工程力学位移分析与刚度设计

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1、第九章位移分析与刚度设计、教学目标具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。、教学内容轴向拉伸和压缩的变形扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件弯曲变形的量度及符号规定；挠曲线近似微分方程；计算弯曲变形的两种方法；用变形比较法解简单的超静定梁、重点难点轴向拉伸和压缩的变形扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件梁的变形分析。挠曲线近似微分方程。积分法求梁的变形。叠加法求梁的变形。用变形比较法解简单超静定梁。四、教学方式采

2、用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题五、计划学时学时六、实施学时七、讲课提纲（一）、9.1受轴向拉伸（压缩）时杆件的变形计算、纵向变形图9-11、线变形：l=li-l（绝对变形）反映杆的总伸长，但无法说明杆的变形程度（绝对变形与杆的长度有关）也l2、线应变：（相对变形）反映每单位长度的变形，即反映杆的变形程度（相对变形与杆的长度无关）3、虎克疋律:Fn|二、横向变形泊松比1、横向缩短：b=bi-b2、横向线应变：L=EA(9-1)：bbb3、泊松比实验结果表明：在弹性范围，其横向应变与纵向应变之比的绝对值为一常数，既泊松比：考虑到两个应变的正负号恒相反，即拉伸时：1+,-卜故有

3、压缩后：&,+三、变形和位移的概念1、变形物体受外力作用后要发生形状和尺寸的改变.,这种现象称为物体的变形。2、位移物体变形后，在物体上的一些点、一些线或面就可能发生空间位置的改变，这种空间位置.的改.变称为位移。3、变形和位移的关系一一因果关系，产生位移的原因是杆件的变形，杆件变形的结果引起杆件中的一些点、面、线发生位移。例题9-1图9-2(a)已知：杆为钢杆，杆直径d=34mm,Li=1.15m,Ei=200GPa杆为木杆，杆截面为边长a=170mm的正方形,L2=1m，E2=10GPa；P=40kN,0=30求SB、SB和S解：(1)FN1、Fn2=?FN1|1E1A1用截面法，画出节点

4、B的受力图，由平衡条件得FN2=-69.3kN(2)求厶L1、L2=?FN1=80kN，L1=380勺0汉1.159応2-620010(34)104=0.51mmFN2l2L2=E2A2=0.24mm求SBXSBy3=为计算节点B在x、y方向的位移和总位移，必须研究节点位移图中各线段之间的几何关系：Bi图9-2(b)3XBG=BB2=L2=0.24mmC)因为画节点位移图时已考虑了杆件是拉伸还是压缩这一现实，所以计算位移时只需代各杆伸长或缩短的绝对值。()表示位移方向。3y=BDDG=d土二土L2C0S：51.24cos30sitgasin。sin300.510.240.866“、1.43mm

5、G)0.5S=BB.、2、2-.0.2421.432=1.45mm(二卜2圆轴扭转时的变形计算1、扭转角与剪切角的概念/一扭转角，截面B相对于截面A转过的角度;.丫杆表面纵向直线所转过的角度。2、圆轴扭转时的变形计算扭转角的计算MnlGIrad（弧度）Mnl180GIp二（度）单位长度扭转角的计算GIpRad/m/mlGIp:3、扭转时刚度条件maxnmaxGInmaxGI180nRad/m/m-J例题3-4某轴AB段是空心轴，内外径之比二一=0.8；D忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的（9-2）（9-3）（9-4）（9-5）（9-6）（9-7）BC段是实心轴（其倒角过度9

6、=1m、G=80GPa试设计D和d应等于多少?0.5m10m图9-4解：1作扭矩图764Nin什）（-）1146Nin2、根据刚度条件设计180AB段:甘_MnGlp空1146D一4321146；80109二（1-0.84）1=0.0611m=61.1mmBC段:Glp空80109d432x764180d亠490.0486m=48.6mm|80x109汇冗x1兀3结论：D=61.1mm-刚度条件确定。d=48.1mm-刚度条件确定。（三）梁的弯曲变形回顾：弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。弯曲变形一一在外力作用下，梁在空间位置

7、的变化规律一、弯曲变形的量度及其符号规定1、度量弯曲变形的两个量：挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移B称为转角。2、符号规定：坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴,向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。挠度的符号规定：向上为正，向下为负。转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。、挠曲线近似微分方程及其积分1挠曲线在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。图9-62、挠曲线近

