概率论与数理统计15章魏宗舒版

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1、-第一章 事件与概率1.1 写出以下随机试验的样本空间及表示以下事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则(2)记2个白球分别为，3个黑球分别为，4个红球分别为，。则，() ， ()，1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运发动。(1) 表达的意义。(2)在什么条件下成立.(3)什么时候关系式是正确的.(4) 什么时候成立.解 (1)事件表示该是三

2、年级男生，但不是运发动。(2) 等价于，表示全系运发动都有是三年级的男生。(3)当全系运发动都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品。用表示以下事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1); (2); (3);(4)原事件即至少有两个零件是合格品，可表示为；1.4 证明以下各式：(1);(2)(3);(4)(5)(6)证明 14显然，5和6的证法分别类似于课文第1012页1.5式和(1.6)式的证法。1

3、.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八*卡片中任取两*，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件所得分数为既约分数包含个样本点。于是。1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件所取三条线段能构成一个三角形包含3个样本点，于是。1.7

4、一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的等可能的，问恰好组成MATHEMATICIAN一词的概率为多大.解 显然样本点总数为，事件恰好组成MATHEMATICIAN包含个样本点。所以1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红车及一只黑车，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红车的位置，黑车可处于个不同位置，当它处于和红车同行或同列的个位置之一时正好相互吃掉。故所求概率为1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除

5、底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件没有两位及两位以上乘客在同一层离开相当于从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯。所以包含个样本点，于是。1.10 *城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件偶然遇到一辆自行车，其牌照中有数字8”的概率为多大.解 用表示牌照中有数字8，显然，所以-1.11 任取一个正数，求以下事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 (1)答案为。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为(3)一个正整数

6、的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是。1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言

7、有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示6根草恰好连成一个环，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是(2)根草的情形和(1)类似得1.13 把个完全一样的球随机地放入个盒子中即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入*个盒子，这时也称球是不可辨的。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)*一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，(2)恰好有个盒的概率为，(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，

8、解 略。1.14 *公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解 所求概率为1.15 在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为1.17 在线段上任取三点，求：(1)位于之间的概率。(2)能构成一个三角形的概率。解 (1) (2)

9、1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为均小于，求三角形与平行线相交的概率。解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，则显然，。所以用例1.12的结果1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件.试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件该点命中的中点的概率等于零，但不是不可能事件。1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直

10、到两人中有一人取到白球时停顿。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，则样本空间，并且，甲取胜的概率为+乙取胜的概率为+1.21 设事件及的概率分别为、及，求，解 由得 ，1.22 设、为两个随机事件，证明：(1);(2).证明 (1)=(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23 对于任意的随机事件、，证明：证明 1.24 在*城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、

11、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。(1)=30%(2)(3)+=+=73%(4)(5)(6)1.26 *班有个学生参加口试，考签共N*，每人抽到的考签用后即放回，在考试完毕后，问至少有一*考没有被抽到的概率是多少.解 用表示第*考签没有被抽到，。要求。，所以1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少.解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且

12、仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件排列中即第个主对角线元素出现于展开式的*项中。则，所以1.29 一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的。解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示有女孩，表示有男孩，则1.30 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解1设表示所取产品中至少有一件是不合格品，表示所取产品都是不合格品，则 (2)设表示所取产

13、品中至少有一件合格品，表示所取产品中有一件合格品，一件不合格品。则1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一*电影票，他们依次摸彩，求：(1)前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解 设表示第个人摸到，。(1)(2)1.32 一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代即小鸡的概率为。解 用表示母鸡生个蛋，表示母鸡恰有个下一代，则 1.33 *射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通

14、过选拔进入决赛的概率。解 用表示任选一名射手为级，表示任选一名射手能进入决赛，则1.34 在*工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少.解 用表示任取一只产品是甲台机器生产表示任取一只产品是乙台机器生产表示任取一只产品是丙台机器生产表示任取一只产品恰是不合格品。则由贝叶斯公式：1.35 *工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机

15、床是车床的概率是多少.解 则 ， ，由贝时叶斯公式得 1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少.解 用表示朋友乘火车来，表示朋友乘轮船来，表示朋友乘汽车来，表示朋友乘飞机来，表示朋友迟到了。则 1.37 证明：假设三个事件、独立，则、及都与独立。证明 1= 2 3=1.38 试举例说明由不能推出一定成立。解 设， 则 ，但是1.39 设为个相互独立的事件，且，求以下事件的概率：(1)个事件全不发生；(2)个事件中至少发生一件

