才能尽可能节约资本。利用概率统计知识可以获得合理的决策，从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。例1 某人有一笔资金，可投

22、入三个项目：房产X,、地产Y和商业Z，其收益和市场状态有关，若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为，根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益（万元），见表1：表1 各种投资年收益分布表等级好中差房产113-3地产64-1商业102-2请问：该投资者如何投资好？解： 我们先考虑数学期望 根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产，但投资也要考虑风险，我们再来考虑他们的方差： 因为方差愈大，则收益的波动愈大，从而风险也大，所以从方差看，投资房产的风险比投资地产的风险大得多，若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资地产比较好，虽然平均收益少0.1万元，

23、但风险要小一半以上。（二）在经济损失估计中的应用随着经济建设的高速发展，火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升趋势，从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。例2 已知某仓库的货物在储藏过程中，仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布，今随机抽取8次货损资料，得到如下仓库货物损失金额表。表2 仓库货物损失金额表货物损失金额（元）1000200030005000次数2141解：利用矩法估计或最大似然估计可知：的矩估计量分别为： 从而根据表2中的数据可计算出：

24、=1101562.5从而得到货物损失的平均估计值为2625元，标准差的估计值为1049.55元。（三）在求解最大经济利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标，随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。例3 某公司经销某种原料，根据历史资料：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300,500）上的均匀分布，每售出1顿该原料，公司可获利1.5千元；若积压1顿，则公司损失0.5千元，问公司应该组织多少货源，可是期望的利润最大？ 分析：此问题的解决先是建立利润与需求量函数，然后求利润的期望，从而得到利润关于货源的函数，最后利用求极值的方法得到答案。解：设公司组织该货源a吨，

25、则显然应该有，又记Y为在a顿货源的条件下的利润，则利润为需求量的函数，即，由题设条件知：当X时，则此a顿货源全部售出，共获利1.5a；当Xa时，则售出X吨（获利1.5X），且还有a-X吨积压（获利-0.5（a-X），所以共获利1.5X-0.5（a-X），由此得 从而得 = 上述计算表明是a的二次函数，用通常求极值的方法可求得，当a=450吨时，能够使得期望的利润最大。（四）在经济保险问题中的应用 目前，保险问题在我国是一个热点话题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务，人们总会预算某一业务对自己的利益有多大，会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这

26、一方面的应用。例4 已知在某人寿保险公司有2500个人参加保险，在一年里这些人死亡的概率为0.001，每人每年的头一天向保险公司交付保险费12元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元保险金，求（1）保险公司一年中获利不少于10000元得概率；（2）保险公司亏本的概率。7 解：设一年中死亡的人数为X，死亡率为p=0.001，把考虑2500人在一年里是否死亡看成2500重贝努利试验，则 保险公司每年收入为25001230000，付出2000x元，则根据中心极限定理得： 所求概率为： 所求概率为：经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为0。这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。参考文献1 魏宗舒等编，概率论与数理统计（第二版）北京：高等教育出版社.2 盛举，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第三版）北京：高等教育出版社2011:146-1473 毛纲元，概率论与数理统计解题方法技巧归纳M,武汉：华中理工大学出版社2000:523-530.4 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程M，高等教育出版社，20045 甘媛，生活中的小概率事件J,赤峰学院报，2008,5（1）：05-06.6 骆先南，周勇，概率论与数理统计M,北京：科学出版社，2005.7 徐国祥，刘汉良，统计学M,上海：上海财经大学出版社，2001.10