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1、3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角11定理图形相交
2、弦定理B证法连结AC、BD，证：APCsDPB.相交弦定理的推论厂、00中，AB为直径，CD丄ABPC2=PAPB.于P.0（特殊情况）LL丿用相交弦定理.直线AB切00于P,PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆有关的比例线段已知结论00中，AB、CD为弦，交PAPB=PCPD.于P.切割线定理OO中，PT切00于T,割线PB交O0于APT2=PApb连结TA、TB,证：PTBspATPB、PD
3、为OO的两条割线，PAPB=PCPD交O0于A、C圆幂定理nOO中，割线PB交OO于PCPD=r2延长PO交OO于M,延A,CD为弦OP2长OP交OO于N,用相交PAPB=OP2r2弦定理证；过P作切线用r为OO的半径切割线定理勾股定理证【典型例题】8. 圆幂定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数1fR（R为圆半径），因为OP2-R2叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。解：由切线长定理知：AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在RtAADE中，由勾股定理(1+工二(1-x)3+1x=lDE=-=-AE=+-=- 4444 ,:.DE
4、xAE=-.-=3：544AEBE=CEDE.AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DB=CD-CE=1-CEn二纲了-作）,即-7+12=0.*.CE=3cm或CE=4cm。故应填3或4。结果要注意两种情况的取舍。点拨：相交弦定理是较重要定理,例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则解:VZP=ZPZPAC=ZB，.PACspba,AB_PB忑,AB2_PB2又TPA是圆的切线,PA1mFCPCB是圆的割线，由切割线定理，得ABPBFE AGPBPC-PC ,HnABAC2=PB.FC即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。.PB=4PA又.PC=1
5、2cmpr*a-PA*PR由切割线定理，得.12a=FA*4PA尸才二充,.PA=&（亡痰）.PB=4X6=24(cm).AB=246=18(cm)设圆心O到AB距离为dcm,由勾股定理，得卫=J1Q2_阳=厕屈故应填后。证明：（1）连结BEBdQO的切线=ZA=乙CBEOA=OEA=OEAZOEA=ZDEC证明：连结BD,VAE切00于A,.ZEAD=ZABDVAE丄AB，又ABCD,.AE丄CDVAB为00的直径.ZADB=90.ZE=ZADB=90.ADEs&AD.ADA=AB*DE.CDABAD=BC,UDE点悟：由结论ADBC=CDAB得药云，显然要证PADspba和厶PCDPBC证
6、明：VPA切00于A,.ZPAD=ZPBA又ZAPD=ZBPA,.PADspba出_一上同理可证PCDspbc口竺TPA、PC分别切00于A、Cpa=pc土_匸：.ADBC=DCAB点悟：由要证结论易想到应证0E是厶ABC的中位线。而0A=0B，只须证AE=CE。证明：连结0D。VAC丄AB,AB为直径 AC为00的切线，又DE切00于D EA=ED,0D丄DEV0B=0D,AZB=Z0DB在RtAABC中，ZC=90ZBVZ0DE=90.乙SDU二亦-厶DDE ZC=ZEDC ED=EC AE=EC 0E是厶ABC的中位线 BC=20Eo例9如图8,在正方形ABCD中，AB=1,月口是以点B
7、为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作川D所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点。当ZDEF=45。时，求证点G为线段EF的中点；图8解：由ZDEF=45，得.ZDFE=ZDEF.DE=DF又VAD=DC.AE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG，FC=FG。因此EG=FG，即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）-、选择题1.已知：PA、PB切00于点A、B,连结AB,若AB=8，弦AB的弦心距3,则PA=（）2025C.5D.82.下
8、列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4,则另一弦长为（）B.10cm5. 在ABC中，D是BC边上的点，聊，BD=3cm,DC=4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）叨b32cmCcmd6. PT切00于T,CT为直径，D为0C点，直线PD交00于B和A,B在线段PD上，若CDBD=4，则PB等于（A.8cmC.12cmD.16cm=2,AD=3,A.20B.10C.5D.二、填空题7.AB、CD是00切线，ABCD,EF是00的切线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZEOF=。&已知：
9、00和不在00上的一点P,过P的直线交00于A、B两点，若PAPB=24,0P=5,则00的半径长为。9. 若PA为00的切线，A为切点，PBC割线交00于B、C,若BC=20,刊=1馅，则PC的长为。10. 正厶ABC内接于00,M、N分别为AB、AC中点，延长MN交00于点D,连结BD交AC于P,PC_则山。三、解答题AE0图3AB0NC图412.如图3,已知P为00的直径AB延长线上一点，PC切00于C,CD丄AB于D,求证：CB平分ZDCPo13.如图4,BM=MN=NC,已知AD为00的直径，AB是00的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且若AB=，求00的半径。【试题答案】-、选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空题7.909.30、解答题:11. 由切线长定理得厶BDE周长为4,由厶BDEsBAC，得DE=lcm12. 证明：连结AC,则AC丄CBTCD丄AB,AACBsACDB,ZA=ZlPC为00的切线，ZA=Z2,又Z1=Z2,ABC平分ZDCP13. 设BM=MN=NC=xcm又BA1=BNrBA=2cm(212=x*2x,.x=2(cm)又VOA是过切点A的半径，0A丄AB即AC丄AB由割线定理：CD7A二如C姒，又=.(CA-AD)-CA=CU-CM(2-AD)*=2X4A半径为
(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