16、；(3)个事件中恰好发生一件。解 (1)(2)(3).1.40 事件相互独立且互不相容，求注：表示中小的一个数。解 一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以1.41 一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求以下事件的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为型，两个人为型；(3)没有一人为。解 (1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为：(2)(3)1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时

17、发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少.又假设有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用表示第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机，表示击中飞机。则，。(1)(2) , 取。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。解 用表示在成功次之前已失败了次，表示在前次试验中失败了次，表示第次试验成功则 1.45 *数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有根火柴的概率。解 用表示甲盒*余根火柴， 用表示乙

18、盒*余根火柴，分别表示第次在甲盒取，第次在乙盒取，表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 由对称性知，所求概率为：第二章 离散型随机变量2.1 以下给出的是不是*个随机变量的分布列.(1) (2)(3) (4)解 1是2，所以它不是随机变量的分布列。3,所以它不是随机变量的分布列。4为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2 设随机变量的分布列为：，求(1);(2) ； (3)。解 (1);(2);(3).2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。解 ，所以。2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以

19、，即的分布列为，取正整数。2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停顿。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6 设*批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进展测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大，求的分布列。解 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到*人投中时为止，如果第一名队

20、员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；。2.10 设随机变量服从普哇松分布，且，求。解。由于得不合要求。所以。2.11 设*商店中每月销售*种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得。2.12 如果在时间分钟内，通过*穿插路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间内通过穿插路口的汽

21、车数，则时，所以；时，因而。2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上每一页的印刷符号超过500个。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现*一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214 *厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，假设要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，则每箱至少应装多少个产品.解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。2.15 设二维随机变量的联合分布列为：求边际分布

22、列。解 。2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。解 ， ，； ，； ，。2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。2.21 设随机变量与独立，且，又，定义，问取什么值时与独立.解=而，由得 2.22 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。 证明因为所以相互独立。同理与相互独立。但是，因而不相互独立。2.23设随机变量与独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分即不可能有。

23、证明 设。假设，则将2式减去1式，得：，于是。同理。因此，与3式矛盾。2.24 随机变量的分布列为，求与的分布列。解 分布列为，；的分布列为，。2.25 离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解 , , , 2.26 设离散型随机变量的分布列为： ， ：，且相互独立，求的分布列。解 2.27 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。解 设为重贝努里试验中事件发生的次数在每次试验中，为重贝努里试验中事件发生的次数在每次试验中，而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而。2.28 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为求的分布列。解2.29 设随机变量具有分布：，求、及。解，

24、+4+4=272.30设随机变量具有分布：，求及。解 ，2.31设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望.解 ，因为级数发散，所以没有数学期望。2.32 用天平秤*种物品的重量砝码仅允许放在一个秤盘中，物品的重量以一样的概率为1克、2克、10克，现有三组砝码： 甲组1，2，2，5，10克 乙组1，2，3，4，10克 丙组1，1，2，5，10克问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少.解 设、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2

25、3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33*个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49,米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。解 设场地面积为，边长的误差为米，则且所以2.34 对三架仪器进展检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、。试证发生故障的仪器数的数学+。证 令为发生故障的仪器数，则，所以+。2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进展检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数

26、，则，所以。2.38 从数字0，1，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设为所选两个数字之差的绝对值，则，于是。2.39 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设则的分布列为：于是，设匹配数为，则，因而。2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1);(2)证明 (1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而。(2)存在，所以级数也绝对收敛，从而2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进展到成功与失败均出现时停顿，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则，利用上题的结论，+=1+2.42

27、 从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停顿。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43 对一批产品进展检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停顿继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件.解 略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修

28、之间产品总数为，则因独立同分布，由此得：，。，。2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有由此并可得证明 2.47 在整数0到9中先后按以下两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。解 (1).(2) , 2.49 在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令求在的条件下，的分布列。解 。2.50 设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证：证明 由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以2.51 设，为个相互独立随机变量，且服从同一几何分布，即有。试证明在的条件下，的分布是均匀分布，即，

