85曲线与方程学习教案

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1、会计学185曲线曲线(qxin)与方程与方程第一页，共81页。第1页/共81页第二页，共81页。【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数(shsh)解建立如下的对应关系:第2页/共81页第三页，共81页。那么,这个方程(fngchng)叫做_的方程(fngchng);这条曲线叫做_的曲线.这个(zh ge)方程曲线(qxin)上曲线方程第3页/共81页第四页，共81页。(2)求动点的轨迹方程(fngchng)的基本步骤任意(rny)x,y所求方程(fngchng)第4页/共81页第五页，共81页

2、。2.必备结论 教材(jioci)提炼记一记(1)曲线的交点与方程组的关系:两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的_解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;方程组有几组解,两条曲线就有几个_;方程组无解,两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件:两条曲线的方程所组成的方程组有实数解.公共(gnggng)交点(jiodin)第5页/共81页第六页，共81页。3.必用技法 核心总结看一看(1)常用方法:直接法、定义法、代入法(相关点法)、待定系数法、参数法.(2)数学(shxu)思想:数形结合思想、分类讨论思想.第6页/共81页第七页，共81页。【小题快练】1.思考(sko)辨析 静心思考(

3、sko)判一判(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.()(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()(4)方程y= 与x=y2表示同一曲线.()x第7页/共81页第八页，共81页。【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程(fngchng)变为x(x+y-1)=0,所

4、以x=0或x+y-1=0,故方程(fngchng)表示直线x=0或直线x+y-1=0.第8页/共81页第九页，共81页。(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时,是x2=y2,否则不正(b zhn)确.(4)错误.因为方程y= 表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分,故其不正(b zhn)确.答案:(1)(2)(3)(4)x第9页/共81页第十页，共81页。2.教材改编 链接(lin ji)教材练一练(1)(选修2-1P37练习T2改编)已知方程ax2+by2=2的曲线经过点A(0, )和B(1,1),则曲线方程为.53第10页/共81页第十一页，共81页。【解析(ji x)】由题

5、意得所以曲线方程为即答案：3225a,b2,25918ab2,b.25解得223218xy2,252522169xy1.252522169xy12525第11页/共81页第十二页，共81页。(2)(选修2-1P37习题2.1A组T2改编)和点O(0,0),A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为.【解析(ji x)】设点的坐标为(x,y),由题意知( )2+( )2=c,即x2+y2+(x-c)2+y2=c,即2x2+2y2-2cx+c2-c=0.答案:2x2+2y2-2cx+c2-c=022x0y022xcy0第12页/共81页第十三页，共81页。3.真题小试 感悟考题(ko t)试

6、一试(1)(2015天津模拟)在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 (O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线12OCOAOB 第13页/共81页第十四页，共81页。【解析】选A.设C(x,y)，因为(yn wi) 所以(x,y)=1(3,1)+2(-1,3), 又1+2=1，所以 即x+2y=5，所以点C的轨迹为直线,故选A.12OCOAOB ，112122y3x,x3,10y3,3yx,10 即解得y3x3yx11010 ，第14页/共81页第十五页，共81页。(2)(2015南昌模拟)已知A(-2,0

7、),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足APO=BPO,其中O为原点,则P点的轨迹(guj)方程是()A.(x+2)2+y2=4(y0)B.(x+1)2+y2=1(y0)C.(x-2)2+y2=4(y0)D.(x-1)2+y2=1(y0)第15页/共81页第十六页，共81页。【解析】选C.由APO=BPO得点O在APB的平分线上,由角平分线定理(dngl)得|PA|PB|=|AO|OB|=21,设点P(x,y),则利用关系式可知 =2,化简可得(x-2)2+y2=4(y0).2222x2yx1y第16页/共81页第十七页，共81页。(3)(2015临汾模拟)在ABC中，| |=4,ABC

8、的内切圆切BC于D点，且 则顶点A的轨迹(guj)方程为_.BC BDCD2 2, 第17页/共81页第十八页，共81页。【解析(ji x)】以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点.则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.所以|AB|-|AC|=所以点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y0),且a= ,c=2,所以b= ,所以轨迹方程为答案：2 2，2222xy1 x2 .2222xy1 x222第18页/共81页第十九页，共81页。考点1 定义法求点的轨迹方程【典例1】(1)(2015北京模拟)ABC的顶点(dngdin

9、)A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点(dngdin)C的轨迹方程是.第19页/共81页第二十页，共81页。(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心(yunxn)轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.求圆C的圆心(yunxn)轨迹L的方程;求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.第20页/共81页第二十一页，共81页。【解题提示】(1)根据题设条件,寻找动点C与两定点A,B距离的差满足的等量关系(gun x)|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹

10、为双曲线的一部分,再求其方程.(2)将圆C与另外两圆都外切,转化为圆心距与两圆半径和之间的关系(gun x).m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等.第21页/共81页第二十二页，共81页。【规范(gufn)解答】(1)如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为 =1(x3).答案: =1(x3)22xy91622xy916第22页/共81页第二十三页，共81页。(2)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1

