完全平方公式讲解

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1、完全平方公式讲解第一部分概念导入问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日a,那么(a+b)2应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1) (P+1)2=(p+1)(P+1)=；(m+2)2=；(P-1)2=(p-1)(p-1)=；(m-2)2=；学生计算得到结果：(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+122(m+2)=(m+2)(m+2)=m+4m+4(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+122(m-2)=(m-2)(m-2=m-4m+44分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2p1,4m=2-m-2，恰好是

2、两个数乘积的二倍。(1)(2)之间只差一个符号。推广：计算(a+b)2=(a-b)2=【2得到公式，分析公式(1)结论：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2)公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“+”，若这两项异号，则2ab的符号为“”(2) 公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4)几何解释Jbf牛bi血b2aV护ab图15图15中最大正方形

3、的面积可用两种形式表示：(a+b)2a2+2ab+b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即(a+b)2=a2+2ab+b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导例1计算(1)(3a+2b)2(2)(mnn2)2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1)(3a+2b)2=(3a)2+2(3a)(2b)+(2b)2=9a2+12ab+4b2(rnniCT?b机打)zg(讥”)*异+(ii)zA+*?if2mtf4注意：(2)

4、中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.例2计算(1) (-m-n)2(2)(-5a2)(5a+2)点拨：(1)可直接用完全平方公式由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“+”.(2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1)(-m-n)2=(-m)2+2(m)(-n)+(n)2=m2+2mn+n2(2) (-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2)=-(5a+2)2=-(25a2+20a+4)=-25a2-20a-4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘

5、，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.例3计算(1) (x-2y)2-(x-y)(x+y)(2) (m-n)(m2-n2)(m+n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简.(2)可先利用平方差公式将m-n与m+n相乘，再将所得结果m2-n2与中间括号里的m2-n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1)(x-2y)2-(x-y)(x+y)=(x2-4xy+4护)-(x2-y2)=x2-4xy+4y2-x2+y2=-4xy+5y2(2)(m-n)(m2-n2)(m+n)=(m-n)(m+n)(m-n2)=(m-n2)(m2-n2)=(

6、m2)2-2m2n2+(n2)2=m4-2m2n2+n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.例4计算：(x+)2-(x-y)222点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a+b)(ab),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x+y)222(x2+xy+仝)42(x2xy+L)4=x2+xy+2y2x2+xy44=2xy解法二:=“+和+仃-和+炉-3-子口uu(出+tO=*y加例5计算：(a2b+1)(a+2b1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同先找出两个括号中

7、完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a+b)(ab)的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a-W相反-a-(26-1)JLa*(26-1).寿_(2卜关键：此题最重要一步就是由到的过程转化,随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!一、选择题1下列运算中，正确的是()A.3a+2b=5abB.(a1)2=a22a+1C.a6心a2D.(a4)5=a92下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(A.(x+y)2=x2+y2B.(xy)2=x2y23下列各式计算结果为2xy-x2-y2的是()A.(x-y)2B.(-x-y)2C.-(x+y)2D.-(x-y)4若等式

8、(x-4)2=x2-8x+m2成立，则m的值是()5. A.16B.4C.-4D.4或4二、填空题(-x-2y)2=.6. 若(3x+4y)2=(3x-4y)2+B，贝UB=.7. 若a-b=3,ab=2，则a2+b2=.8 99.(y)2=x2xy+;()2=a2-6ab+.9 3416三、解答题.利用完全平方公式计算：(1)20082；(2)782.1.先化简，再求值：(2x-1)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中x=-311利用公式计算：19623cm,则面积减少了多少?12某正方形边长acm,若把这个正方形的边长减小13.已知x+y=1,求1x2+xy+丄y2的值.22114

9、.已知a+=5a11分别求a2+2,(a-)2的值aa15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，？则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长.16.小明在计算220092008222009200720092009-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2不需要用计算器，而且很快说岀了答案你知道他是怎么做的吗?17.已知：a+b=-5，ab=-6，求a2+b2.18利用公式计算：992-119.计算(1)(ab1)(ab1);(2)(2x3)(2x3);(3)1022;(4)992.(5)(ab1)(ab1)；(6)(m2np)2.20.一个正方形的边长增加3c

10、m,它的面积就增加239cm,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b1时,求(3a2b)(3a22b)(a2b)2的值22.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差22(2n1)(2n1)是8的倍数23. 观察下列等式:222.22222101,213,325,437,请用含自然数n的等式表示这种规律为：.24. 22已知4xMxy9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几？1. 答案BC点拨：(x+y)2=x2+2xy+y2，所以A不正确；(xy2=x2-2xy+y2,所以B不正确；(x+y)2=(-x)2+2(-x)y+y2