29、其中.证明 由于，相互独立且服从同一几何分布，所以。从而。第三章 连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为，试以表示以下概率：1；2；3；4解：1；2；3=1-；4。3.2 函数是否可以作为*一随机变量的分布函数，如果120，在其它场适宜当定义；3-，在其它场适宜当定义。解：1在-内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；2在0，内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；3在-内单调上升、连续且，假设定义则可以是*一随机变量的分布函数。3.3 函数是不是*个随机变数的分布密度.如果的取值范围为1；2；3。解：1当时，且=1，所以可以是*个随机变量的分布密度；2因为=2，所以不是随机变量

30、的分布密度；3当时，所以不是随机变量的分布密度。3.4 设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有1；2P；3。证：1 = =；2，由1知1-故上式右端=2；3。 3.5 设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型.证：因为与都是分布函数，当时，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6 设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求。解：，所以相应的密度函数为。3.7 设随机变数的分布函数为求常数及密度函数。解：因为

31、，所以，密度函数为3.8 随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为所以因而。3.9 随机变数的分布函数为（1） 求相应的分布函数；（2） 求。解：3.10确定以下函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。1；23解：1；2，所以A=;(3),所以。3.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。解：当0时所以 3.13 *城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率即用电量除以一万度，它具有分布密度为假设该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少.如每天供电量90万度又是怎样呢.解：因此，假设该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的

32、概率为0.0272,假设每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14 设随机变数服从0，5上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：当且仅当1成立时，方程有实根。不等式1的解为：或。因此，该方程有实根的概率。3.17 *种电池的寿命服从正态分布，其中小时，小时(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；2求，使寿命在与之间的概率不小于0.9。解：1 =；2 =即所以即3.18 设为分布的分布函数，证明当时，有证： = =所以。3.21 证明：二元函数对每个变元单调非降，左连续，且，但是并不是一个分布函数。证：1设，假设，由于，所以，假设，则。当时，；当时，。所以。可见，对非

33、降。同理，对非降。2时=，时，=，所以对、左连续。3，。4，所以不是一个分布函数。3.23 设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时， =所以3.24 设二维随机变数的联合密度为（1） 求常数；（2） 求相应的分布函数；（3） 求。解：1，所以；2时， =，所以3 = =。325 设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解：所以，；3.26 设二维随机变数的密度函数为求1。解：3.28 设的密度函数为求与中至少有一个小于的概率。解：3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以和表示这两个组件的寿命以小时计，设的分布函数为求两个组件的寿命都超过120的概率。解：3.31 设都是一维分布

34、的密度函数，为使成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件.解：假设为二维分布的密度函数，则所以条件得到满足。反之，假设条件1，2满足，则为二维分布的密度函数。因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件1和2。3.32 设二维随机变数具有以下密度函数，求边际分布。123解：12时，时，所以，。同理，。33.34 证明：假设随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.35 证明：假设随机变数与自己独立，则必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必

35、有常数，使得故。3.36设二维随机变量的密度函数为问与是否独立.是否不相关.解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，故，与不相关。3.41 设*类电子管的寿命以小时计具有如下分布密度：一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少.三个这类管子全部要替换的概率又是多少.假设这三个管子的寿命分布是相互独立的解：设这类电子管的寿命为，则所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概率是。3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为，则其体积为。的反函数。由的密度函数，

36、得的密度函数为3.45 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：在时，。所以的分布密度。3.46 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为3.47 随机变数在任一有限区间上的概率均大于例如正态分布等，其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数一样。解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数一样。3.48 设随机变量与独立，求的分布密度。假设1与分布服从及上的均匀分布，且；2与分别服从及上的均匀分布，。解1其它。，其它。 = =，其它。 2，其它，其它。 = =，

37、其它3.49 设随机变量与独立，服从一样的拉普拉斯分布，其密度函数为求+的密度函数。解： ，当时，当时，所以3.50 设随机变量与独立，服从一样的柯西分布，其密度函数为证明：也服从同一分布。证：所以即也服从一样的柯西分布。3.51 设随机变量与独立，分别具有密度函数其中，求+的分布密度。解：时，时，3.53 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，在时，的分布函数所以的分布密度为3.54 设随机变量与独立，分别服从参数为与的指数分布，求的分布密度。解：由得，所以在时，在时，所以3.56 设随机变量与独立，且分别具有密度函数为证明服从分布。证：由

