原子弹爆炸的能量估计和量纲分析

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1、. .学院学生课程设计论文题 目：原子弹爆炸的能量估计与量纲分析学生：学 号：所在院(系)： 数学与计算机学院 专 业：班 级：指导教 师： 马 亮 亮 2021年 6 月 24 日学院教务处制优选. -学院本科学生课程设计任务书题目原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1、课程设计的目的通过课程设计，加深学生对代数方程，差分方程，以及二者构造的数学模型有更深刻的认识；同时，加强学生的自我学习能力和动手能力。2、课程设计的容和要求包括原始数据、技术要求、工作要求等 按照指导教师给出的课程设计题目和课程设计要求，独立完本钱次课程设计，并且撰写相应的完整的课程设计报告。3、主要参考文献数学建模与数学实验第

2、3版高等教育2021.1常用数学软件教程人民邮电2021.10数值分析与应用国防工业2007.1数学规划M教育，1997.124、课程设计工作进度方案序号时间天容安排备注11分析设计准备周一22编程调试阶段周二和周三31撰写课程设计报告周四41考核周五总计5指导教师签字日期年 月 日教研室意见：年 月 日学生签字： 承受任务时间： 年 月 日注：任务书由指导教师填写。课程设计论文指导教师成绩评定表题目名称原子弹爆炸的能量估计与量纲分析评分工程分值得分评价涵工作表现20%01学习态度6遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学工作态度。02科学实践、调研7通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等

3、渠道获取与课程设计有关的材料。03课题工作量7按期圆满完成规定的任务，工作量饱满。能力水平35%04综合运用知识的能力10能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题，能正确处理实验数据，能对课题进展理论分析，得出有价值的结论。05应用文献的能力5能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种信息及获取新知识的能力。06设计实验能力，方案的设计能力5能正确设计实验方案，独立进展装置安装、调试、操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清晰、完整。07计算及计算机应用能力5具有较强的数据运算与处理能力；能运用计算机进展资料搜集、加工、处理和辅助设计等。08对计算或

4、实验结果的分析能力综合分析能力、技术经济分析能力10具有较强的数据收集、分析、处理、综合的能力。成果质量45%09插图或图纸质量、篇幅、设计论文规化程度5符合本专业相关规或规定要求；规化符合本文件第五条要求。10设计说明书论文质量30综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。11创新10对前人工作有改进或突破，或有独特见解。成绩指导教师评语指导教师签名： 年月日- .word.zl. -摘 要我们都学过用列代数方程的方法解简化的应用问题，实际上，对于工程设计技术和社会经济领域中的许多问题，当不考虑时间因素的变化时，作为静态问题处理时，常常可以建立代数方程模

5、型。建立一些问题的微分方程模型，如果出于计算或应用上的考虑，将微分方程离散化就得到差分方程，而也有一些实际问题，直接简历差分方程模型更方便。把代数方程模型和差分方程模型合在一起，用它们都具有的、类似的矩阵，向量的数学表达形式，以及求解过程中的相互联系，可以更好的解决一些实际模型问题。关键字： 微分方程、数学模型、差分方程、实际问题- .word.zl. -目 录摘要I目录II一问题分析1二模型假设6三符号说明6四模型建立7五模型检验9量纲分析在物理模拟中的应用9抛射问题11参考文献16- .word.zl. -一 问题分析1949年7月16日，美国科学家子啊新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子

6、弹图1，这一事件令全世界为之震惊，并从某种程度上改变了第二次世界大战以及战后世界的历史。但在当时，有关原子弹爆炸的资料都是的，一般人无法得到任何有关的数据或者影像资料，因此无法比较准确地了解这次爆炸的威力终究有多大。两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，但是没有发布任何其他的相关的资料。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究这次爆炸的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进展了估计，得到的估计值为t(相当于1000tTNT的核子能量)。后来正式公布的信息显示，这次爆炸实际释放的能量为t，与Taylor的估计值想当接近。除开公开的影像资料，Taylor不掌握这次原子弹

7、爆炸的其他任何信息，他如何估计爆炸释放的能量呢.物理常识告诉我们，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播，爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波传播的越远，而冲击波有通过爆炸产生的蘑菇云反映出来。Taylor研究这次爆炸的录像带，测量出了从爆炸开场，不同时刻爆炸所产生的蘑菇云的半径，表1是他测量出的时刻所对应的蘑菇云的半径。图1原子弹爆炸示意图表1 时刻所对应的蘑菇云的半径 t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t)0.10 11.1 0.80 34.21.50 44.43.53 61.115.0 106.50.24 19.90.94 36.31.65 46.0

