广东省惠州市中考数学复习中考综合题的分析与教学策略

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1、中考综合题的分析与教学策略以2011年至2016年广东省中考数学试题为例一、如何看待中考综合题1、中考综合题是体现中考试题选拔性的重要载体。在试题中集中在第23-25题，题型分别为代数综合、几何综合、代数几何综合。是中考试题中得分率最低的题目，体现为难度大，耗时长，难教学。在平时的教学中花费了教师极大的心力，在中考考场上耗费了学生众多的脑力，但往往事倍功半。2、综合题是对数学核心素养的综合考查。六大数学素养中，逻辑推理、数学建模、数学运算这三种素养更多的在综合题中体现，直观想象、数据分析、数学抽象也有体现。3、综合题的解答是学生综合学力的体现；综合题的训练是教师执教能力的综合体现。对于学生而言

2、，需要想得到做得出写得对算得准完得成。而对于老师来说，则需要能想得通做得准析得清讲得透练得巧。高屋建瓴、深入浅出等词语都是对老师的素质要求。4、综合题是长期训练的结果。它不可能通过突击训练来达到效果；不可能通过模式化训练来达到效果；不可能通过猜题来达到效果。尽管综合题难做难教，但也它的考查形式与突破口也是有章可循的，下面笔者以近6年广东省卷的综合题为例，谈谈综合题的教学策略。二、近六年广东省中考综合题分析(一)代数综合题(第23题)1、试题共性特点：近六年的代数综合题都是以函数为背景，11-13年考查二次函数，14-16年则考查反比例函数。它们的共同点是都考查函数解析式的求法；而且每年的第二、

3、三两问都具有关联性，只有在正确解决第二问的基础上才能解答第三问，所以每次的得分也并不算高。2、试题考查的知识点：常见考查方法有：求解析式、求交点、求顶点、求最值、求面积、求范围、比较大小等。近六年中考了两次求最短距离，包括求直线异侧两点和同侧两点的最短距离；2016年则考到了关于直线y=x对称的两点坐标。这给了我们一个启示，就是教学中需要适当拓展。关于某条斜向直线对称在2016年广东茂名中考中也考查到了，它考查的知识点是根据两端点求中点坐标，若适当拓展，则可引申到互相垂直的两直线k1k2=-1.(二)几何综合题(第24题)1、试题共性特点：(1)近四年都是考查圆，而且试题都属原创。其中2013

4、年中考题在2016年被自贡市原题引用。2015年中考试题的研究则发表在中学数学杂志2015年8月下第34页。(2)试题的解答都需要排除干扰。2014、2015年的图形都比较复杂，解答时需要排除图形干扰；而2016年的试题中因为多了30度角这个条件，所以解题时需要排除已知条件的干扰，思路简单但书写麻烦。(3)四年中有三年都需要证明切线。证切线的过程中证角相等往往是题目突破的关键。在圆中证角相等的方法主要有三种：利用圆周角定理或圆心角定理；通过全等(或相似)证角相等；通过基本图形证角相等：双垂直三角形、角平分线+平行线、对顶三角形、燕尾形、弦切角定理图形等。2、试题解答思路分析：(1)2013和2

5、014年证明切线的题目都是弦切角定理的基本图形，分别借助圆周角定理和全等开展进一步的证明。(2)2015和2016年的试题都是通过全等的方法予以解答。(3)2016年试题包含许多基本图形，现有试题未能充分发掘。(三)代数几何综合题(第25题)1、试题共性特点：(1)除2011和2012年外，其它几年都是以三角形和四边形为背景载体。(2)从2011年至2016年每年的最后一题都考查平移，且12-16年都考查的是平移过程中形成的三角形的面积。2、试题解答思路分析：关键点都是求线段长度。求线段长度常见的有四种方法，分别是：(1)用勾股定理求线段长度。例如2012年第21题。(2)利用相似求线段长度。

6、例如2012年第22题；2014年第25题。(3)利用三角函数求线段长度。例如2013、2015、2016年第25题。(4)利用坐标平面两点间距离求线段长度。例如2011年第22题。三、综合题的教学策略1、抓纲务本，变式拓展.(1)注意课本中隐含的知识点。2016年省卷第23题曾考查关于某条直线对称，当年的茂名市中考题也曾考查这一直线，其中解决的关键知识点是中点坐标特征。这一内容在人教版教材(以下简称教材)七下86页第10题中有体现。同时八下第91-92页一次函数内容中，所举例的两幅函数图形分别是平行两直线与垂直两直线，对于“垂直两直线的斜率之积为-1”这一知识隐晦的体现了出来。(2)注意课本