38、得。故令，则所以服从分布。3.58 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。解：当时，当时所以的密度函数为3.59 设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，在时，。3.60 设二维随机变量的联合分布密度为证明：与不独立，但与独立。证：由于，所以与不独立。由于所以对一切的，都有，故与相互独立。3.61 设随机变量具有密度函数求。解：3.62 设随机变量具有密度函数求及。解 ，。3.63 设随机变量的分布函数为试确定常数，并求与。解：由分布函数的左连续性，故。 =，。3.64 随机变量具有密度函数其中求常数及。解： =，故。 =3.66 设随机变量服从上的均匀

39、分布，求的数学期望与方差。解：。3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为秒，则服从上的均匀分布，则，。3.71 设为正的且独立同分布的随机变量分布为连续型或离散型，证明：对任意的，有。证：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。3.72 设是非负连续型随机变量，证明：对，有。证：。3.73 假设对连续型随机变量，有，证明有。 证：。3.75 随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为零。解：=3.81设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证：。证：=，故。 3.84证明下述不等式设都是连续型或

40、离散型随机变量：1假设与都有阶矩，则有)(2)假设与都具有阶矩，则证：1时，即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。在时，是的下凸函数，故即故2在时，故3.88 设二维随机变量的联合分布密度为其中。求条件下的条件分布密度。 解：。故3.89 设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，求的分布及关于的条件分布。 解：，故 ，故在时，的条件分布为。3.90 设为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，且与独立，证明：证：3.91 求以下连续型分布的特征函数：1上的均匀分布，2柯西分布，其密度函数为3分布，其密度函数为解：12由拉普拉斯积分得33.93 假设是特征函数，证明以下函数也是特

41、征函数：1为正整数证：1假设是随机变量的特征函数，则是随机变量的特征函数；2假设与独立同分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数；3假设独立分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数。3.94 证明以下函数是特征函数，并找出相应的分布函数：1；2；3；4；5。证：1，所以是两点分布-11的特征函数。2，所以是三点分布的特征函数。3密度函数为的指数分布的特征函数为，所以是密度函数为的分布的特征函数。4上均匀分布的特征函数为，所以互相独立且同为上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为，即是密度函数为的分布的特征函数。5，所以是几何分布的特征函数。3.95 试举一个满足1，2，但是不是特征函数的例子

42、。解：令则满足1，2，但在点不连续，故不是特征函数。3.96 证明函数是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于故欲证是特征函数，仅须验证是密度函数由于，所以为特征函数，其分布函数为。3.97 设是一个特征函数。，证明：也是特征函数。证：设与相互独立，的特征函数为，服从上的均匀分布，的特征函数为，则是的特征函数。3.98 设为个独立同柯西分布的随机变量，证明与有一样的分布。证：柯西分布的特征函数故的特征函数为所以与同分布。3.99 设为独立同分布的随机变量，求的分布。解：分布，；，的特征函数。故的特征函数为，所以也是分布，其密度函数为，；，。3.100 设二维随机变量具有联合密度函数为证明：的特

43、征函数等于的特征函数的乘积，但是并不相互独立。证：的特征函数为。故与的特征函数皆为，所以的特征函数等于、的特征函数的乘积。由，故与不互相独立。3.101 设随机变量服从柯西分布，其特征函数为，又令，证明的特征函数等于、的特征函数的乘积，但与不独立。证：由的特征函数推得，与的特征函数分别为与，故。倘假设与相互独立，令的分布函数为，则，故或，此与服从柯西分布相矛盾，故与互不独立。3.102 判别以下函数是否为特征函数说明理由：1；2；3；4；5。解：1不是，因为。 2不是，因为当时，。 3不是，因为不成立 4不是，因为。 5是的，拉普拉斯分布的特征函数为，所以也是特征函数。第四章 大数定律与中心极

44、限定理4.1 设为退化分布：讨论以下分布函数列的极限是否仍是分布函数.解：12不是；3是。4.2 设分布函数如下定义：问是分布函数吗.解：不是。4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有 1这时存在，使得当时有 2成立，对任意的，必存在*个，使得，由2知当时有 3 4由1，3，4可得，即有成立，结论得证。4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量

45、与，证明：1；2。证：1因为故即成立。2先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有从而有由的任意性知，同理可证，由前述1有故，结论成立。4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有。结论成立。4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，则，故是的单调上升函数，因而，于是有对任意的成立，充分性得证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有，由的任意性知，结论为真。4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设