11、|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在(cnzi),故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而 =1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.p2第23页/共81页第二十四页，共81页。【易错警示】解答本例(1)有两点容易出错:(1)忽视ABC的内切圆与边AB的切点为(3,0)这一隐含条件(tiojin)而找不

12、到解题突破口;(2)忽视顶点C始终在x=3的右侧.第24页/共81页第二十五页，共81页。【规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件(tiojin)及关键(1)适用条件(tiojin)动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.(2)关键定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义.提醒:弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.第25页/共81页第二十六页，共81页。【变式训练】等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个(y )端点是B(3,5),求另一个(y )端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.第26页/共81页第二十七页，共81页。【解析】设另一端

13、点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间的距离公式(gngsh),得整理得(x-4)2+(y-2)2=10.方程表示以点A(4,2)为圆心, 为半径的圆,如图所示,又因为A, B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线.即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径的两个端点.2222x4y24325，10第27页/共81页第二十八页，共81页。因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一直径的两个端点(dun din),所以 4,且 2,即点C不能为(5,-1).故点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,

14、-1).它的轨迹是以点A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.x32y5210第28页/共81页第二十九页，共81页。【加固训练】1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于(guny)点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆第29页/共81页第三十页，共81页。【解析】选B.设N(a,b),M(x,y),则 代入圆O的方程(fngchng)得点M的轨迹方程(fngchng)是(x-2)2+y2=22,此时|PF1|-|PF2|=|PM|

15、-|PF2|=|MF2|= =2,20)，且满足条件sin C-sin B sin A，则动点A的轨迹方程是_.【解析】由正弦(zhngxin)定理，得 (R为外接圆半径)，所以|AB|-|AC| |BC|，且为双曲线右支.答案： 1(x0且y0)a2a212ABACBC12R2R22R12222216x16ya3a第32页/共81页第三十三页，共81页。考点2 直接法求点的轨迹方程知考情直接法求轨迹方程是求轨迹方程的一个重要方法,也是高考命题的一个热点内容,该部分(b fen)大多数是以解答题的形式出现,考查求轨迹方程的方法,曲线与方程的定义,基本运算能力等.第33页/共81页第三十四页，共

16、81页。明角度命题角度1:已知动点满足的关系式求轨迹方程(fngchng)(或判断轨迹)【典例2】(2015成都模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(ab0)为动点,F1,F2分别为椭圆 =1的左、右焦点.已知F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足=-2,求点M的轨迹方程(fngchng).2222xyabAM BM 第34页/共81页第三十五页，共81页。【解题提示】(1)借助图形及条件F1PF2为等腰三角形,可知|PF2|=|F1F2|.(2)由(1)可知直线PF2的方程,从而(cng r)可求出A,B

17、两点的坐标,进而根据 =-2可求点M的轨迹方程.AM BM 第35页/共81页第三十六页，共81页。【规范解答(jid)】(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c0).由题意，可得|PF2|=|F1F2|，222ccacb2c.2( )( ) 10aacc111e.aa22 即整理得，得舍 或，所以第36页/共81页第三十七页，共81页。(2)由(1)知a=2c,b= c，可得椭圆方程(fngchng)为3x2+4y2=12c2,直线PF2方程(fngchng)为y= (x-c).A,B两点的坐标满足方程(fngchng)组消去y并整理，得5x2-8cx=0，解得x1=0,x2= c,33

18、2223x4y12c ,y3 xc .8521128xc,x0,5y3c,3 3yc.5 得方程组的解第37页/共81页第三十八页，共81页。不妨(bfng)设设点M的坐标为(x,y),则83 3A( c,c),B 0,3c .5583 3AM(xc,yc),BMx,y3c .55 23y3 xc ,cxy.38 3383 3AM(yx,yx),BMx, 3x .155558 3383 3AM BM2,(yx) x( yx)3x2,1555518x16 3xy 150. 由得于是由即化简得第38页/共81页第三十九页，共81页。所以x0.因此，点M的轨迹(guj)方程是18x2-16 xy-1

19、5=0(x0).2218x15310 x5ycxyc0316x16 3x将代入，得，3第39页/共81页第四十页，共81页。命题角度2:无明确等量关系求轨迹方程【典例3】(2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程.(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同(b tn)的两点P,Q,若x轴是PBQ的平分线,证明直线l过定点.第40页/共81页第四十一页，共81页。【解题提示】(1)借助图形寻找等量关系,然后求轨迹方程.(2)设出直线方程,结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数(xsh)的关系求解

20、,要特别注意判别式与位置关系的联系.第41页/共81页第四十二页，共81页。【规范(gufn)解答】(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于点H,则点H是MN的中点,所以|O1M|= 又|O1A|= 所以 化简得y2=8x(x0).22x4 ,22x4y2222x4yx4，第42页/共81页第四十三页，共81页。又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足(mnz)方程y2=8x,所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.第43页/共81页第四十四页，共81页。(2)由题意,设直线l的方程(fng