7、例题与习题的变式。教材九上第60页课本例题(如图1)，经改编后成为2015年中考第21题。这一题目在初二时常用作截长补短的典型例题。教材九上第87页课本例题(如图2)则被改编为2016年广州中考题，2016年江苏淮安也考到此题。也有许多课本习题被改编为中考题，如教材九下58页第11题中有三角形中截正方形的题目，教学中可以拓展到截矩形，2014年第25题就是该图形的拓展应用。教材八上第79页有矩形纸片沿对角线折叠的题目，2012年第21题就改编自本题，其中的基本图形与基本结论依然存在。还有许多课本原题也被全国各地改编为中考试题。详见课件中的附录部分。 图1 图2 图3 图42、基本图形，分解化难

8、.任何复杂的图形都由若干的基本图形组成，综合题的解决很多都是依赖于对基本图形的解读。例如：2013年中考第25题的模型来自于解直角三角形一节(图3)，解含45度和120度角的钝角三角形，平时我们的训练是已知钝角三角形中的最短边，求该边上的高，现在则是设这条最短边为x，要将该边上的高用含x的式子表示。此外，2012年矩形折叠题包含角平分线+平行线的基本图形；2008年中考题中可利用对顶三角形去解决；2014年第25题第(3)问则是相似中的A型与M型的应用(图4)。基本图形大多是从初一初二开始一点一滴积累而来，在初一初二的课堂教学中，对于经典例题、经典习题、经典图形就要讲透练透，基本图形的基本结论

9、要形成了种本能，要培养学生读图识图分解图形的能力。3、一题一课，腾挪时间.中考复习最痛苦的是总觉得时间不够，时间都去哪儿啦？都被没有思维量的大量重复劳动所吞噬了，所以复习课一定要知道哪些基础内容是学生清楚的，是不用复习的，哪些则是要重点复习的。要想提高课堂效率，建议一题一课，知识融通。(1)基础知识的复习要注意综合与拓展，而不能是反复低效演练。例如：中考题的第1题是类似于这样的题目“-3的相反数是_.”这样的题目有必要训练吗？训练再多有用吗？如果作如下改编：-3的相反数是_；a-3的相反数是_；已知a3，则|a-3|=_；分解因式：3x2(a-b)3-6x(b-a)2=_；已知a3，化简：=_

10、.以上这一组问题都与相反数有关，一定有学生对其中的某一部分内容感受出思维量。这样的复习，才会让每一节复习课都令学生感到新鲜，感受到知识的融合。(2)解答题的训练要用好用透，八方联系，一题多变。例如：在格点中作三角形是一道很平常的中考作图题(图5)，我们在讲解的时候能否利用这道题目复习更多的知识呢？作图：将ABC向上平移5个单位再向左平移4个单位；作图：作出ABC关于x轴对称的三角形；作图：以点O为旋转中心，将ABC按逆时针方向旋转90度；作图：以点O为位似中心，将ABC放大到原来的两倍.计算：在y轴上找一点E，使AE+CE的和最小；计算：求ABC的面积；计算：在平面上找一点D，使A、B、C、D

11、四点形成平行四边形；计算：将ABC绕点A沿逆时针方向旋转90度，求线段BC扫过区域的周长和面积. 这样改编后四道作图题是复习基础，四道计算题中的每一个都可以成为综合题的一小问来考查。 图5 图64、讲透用够，举一反三.每一道综合题都是出题者智慧的结晶，都是对学生的综合素养的考查，都是学生学习能力的具体体现，如果一道综合题只是讲清楚答案，就太浪费了。所以每道综合题都要讲透用够，关注应用同类型思想方法的题型，举一反三，练好练透。例如：2011年第21题(图6)第一小问“(1)始终与AGC相似的三角形有_和_.”这一问是解决第二、三问的基础，我们可以借助它复习相似的四种常见图形类别：A型、X型、母子

12、型和M型，通过基本图形分析可以看出只能应用母子型，都有一个公共角，只要找到一个45度角即可，这样就可以轻松解决。如果能够用动态的观点来理解，效果更好。本题的第(3)问“设CG=x，当x为何值时，AGH是等腰三角形.”本题需要利用相似，将“AGH是等腰三角形”转化为“AGC是等腰三角形.”这样就可以解决问题了。2010年广东省卷的第22题也是应用这种方法来解决的，这种转化思想的应用对于解决问题有决定性的影响，所以应该有些针对性训练。可以选择2015年山东泰安的对应中考题。5、夯实基础，计算过关.我们观察发现，2012-2015年的最后一题，答案的数字与计算都非常复杂，2015年的第23题出现了解

