数字信处理4离散傅里叶变换的性质课件

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1、数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件1四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：10( ) ( )( )( )NnkNNnX kDFT x nx n WRk101( )( )( )( )NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中： 数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件21、线性：, a b为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk则数字信号

2、处理4离散傅里叶变换的性质课件32、序列的圆周移位( )()( )mNNxnx nmRn 定义：( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件4数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件5有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX k数字信号处理4离散傅里叶

3、变换的性质课件6调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()( )NIDFS X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x n RnW x n数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件721( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()( )2NNNIDFTXklXklRkj证：1( )( )2nlnlNNWx nW x nj

4、22( )2jnljnlNNeex nj2( )sinnlx nN数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件83、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：( )( )( )eox nx nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn 其中：任意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件9*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件10其中：*( )()1/2 ( )

5、()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共轭反对称分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共轭对称分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件11定义：( )( )( )epopx nxnxn则任意有限长序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭反对称序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭对称序列：数字信号处理4离散傅里叶

6、变换的性质课件12圆周共轭对称序列满足：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg( )arg()( )epepNNxnxNnRn 幅角圆周奇对称 数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件13数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件14数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件15圆周共轭反对称序列满足：*( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 实部

7、圆周奇对称 Im( )Im()( )opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件16*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk同理：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中：数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件17 序列 DFT共轭对称性( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )e

8、pxnX k( )Im( )opxnjX k数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件18 序列 DFT实数序列的共轭对称性Re ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件19纯虚序列的共轭对称性 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件20 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来

9、计算它们各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件211( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x

10、nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件22( )2DFT ( )2DFT: ( )x nNNx nNX k例：设是点实数序列，试用一次 点来计算的点( )x n解：将按奇偶分组，令12( )(2 ) 0,1,.,1( )(21) 0,1,.,1x nxnnNx nxnnN12 ( )( )( )w nx njxn构成一个复序列12( )DFT( ) ( )( )( )w nNW kDFT w nX kjXk对进行一次 点运算 得12( )( )1( )( )epopX kWkXkWkjDFTN均为 点( )2DFTX kN而是点

11、?数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件234、复共轭序列*( )()( )()( )NNNNDFT x nXkRkXNkRk1*0( )( )( )NnkNNnDFT x nx n WRk证：*10( )( )NnkNNnx n WRk*()( )NNXkRk*1()0( )( )NN k nNNnx n WRk*()( )NNXNkRk数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件24 *NNDFT xnRnXk1*0()( )()( )NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W证：*10()NnkNNnxnW*10( )NmkNNmx mW *10NnkNNnxnW*( )Xkmn 令 *1

12、0NnkNnx n W数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件255、DFT形式下的Parseval定理11*001( )( )( )( )NNnkx n y nX k YkN*111*0001( )( )( )( )NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证： 11*001( )( )NNnkNknYkx n WN1*01( )( )NkX k YkN数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件2611*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k XkN1122001( )( )NNnkx nX kN即： ( )( )y nx n令，则数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件

13、276、圆周卷积和1210( )() ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk若1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn则12( )( )x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件2812( )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若， 则 1120( )()Nmx m x nm112

14、0( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件29圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加12( )( )x nx nN1120( )( )() ( )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圆周卷积和数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件30数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件311524 ( )(5)( )( )( )x

15、 nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。-3 -2 -10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14 10 6 ( )y n数字信号处理4离散傅里叶变换的性

16、质课件32数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件33同样，利用对称性11201( )() ( )NNNlX l XklRkN12101( )() ( )NNNlXl XklRkN12( )( )( )y nx nx n若10( ) ( )( )NnkNnY kDFT y ny n W则数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件347、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122( )01 ( )01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()( )*( )Nmx m x nmx nx n线性卷积

17、：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件35讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：1120( )()( )NNmrx mx nrNm Rn1120( )()( )NNrmx m x nrNm Rn()( )lNry nrN Rn对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；222( )( )()Nrx nxnx nrN对x2(n)周期延拓：1120( )( )() ( )NcNNmy nx m xnmR

18、n圆周卷积：数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件36121NNNN即 当圆周卷积长度时， 点圆周卷积能代表线性卷积12( )1ly nNN而的长度为( )( )NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212( ) ( )( )*( )x nx nx nx n1212102NNNnNN数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件37数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件38数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件39小结：线性卷积求解方法时域直接求解 ( )( )* ( )( ) ()my

19、 nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT Y zIZT X zH zz z( ) ( )( ) ( )X zZT x nH zZT h nz变换法DFT法数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件408、线性相关与圆周相关*( )( )()xynrmx n y nm*()( )nx nm y n线性相关：*( )( )()xxnrmx n x nm*()( )()xxnx nm x nrm自相关函数：数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件41*( )( )()xy

20、yxxyrmrmrm相关函数不满足交换率：*( )( )()yxnrmy n x nm*( ) ()kx k y km*( ) ()kx k y km *( )()kx k y km *()xyrm*( )( )()xynrmx n y nm数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件42相关函数的z变换：*1( )( )()xyRzX z Yz( )( )mxyxymRzrm z*( )()mmnx n y nm z *( )()mnmx ny nm z*()( )( )k nnkx ny k z*( )( )nknkx n zy k z*1( )()X z Yz数字信号处理4离散傅里叶变换的性质

21、课件43*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相关函数的频谱：数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件44圆周相关定理 ( )( )xyxyrmIDFT Rk则1*0( )()( )NNNnx n ynmRn* ( )( )( )xyRkX kYk若1*0( ) ()( )NNNny n x nmRn数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件45*( )( )( )xyRkX kYk证：先延拓成周期序列 ( )( )xyxyrmIDFS Rk则 1*01( )( )NmkNkYk X k WN11*001( )( )NNnkmkNNknYkx n W WN11*()001( )( )NNn m kNnkx nYk WN1*0( )()Nnx n y nm1*0( ) ()Nny n x nm 则取主值序列1*0( )()( )NNNnx n ynmRn1*0( )( ) ()( )NxyNNnrmy n x nmRn数字信号处理4离散傅里叶变换的性质课件46当 时，圆周相关可完全代表线性相关121NNN类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系