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1、高三周练理科数学试题（2014-12-9） 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1已知集合，那么集合为( ) A B C D 2若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数的图像的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 4已知向量的夹角为120， ，且，则( ) A6 B.7 C8 D.95函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）6阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A0 BCD7已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为( )A BC D8若实数满足，则的最小值为( ) A.8
2、B C2 D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，考生作答6小题，满分30分（一）必做题（1113题）9已知是等差数列，则该数列前10项和_10一个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为_.11不等式的解集是_ 12有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投入其中，则不同的投法种数为_（用数字作答）13给出下列四个命题： 已知服从正态分布，且，则；“”是“复数与的积为纯虚数”的一个充分不必要条件；函数在点处的切线方程为；命题；命题则命题“”是假命题其中正确命题的序号是 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）
3、在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为 .15（几何证明选讲选做题）如图，是的外接圆， 延长到点，使得，连结交于点，连结 ，若,则的大小为 .三、解答题:本题共有6个小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分12分） 在中，内角所对的边长分别是,已知，.（1）求的值； （2）若，为的中点，求的长.17（本小题满分12分）甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件甲81240328元件乙71840296（1）试分别估计元件甲、元件乙为正品的概率；（2）生产一件
4、元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下，记为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望18（本小题满分14分）如图所示，已知垂直以为直径的圆所在 平面，点在线段上点为圆上一点，且,， （1）求证：； （2）求二面角的余弦值 19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，满足（1）求； （2）求；（3）设，求证：对任意正整数，有20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点（1）求动点的轨迹方程； （2）求线段
5、的最小值；（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由21（本小题满分14分）已知函数，（）（1）当时，求函数的值域； （2）试讨论函数的单调性高三周练理科数学试题参考答案（2014-12-9） 一、 选择题: DBCC CBDA二、填空题：9. 10. 11. 12. 81 13. 14. 15. 三、解答题： 16. 解：（1）且， 1分(2分) 4分 (5分) 6分（2）由（1）可得 7分由正弦定理得，即，(8分) 解得 9分， (10分) 在中， 11分 12分17解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有7
6、5件. 1分所以元件甲、乙为正品的频率分别为，. 3分根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为，. 4分（2）随机变量的所有取值为150，90，30，30， 5分则 ， ， 9分所以的分布列为：1509030-30 10分的数学期望为. 12分18解：（1）由, ，知，点为的中点 1分连结，为等边三角形 2分又点为的中点， 3分平面，平面， 4分又，平面，平面，平面 5分又平面， 6分（2）解法1:过点作，垂足为，连接由（1）知，平面，又平面， 7分又，平面 又平面， 8分为二面角的平面角 9分因为， ，则 12分在中，由（1）可知， 13分，即二面角的余弦值为 14分解法2: 由（1）可知
7、，三线两两垂直，以原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. 7分则, 8分, 9分 设平面与平面的法向量分别为,显然平面法向量为， 10分由，,，解得 11分（12分） ， 13分二面角的余弦值为 14分19解：（1）当时， 1分当时， ， 2分 4分（2）猜想：. 5分下面用数学归纳法证明： 当，显然成立；假设当时命题成立，即，那么当时， 即时命题也成立，综上可知， 9分（3）由（2）知， 10分， 11分， 13分 14分20. 解：（1）已知，设动点的坐标，直线的斜率，直线的斜率（）， 2分又， 3分即 4分（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，6分由，得， ； 7分由，得， 8分由， 9
8、分当且仅当，即时，等号成立， 线段长的最小值 10分（3）设点是以为直径的圆的任意一点，则，即， 11分又，故以为直径的圆的方程为：， 12分令，得，解得， 13分以为直径的圆经过定点或 14分21.解:（1）当时， 1分当时，当且仅当时，取最小值2 2分当时， 在上单调递增，所以 3分所以当时，的值域为 4分（2）由，得， 5分当时，当时，在区间上单调递减， 6分当时，在区间上单调递增 7分当时，当时，在区间上单调递增 8分当时，令，解得，舍去负值，得，当时，在区间上单调递减， 9分当时，在区间上单调递增 10分当时，当时，在区间上单调递减 11分当时，令，得，下面讨论是否落在区间上，令，解得，令，解得，当时，当时，在上单调递减 12分当时，在上存在极值点，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减 13分综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，在和上单调递减 14分高三周练理科数学试题 第 9 页
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