8、3.80 62.925.0 130.00.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.00.52 28.81.22 41.01.93 48.74.34 65.653.0 175.00.66 31.91.36 42.83.26 59.04.61 67.362.0 185.0Taylor是首先用量纲分析方法建立数学模型，然后辅以小型试验，又利用表1的数据，对原子弹爆炸的能量进展估计的。量纲齐次原那么 量纲分析是20世纪初提出的在物理和工程等领域的建立数学模型的一种方法，它在经历和实验的根底上利用物理定律的量纲齐次原那么，确定物理量之间的关系。许多物理量是有

9、量纲的，在物理研究中把假设干物理量的量纲作为根本量纲。他们是相互独立的，另一些物理量的量纲那么可根据其定义或物理定律由根本量纲推导出来，称为导出量纲。例如：在研究力学问题时，通常将长度、质量和时间的量纲作为根本量纲，记以相应的大写之母、和。在量纲分析中，物理量的量纲记作,于是有=,=, =.而速度、加速度的量纲可以按照其定义表为，力的量纲那么应根据牛顿第二定律用质量和加速度的乘积表示，即，这些就是导出量纲。有些物理常数也有量纲，如在万有引力定律中引力常数，的量纲可以从力、长度和质量的量纲得到：。对于无量纲的量，记。用数学公式表示一些物理量之间的关系是公式等号两端必须有一样的量纲，称为量纲齐次性

10、Dimensional Homogeneity.量纲分析就是利用量纲齐次原那么来建立物理量之间的数学模型。先看一些简单的例子。例 单摆运动 这是一个大家都熟知的物理现象。质量的小球系在长度为的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力作用下为重力加速度作往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。在这个问题上出现的物理量有，设它们之间的关系是 1其中，是待定常数，是无量纲的比例系数。1式的量纲表达式为 2将，代入得 3按照量纲齐次原那么有 44的解为，代入1式得 5我们看到，用非常简单的方法得到的5式与用比较深入的力学知识推出的结果是一样的。为了导出用量纲分析建模的一般方法，将这个例子中的各个物理量之间

11、的关系写作 6 这里没有因变量与自变量之分，进而假设6式形如 7其中是待定常数，是无量纲常数。将的量纲用根本量纲表示为，那么7式的量纲表达式可写作8即 9由量纲齐次原那么有 10)方程组10有一个根本解 11代入7式得 126式可以等价地表示为 1312，13两式式量纲分析方法从6式导出的一般结果，前面的5式只是它的特殊表达形式。把6到13式得推导过程一般化，就是著名的白金汉定理。定理 设m个有量纲的物理量之间存在与量纲单位的选取无关的物理定律，数学上可表示为14假设根本量纲记作，而的量纲可表为15矩阵称量纲矩阵，假设的秩16设线性齐次方程组 17的个根本解记作 18那么存在个相互独立的无量纲

12、量 19且 2019，20与14式等价，是一个未定的函数关系。二 模型假设1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸过程的核反响过程。2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的兴衰表现出来。不考虑其它如辐射的影响。3. 只考虑冲击波的动力学特征。4. 冲击波可以通过爆炸形成的蘑菇云来表征。三 符号说明符号说明时间能量空气密度大气压强半径m四 模型建立原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模记原子弹爆炸能量为，将蘑菇云的形状近似的看成一个球形，记时刻球的半径为，与有关的物理量还可能有蘑菇云周围的空气密度记为和大气压强记为，于是作为的函数还有与，有关，要寻求的关系是 21更一般的形式记作 22其中有

13、5个物理量，22相当于定理的14式，下面利用定理解决这个问题。取长度，质量和时间为根本量纲，22中各个物理量的量纲分别是 23由此得到量纲矩阵 24因为的秩是3，所以齐次方程 25有5-3=2个根本解。令，得到一个根本解；令，得到另一个根本解。由这2个根本解可以得到2个无量纲量 26 27 且存在某个函数，使得 28与22式等价。为了得到形如21式得关系，取28式得特殊形式其中是某个函数，由26，27式即 29于是 30函数的具体形式需要采用其他方式确定，30)式就是用量纲分析方法建立的、估计原子弹爆炸能量的数学模型。原子弹爆炸能量估计的数值计算为了利用表1中的和的数据，由30式确定原子弹爆炸

14、的能量，必须先估计无量纲量的大小。Taylor认为，对原子弹爆炸来说，所经历的时间非常短，而释放的能量非常。仔细分析27式可知，。于是可看作一个比例系数，将30式记作 31为了确定的大小，Taylor借助一些小型的爆炸试验的数据，最终决定取，这样就得到能量的近似估计 32利用表1中的时刻所对应的蘑菇云的半径作拟合来估计能量，相当于取32式右端的平均值，取空气密度为，可得到。查表可知，所以爆炸的能量是19.7957,与实际值相差不大。31或32式还说明，当一定时，与成正比，我们可以用表1的数据检验一下这个关系。设 33其中是待定系数，对33式取对数后可以用线性最小二乘法拟合，根据表1中和的资料确