13、无理系数的二元一次方程组，第25题的计算更是复杂到不愿动笔。计算题的训练是一个长期的过程，初一主要训练学生定准结果的符号，初二则主要训练学生的变形技巧(因式分解)，初三则是综合训练。考纲将分母有理化的内容纳入考核后，更要注意二次根式的运算。6、分解训练，水滴石穿.综合题的解答是一项综合的工程，需要长期分解训练，绝不能在考前一段时间集中训练。具体而言，可以做到：知识点分解到课堂；能力点分解到作业；训练时间分解到每周；钻研对象分解到个人；考查时间分解到每月。7、思想方法，能力习惯.从历年中考综合题来看，分类讨论思想呈现隔年出现的趋势，其它思想方法也都体现在综合题中。影响综合题解答的因素很多，学生的

14、读题能力、分解图形能力、计算能力、书写能力、心理素质等制约着学生的解答情况。能力培养首先从学生的学习习惯入手，包括刻苦钻研的习惯、认真作业习惯、课后反思习惯、时间分配习惯、自主归纳习惯等，具备这些良好学习习惯的学生综合题的解答能力会更突出一些。8、趋势研究，关注变迁.从历年的中考试题来看，广东省卷每3-4年题型会有一些变化，所以在今年的复习中不应该死抱着往年的题型训练，可以多了解其它省市中考试题的类型，以作参考。以代数综合题为例。可以是代数阅读理解题(2013-2015年珠海)，可以是应用题的综合(近几年深圳)，可以是一元二次方程与二次函数的综合(2016广州)，可以是一元二次方程的综合，也可

15、以是纯一次函数的应用。而代数综合题的题型全国各地仍以二次函数背景为主，以形成等腰三角形、形成平行四边形、形成相似、形成直角三角形、形成线段(周长)和最小、形成最小面积等类型为主体。纯几何题则多会与运动变换、分类讨论等综合考查。综上所述，综合题解答能力的培养是一项系统工程，它对学生的要求很高，对教师也提出了很高的要求。教师要增强自己对教材的解读能力、对试题的钻研能力、对知识的融通能力、对题目的讲解能力，只要坚持不懈，必会水到渠成！附：抓纲务本的中山特色从以上的分析中可以看来，综合题解答能力的培养是一项系统工程，它要求教师在课堂教学中抓纲务本，深入研究教材，只要坚持不懈，最终必能水到渠成。中山市每

16、学期的期末考试都能体现这一特点。我们分析中山市初一初二期末测试题就能发现，每一年的9分题都来自于课本中熟悉的图形，或是对课本例题、习题的研究变式。以2013年上学期初一数学试题第25题为例：从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时24km的速度下山，以每小时18km的速度通过平路，到乙地用时55分钟。回程时以每小时16km的速度通过平路，以每小时8km的速度上山，回到甲地用1.5小时，求甲乙两地的距离.这本是上世纪80年代一道竞赛试题，最容易想到的方法是列方程组来解，但初一上学期只学了一元一次方程，所以有些老师认为本题超过了范围，实际上本题是对课本“球赛积分表”问题的变式。“球

17、赛积分表”的常见的解决思路有以下四种：(1)根据钢铁队的积分可知负一场得一分。这也是课本的思路。但如果没有钢铁队的数据呢？(2)可以根据远大队的积分发现胜一场与负一场一共可积3分，可得胜一场x分，负一场(3-x)分；(3)或对比东方与光明两队，发现多胜一场比多负一场一共可多得1分，则胜一场为x分，负一场(x-1)分。(4)如果只知道光明队和卫星队的积分呢？根据光明队成绩，设胜一场x分，胜场总分9x分，负场总积分(23-9x)分，故负一场得分，再根据卫星队成绩可列方程。这一问题与期末考试试题实际上是同一种类型的试题，也可以应用相同的方法去解决。纵观中山市初一初二历年期末考试试题，后三题中都有针对课本核心知识的考查，正因为试题具有这样的导向性，教师在教学中对教材的解读是比较深入的，中山市的中考取得较好的成绩与这种导向性是分不开的。老师们，抓纲务本是一种教学态度，深研教材是一种备课习惯，当这种习惯变成学生思考的本能的时候，学生的学习能力会得到本质提升，综合题的解答也会变成一件容易的事情。