46、时的修改为显然，假设，的分布函数分别记作，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有 1现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有 2 3对取定的，存在，当时有 4于是当时，由1，2，4式有又因为于是由1，3，4式有 6由5，6两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概

47、率收敛于，证明.证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且因为，故存在，当时有令，因为，故存在，当时有而其中，当时有因而，由的任意性知，结论为真。4.13 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为证明。证：对任意的，有故。4.14 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为其中为常数，令，证明。证：对任意的，为显然，这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为令，证明。证：设的分布函数为，有这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，假设，证明。证：这时也是独立同分布随机变量序列，且由辛钦大数定

48、律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知结论成立。4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。证：，记，令，则对任给的，由契贝晓夫不等式有故，结论得证。4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，则按分布收敛于。证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于见4.10题的证明，因而由4.11题知按分布收敛于，结论成立。4.22设为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。证：

49、这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然弱收敛于分布，由4.21题即知按分布收敛于分布，结论得证。4.23 如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律马尔柯夫大数定律证：由契贝晓夫不等式即得。4.26 在贝努里试验中，事件出现的概率为，令证明服从大数定律。证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与独立，由4.24知服从大数定律，结论得证。4.28设为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。证：不妨设。否则令，并讨论即可。记，又。因为，故有由4.23知服从大数定律，结论得证。4.30设为一列独立同分布随机变量，共同分布为试问是否服

50、从大数定律.答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.31设为一列独立同分布随机变量，共同分布为其中，问是否服从大数定律.答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验.解：令据题意选取试验次数应满足，因为比较大，由中心极限定理有故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而，故可取。4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令因为排版与校对是

51、两个独立的工序，因而是独立同分布随机变量序列，令，其中，由中心极限定理有其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：1保险公司赔本的概率多大.2保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大.解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1） 假设一年中死亡人数，则公司赔本；（2） 假设一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；假设一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；假设一年中死亡人数，则利润中死亡人

52、数元；令则，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为1同理可求得24.35 有一批种子，其中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少.解：令则，记，其中，据题意即要求使满足。令，因为很大，由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式，于是知，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。4.36 假设*产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少.解：令则，记，其中，记，由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37 *螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才

53、能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95.解：令则，记，其*待确定，它应满足，由中心极限定理有查分布表可取，由此求得，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39 用特征函数的方法证明二项分布收敛于普哇松分布的普哇松定理。证：设独立同二项分布，即的特征函数为，记的特征函数记作，因为，故，于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40 设随机变量服从-分布，其分布密度为证：当时，的分布函数弱收敛于分布。证：的特征函数为，易知的特征函数为而因而有故，所以相应的分布函数弱收敛于分布，命题得证。4.41设为一列

54、独立同分布随机变量，且服从上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。证：易知，于是故，对任意的，存在，使当时有，因而，从而当，假设，由此知即林德贝尔格条件满足，所以对成立中心极限定理，结论得证。4.42 设皆为独立同分布随机变量序列，且独立，其中，证明：的分布函数弱收敛于正态分布。证：这时仍是独立同分布随机变量序列，易知有由林德贝尔格-勒维中心极限定理知：的分布函数弱收敛于正态分布，结论得证。4.45 利用中心极限定理证明：证：设是独立同分布随机变量序列，共同分布为的Poisson分布，故，由林德贝尔格-勒维中心极限定理知由Poisson分布的可加性知服从参数为的Poisson分布，因而，但，所以

55、成立，结论得证。第五章习题 1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知1写出样本的联合密度函数；2指出以下样本函数中哪些是统计量，哪些不是.为什么.3设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。3.查表求，。4.设，求常数，使。5.设是来自正态总体的样本，试证：1；2。6. 设是独立且服从一样分布的随机变量，且每一个都服从。1试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；2试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。7.设是取自总体的一个样本，在以下三种情况下，分别求：1；2；3，其中。8.

56、*市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：1样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；2样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。9.设总体，1抽取容量为36的样本，求；2抽取容量为64的样本，求；3取样本容量n多大时，才能使。10. 设总体，皆未知，样本容量，样本均值，修正样本方差，求。11.设是来自正态总体，容量为的样本，求以下统计量的抽样分布：1；2；3。12.假设，则服从什么分布.13.设是来自泊松分布的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，试求。14.*区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%11%之间的样本家庭没有汽车的概率。习题解答1. 解2.解10 其他2和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。3样本均值样本方差样本标准差。3.解，。4. 解由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。5.证明：