21、chng)为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中=-32kb+640.由根与系数的关系得,x1+x2= ,x1x2= ,282bkk22bk第44页/共81页第四十五页，共81页。因为x轴是PBQ的平分线,所以 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0将,代入得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,所以k=-b,此时0,所以直线l的方程(fngchng)为y=k(x-1),即直

22、线l过定点(1,0).1212yyx1x1 ，第45页/共81页第四十六页，共81页。悟技法利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简.(2)运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.若方程的化简过程是恒等变形,则最后(zuhu)的验证可以省略.第46页/共81页第四十七页，共81页。通一类1.(2015兰州模拟)已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足(mnz) =2,则点P的轨迹方程是()A.4x2+4y2-4x-8y+1=0B.4x2+4y2

23、-4x-8y-1=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=0OPAP 第47页/共81页第四十八页，共81页。【解析】选A.设点P的坐标为(x,y),则 =(x,y), =(x-1,y-2), =(2x-1,2y-2).所以(suy)(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得4x2+4y2-4x-8y+1=0.OP AP OPAP 第48页/共81页第四十九页，共81页。2.(2015深圳模拟)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面(pngmin)上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且 则动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC

24、.x2=2yD.y2=4xQP QFFP FQ ，第49页/共81页第五十页，共81页。【解析】选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).因为 所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理(zhngl)得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.QP QFFP FQ ，第50页/共81页第五十一页，共81页。3.(2015武威(w wi)模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A,B,若ABP为正三角形,则点P的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆第51页/共81页第五十二页，共81页。【解析】选B.设

25、P(x,y)，动圆P的半径为R，由于ABP为正三角形，所以(suy)点P到y轴的距离所以(suy) 即点P的轨迹为双曲线.2233dRxR,RPFxay22，即而，222222x3a3yxxay ,1212a4a化简得，第52页/共81页第五十三页，共81页。考点3 相关点(代入法)、参数(cnsh)法求轨迹方程【典例4】(1)已知长为1+ 的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且 则点P的轨迹方程为.22APPB.2 第53页/共81页第五十四页，共81页。(2)(2013福建高考(o ko)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的

26、坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).第54页/共81页第五十五页，共81页。求证(qizhng):点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程;过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积之比为4 1,求直线l的方程.第55页/共81页第五十六页，共81页。【解题提示】(1)设出P(x,y),A(x0,0),B(0,y0),然后利用x0和y0分别表示出x,y,并根据|AB|=1+ 求点P的轨迹方程.(2)注意Pi是直线(zhx

27、in)OBi与过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线(zhxin)的交点,适当选择一个参数即可;将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解.2第56页/共81页第五十七页，共81页。【规范(gufn)解答】(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),答案：0000002220022222222AP(xx ,y),PB( x,yy),APPB2222xxx,yyy ,x(1)x,y12 y.222AB12,xy12,2(1)x12 y12.2xxy1.Py1.22 则又，所以得因为即所以化简得所以点 的轨迹方程为22xy12第57页/共81页第五十八页，共81页。(2)依题意,过A

28、i(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程(fngchng)为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程(fngchng)为y= x.设Pi的坐标为(x,y),由得y= x2,即x2=10y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程(fngchng)为x2=10y.i10 xi,iyx,10110第58页/共81页第五十九页，共81页。依题意,直线l的斜率存在(cnzi),设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0.此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为SOCM=

29、4SOCN,所以|x1|=4|x2|.又因为x1x2b0)的一个焦点为( ,0),离心率为 .(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.2222xyab553第73页/共81页第七十四页，共81页。解题导思 研读信息快速(kui s)破题第74页/共81页第七十五页，共81页。规范解答 阅卷标准体会(thu)规范(1)由题意知 所以a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为 =1. 4分(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).c5c5,e,a322xy94第

30、75页/共81页第七十六页，共81页。当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率(xil)为k,且k0,则l2的斜率(xil)为 l1的方程为y-y0=k(x-x0),与 联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,因为直线l1与椭圆相切,所以=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,所以(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,所以k是方程(x02-9)x2-2x0y0 x+y02-4=0的一个根, 8分同理, 是方程(x02-9)x2-2x0y0 x+y02-4=0的另一个根,1,k22xy19

31、41k第76页/共81页第七十七页，共81页。所以整理得x02+y02=13,其中x03,所以点P的轨迹(guj)方程为x2+y2=13(x3). 11分检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹(guj)方程为x2+y2=13.12分2020y41k ()kx9，第77页/共81页第七十八页，共81页。高考状元 满分心得(xnd) 把握规则争取满分1.注意答题的规范性及全面性在解题过程中,注意严格按照题目及相关知识的要求答题,如本例中的切线l1与l2垂直可转化为两直线的斜率之积为-1,从而求出P点的轨迹方程,但应注意此关系的应用前提是“两直线的斜率都存在”,故应分类讨论,最后求出P点坐标时再进行检验,否则易导致错解.第78页/共81页第七十九页，共81页。2.关键步骤要全面求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应关系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可从以下(yxi)两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.第79页/共81页第八十页，共81页。第80页/共81页第八十一页，共81页。