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1、机械能守恒定律及其应用典型例题精析链，则当铁链刚挂直时速度多大？思路点拨 以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解解题过程 初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能mv2，又有重力势能根据机械能守恒定律有E1E2所以Ep1Ep2Ek2Ep2，故小结 (1)应用机械能守恒定律解题的基本步骤由本题可见一斑根据题意，选取研
2、究对象明确研究对象在运动过程中受力情况，并弄清各力做功情况，分析是否满足机械能守恒条件恰当地选取重力势能的零势能参考平面，确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况应用机械能守恒定律列方程、求解(2)本题也可从线性变力求平均力做功的角度，应用动能定理求解，也可应用Fh图线(示功图)揭示的功能关系求解，请同学们尽可发挥练习例题2 如图854所示，长l的细绳一端系质量m的小球，另一端固定于O点，细绳所能承受拉力的最大值是7mg现将小球拉至水平并由静止释放，又知图中O点有一小钉，为使小球可绕O点做竖直面内的圆周运动试求OO的长度d与角的关系(设绳与小钉O相互作用中无能量损失)思路点拨 本题所涉及问
3、题层面较多除涉及机械能守恒定律之外，还涉及圆周运动向心力公式另外还应特别注意两个临界条件：要保证小球能绕O完成圆周运动，圆周半径就不得太长，即OO不得太短；还必须保证细绳不会被拉断，故圆周半径又不能太短，也就是OO不能太长本题的研究中应以两个特殊点即最高点D和最低点C入手，依上述两临界条件，按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解解题过程 设小球能绕O点完成圆周运动，如图854所示其最高点为D，最低点为C对于D点，依向心力公式有(1)其中vD为D点速度，vD可由机械能守恒定律求知，取O点为重力势能的零势能位置，则(2)将(1)式与(2)式联立，解之可得另依题意细绳上能承受的最大拉力不能超过7m
4、g，由于在最低点C，绳所受拉力最大，故应以C点为研究对象，并有(3)其中vC是C点速度，vC可由机械能守恒定律求知(4)将(3)式与(4)式联立，解之可得小结 (1)本题中小球在圆运动中，由于绳的拉力与运动方向相互垂直不会做功，只有重力做功，故机械能守恒求解竖直面内的圆周运动问题是机械能守恒定律的重要应用之一，并由此可以推导出些有价值的结论例如：从光滑斜面滑下的小球，进入竖直光滑的圆环(半径为R)， 在细绳作用下在竖直面内做圆周运动，在最低点和最高点，绳上拉力的差，应等于6mg，等等(2)从本题的结论入手，我们还可以对本题进行挖掘，请考虑如果我们改变一下绳上所承受拉力的最大值，原题是否还一定有
5、解呢？答案应是否定的当Tm6mg时，O点的位置将不再是范围，而是一个定点；当Tm5mg时，本题将根本无解例题3 如图855所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的右边缘固定的小球B，放开盘让其自由转动问：(1)当A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？(2)A球转到最低点时的线速度是多少？(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？思路点拨 两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角解题过程 (1
6、)以通过转轴O的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为当A球转至最低点时两球重力势能之和为Ep2EpAEpBmgr0mgr，故两球重力势能之和减少了(2)由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加，设A球转至最低点，A、B两球的线速度分别为vA，vB，则因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度相同由 (3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为，如图856，该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为由系统机械能守恒定律E1E3，即两边平方得 4(1sin2)1sin22sin，所以 5sin22sin30，小结 系统的始态、末态的
7、重力势能，因参考平面的选取会有所不同，但是重力势能的变化却是绝对的，不会因参考平面的选取而异机械能守恒的表达方式可以记为Ek1Ep1Ek2Ep2，也可以写作：Ek增Ep减本题采用的就是这种形式例题4 如图857所示，A、B两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时弹簧呈自然状态，A、B的质量均为M0.1kg，一颗质量m25g的子弹，以v045m/s的速度水平射入A物体，并留在其中求在以后的运动过程中，(1)弹簧能够具有的最大弹性势能；(2)B物体的最大速度思路点拨 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：其一，子弹击中物体A的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹
8、簧对A的作用力远远小于子弹与A之间的相互作用力，因此可认为由子弹与A物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞)其二，弹簧压缩阶段，子弹留在木块A内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩在这一压缩过程中，A在弹力作用下做减速运动，B在弹力作用下做加速运动A的速度逐渐减小，B的速度逐渐增大，但vAvB当vAvB时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值以后随着B的加速，A的减速，则有vAvB，弹簧将逐渐恢复原长其三，弹簧恢复阶段在此过程中vBvA，且vB不断增大而vA不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，A与B的加速度也刚好为零，此时B的速度将达到最大值，而A的速度为
9、最小值根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究A、B的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可同时由于A、B受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解解题过程 (1)子弹击中木块A，系统动量守恒由弹簧压缩过程由子弹A、B组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒选取子弹与A一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为Epm，此时子弹A、B有共同速度v共，则有代入数据可解得 v共5ms，Epm2.25J(2)弹簧恢复原长时，vB最大，取子弹和A一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有代入数据可解出B物体的最大速度 vBm10ms小结 本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用A、B运动过程中受变力作用，除不断进行动能与弹性势能的相互转化外，还始终遵循系统动量守恒选取特殊状态，建立两守恒方程是解决本题的关键关于这两个守恒之间的关系应加以注意，初学者常有人将两守恒的条件混淆、等同或企图用一个代替另一个例如有人认为：系统动量守恒，则系统的合外力为零；而合外力为零，合外力的功也为零，故系统的机械能也守恒类似错误还可列举很多实际上它们是完全不同的守恒问题，各自具有严格的成立条件，绝不可等同或替代，请同学们在学习中认真理解
机械能守恒定律及其应用·典型例题精析