15、定。经过计算得到，与量纲分析得到的结果非常接近。33式与实际数据拟合的情况如图2.图2 、33式曲线与实际数据+的拟合五 模型检验量纲分析在物理模拟中的应用 当直接研究实际生活中的原型遇到困难时，一种解决方法就是在实验室条件下，按照一定的比例尺构造它的物理模型，通过队名的研究得出原型的结果，成为物理模拟。量纲分析可以指导物理模拟中比例尺确实定。为研究大海波浪对船舶的阻力，建造船舶模型进展物理模拟。根据经历和物理知识，相关的物理量除阻力外，有船舶的速度、船体尺寸、浸没面积、海水密度和重力加速度，将它们的关系记作 34利用定理可以得到 35由35式写出阻力的显式表达式 36将上述物理量和35，36

16、式对应于原型船，用及 37 38对应于模型船，注意36)和38中的函数是一样的。于是当无量纲量，即 39由36和38可得 40海水的密度和重力加速度的条件容易满足，所以由39式，在进展物理模拟时只需要保证 41就有 42这样，确定了原型和模型船体的比例，只要模拟时使得41式成立，在测得模型船所受阻力后，就可由42式计算原型船受的阻力了。抛射问题在星球外表以初速度竖直向上发射火箭，记星球的半径为，星球外表重力加速度为，忽略阻力，讨论发射高度随时间的变化规律。设轴竖直向上，在发射时刻火箭高度。火箭和星球的质量记作和，那么由牛顿第二定律和万有引力定律可得 43以时代入43式，并注意初始条件，抛射问题

17、满足如下方程 4444的解可表示为 45即发射高度是以为参数的时间的函数。这里的目的不是研究这个函数的具体形式，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径。45式包含3个独立参数，由45式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间，必定是这3个参数的函数。如果方程44变得稍微复杂以致必须用数值发求解时，对不同的参数和，的竖直就要用3维表格给出。用无量纲化的方法可以减少独立参数的个数，到达简化模型的目的。以长度和时间量纲为根本量纲，问题中的变量和参数的量纲表达式为所谓无量纲化是指：对于变量和分别构造具有一样量纲的额单数组合和使新变量为无量纲量。称特征长度，称特征时间，统称特征尺度或参考尺度。利用新变量和

18、，表达式45可以简化。特征尺度和由参数构成，并应与和有一样的量纲，即。这样的和由多种构造方法，下面举例几种。1、令，那么 ，利用求导数规那么可以算出对的导数以下简记为和，方程39在在新变量下的表达式为 4646的解可表示为 47它只含一个独立参数，不难验证式无量纲量。原方程的解中的3个参数以无量纲组合形式出现在表达式47中，简化了原来的结果。2、令，类似的计算可将方程44化为 48其解的表达式仍为47式3、令，方程44化为 49其解的表达式也是47式。还可以构造其他形式的特征尺度和，得到其他形式的方程。以上3种构造特征尺度的方法虽然把方程44的解45式简化为47式这一点上是共同的，但是进一步分

19、析发现，他们之间仍有重要差异。我们知道，按照今天的技术，在地球外表发射火箭时，初速将满足所以必然有，既然如此之小，能不能在方程46，48，49，中舍弃以为因子的项，从而得到方程的近似解呢.如果在方程46中令，那么46变为 5050式显然无解，所以不能再方程46中舍弃的项。如果在方程46中令，那么48变为 5151式的解显然满足 ，而原方程44的解，所以不能从方程48得到原方程的近似解，即不能再48中舍弃的项。如果在方程49中令，那么49变为 5252的解显然为 53代回原变量 和，53式等价于 54不难看出，如果在原抛射问题中假定：火箭发射过程中受到星球引力 不变，那么微分方程为 5554式正

20、是方程55的解，而将55与原方程44比照，因为发射高度，所以55是44的近似方程，这就说明可以在方程49中舍弃的项，得到近似解。第3中构造特征尺度和的方法之所以能够忽略的项，成功的得到原问题的近似解的原因，在于和选的适宜。从物理学容易知道，当初速度比较小时，火箭在定常引力作用下到达最高点的时间为，到达的最高距离为，所以选择，与和的大小相当。这样，无量纲量大体具有单位尺度，于是组成的新方程中，含有因子的项相对于不含的项而言，就可以舍弃了。参考文献数学建模与数学实验第3版高等教育2021.1常用数学软件教程人民邮电2021.10数值分析与应用国防工业2007.1数学规划M教育，1997.12数学模型第四版高等教育，2021.1- .word.zl