11、=x22xy+y2，所以C正确；(xy)2=(x+y)2=x2+2xy+y2,所以D也不正确，故选C.2. DD点拨：因为(x-4)2=28x+16，所以若(x-4)2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=4，故选D.3. 、x2+4xy+4y2点拨：(x2y)2=(x+2y)2=(x+2y)2=x2+4xy+4y2.4. 48xy点拨：B=(3x+4y)2(3x4y)2=9x2+24xy+16y2(9x224xy+16y2)?=?9x2+?24xy+16y292+24xy16y2=48xy.5. 13点拨：因为ab=3，ab=2,所以aF+b2=(ab)2+2ab=32+2X2=9

12、+4=13.6. 31232x;y;a4b;16b27. 94三、解：(1)20082=(2000+8)2=20002+2X20008+82=4000000+32000+64=4032064;(2) 782=(802)2=8022X80X2+22=6400320+4=6084.8. 解：(2x1)(x+2)(x2)2(x+2)2=2x2+4xx2(x24x+4)(x2+4x+4)=2x2+3x2x2+4x4x24x4=3x10.11当x=时，原式=3X(-)10=110=11.311思路：196接近整数200,故196=2004,则此题可化为(2004)2，利用完全平方公式计算.解：1962(

13、2004)22002-2X200X4+42=400001600+16=38416说明：1.可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X边长”，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a2现正方形面积：(a3)2面积减少了a2(a3)2=a2(a26a+9)=a2a2+6a9=(6a9)(cm2)答：面积减少了(6a9)cm2.12. 解：因为x+y=1，所以(x+y)2=1,即x2+2xy+y2=1.11111所以一x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=X

14、=.22222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.因为a+=5，所以a2+4=a11(a+)22a=522=23,aa111所以(a)2=a2+22a-=232=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如：aF+b2=(a+b)22ab,a2+b2=(ab)2+2ab，(a+b)2=(ab)2+4ab，(ab)2=(a+b)24ab等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，(x+3)2x2=39,?即x2+6x+9x2=39，6x=30，x=5.答：这个正方形花坛的边长为5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可.16.

15、 解：知道，做法如下：2009200822009200822009200722009200922(200920081)2(200920081)2222009200820092008222009200812009200822200920081220092008212200920082点拨：由200920072=(200920081)2，200920092=(20092008+1)2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a+b，ab,a2+b2的公式为完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：1.不要分别求出a和b,运算繁琐.n.若

16、已知a+b(或ab),ab,a2+b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a2+b2=(a+b)22ab当a+b=5,ab=6时原式=(5)22X(6)=25+12=37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案.19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a,1看成是b来计算.(2)利用加法交换律将原式变形为(32x)(32x),然后运用平方差公式计算.22(3) 可将1022改写为(1002),利用两数和的平方公式进行简便运算.22(4) 可将99改写为(1001)，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：(1)(ab1)(ab1)=(a

17、b)21a2b21；(2) (2x3)(2x3)=(32x)(32x)=(3)2(2x)294x2；(3) 1022=(1002)2=1002210022210000400410404；(4) 992=(1001)2=10022100111000020019801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将(ab)看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5)(ab1)(ab1)=(ab)1(ab)1(ab)21a22abb21;(6)(m2np)2=(m2n)p2(m2n)2

18、2(m2n)p2p22=m4mn224n2mp4npp.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用;2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方222222和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：(ab)ab或(ab)ab这样的错误;3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则(x3)2

19、x239即x26x9x239，解得X=5.答:这个正方形的边长是5cm.21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a、b的值代入计算出结果.22222解：(3a2b)(3a2b)(a2b)29a24b2(a24ab4b2)=9a24b2a24ab4b28a24ab8b2；当a1，b1时，(3a2b)(3a2b)(a2b)28a2224ab8b=8(-1)4(1)18=-4点拨】运用完全平方公式将(2n1)2(2n21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n1)2(2n1)2=4n24n21(4n24n1)=4n24n14n24n18n，又tn为整数，二8n也为整数且

20、是8的倍数.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n1)22n1(n1且n为整数).【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式，x2与y2项的系数分别为4和9，所以这个完全平方式应该是2(2x3y)，由完全平方公式就可以求出M.222解：根据(2x3y)2=4x212xy9y2得：M12.二M12答：M的值是12.2223. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出2005是7的多少倍数还余几天.解：20052=(72863)2(7286)22(7286)39=(7286)2(6286)772.2显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.