8、似微分方程K(x)(x)dx2数学上：曲线的曲率与曲线方程间的关系d材力上：挠曲线的曲率与梁上弯矩和抗弯刚度间的关系K(x)=1(x)M(x)El显然，挠曲线的曲线方程与梁的弯矩刚度间的关系可以用下式表示:d2M(x)dx2一El这个等式称为挠曲线近似微分方程近似解释:忽略了剪力的影响;由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。3、挠曲线近似微分方程的积分转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：八d，1-(x)(.M(x)dxc)dxEl再积分一次，得挠曲线方程：(X)=古-.(M(x)dx)cxD1积分常数的确定及其物理意义和几何意义积分常数的数目取决于M(x)的分段数M(

9、x)n段积分常数一一2n个举例:图9-7M(x)分2段，则积分常数2x2=4个 积分常数的确定一一边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数2n个=2n个.边界条件连续条件图6-4所示的例题中:边界条件:甘a十日口七B左B右连续条件：B左B右例题：列出图6-4所示结构的边界条件和连续条件Fp121/211/Z/Z图9-8A=左=D右解：边界条件：*=连续条件：左二

10、%右=比左珀右 积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=代入转角方程和挠曲线方程，得C=EI乙即坐标原点处梁的转角耳，它的EI倍就是积分常数C;D=ELo即坐标原点处梁的挠度o的EI倍就是积分常数D。几何意义：C转角D挠度举例:mo/HHiHFpc_ABC=Fpl22D=Fpl33FpBOt.ABC=molmlcF16D=0D=0D=0（三）计算弯曲变形的两种方法1、积分法基本办法利用积分法求梁变形的一般步骤:建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程;分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；利用边界条件，连续条件确定积分常数；建立转角方程和挠曲线方程；计

11、算指定截面的转角和挠度值，特别注意惻ma和|ma及其所在截面。maxmax积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁B、二b。、二c:niA图9-9AB段:d彳jM(xjdx12El即：El、=M(xJqi解：分段建立弯矩方程AB段：l2iM化)=(0X1W)82BC段：2M(X2)-qcq(X2-)c(X2-J8222ql2q,l、2(X2)(X2-1)8222分段建立近似微分方程，并对其积分两次El(xj=Elr=m(x1)dxc1EIr(x2)=EI匕EL.(x2)=El；：2qiX216qi4(x2)c2x2D2242ql2=捲+ci8FEl灼(xj=Eg=仃M(xjdxdx+0|捲+Di1

12、2=xi+qxi+DiI6BC段：”ql2ql21Elco2=M(x2)=(x2-)822利用边界条件、连续条件确定积分常数由边界条件确定Ci、Di:当捲=0时，二a=0，由（1）式得Ci=0；当Xi=0时，a=0,由（2）式得Di=00由连续条件确定C2、D2：当X2二丄时，（X2）（Xi），即联立、式子：222qll小qllqzll、3Ci（）C2得G=C2=08282622当X2=Xi-时，（X2）=（Xi），即联立、式：2ql2l2qll4lql2l2l（一）2（）4C2-D2（一）2G-Di得D2=0I6224222I622分段建立转角方程、挠曲线方程：AB段:EEG送2XiEl(X

13、i)qlI62Xi-I24-BC段:EH(x2)2*(X286-2)3El(x2)=乂22(x2一丄)16242求梁指定截面上的转角和挠度当X1冷时，由式得,由式得,Bq|464EI5ql3；7当X2=1时，由式得,1qi3q丄、3_ElIL厂648EI由式得,空(|2)_亠.(丄)4=23qTEl|16242384EI2、叠加法简捷方法挠曲线方程、转角、挠度计算方式记住梁在简单荷载作用下的变形叠加法的两种处理方法：荷载叠加变形叠加qABcV2d1阳C=，C1”C2(C2=BB2荷载叠加法求梁变形举例:JBLCl门L1(a)uuuuuLJUinm4c.4求Bq、二Bq(图9-10,b)严L(x

14、24lx+6l2J24EI_4qx24EIqlx36E2q|3x24EIdxqx3qlx_6EI_2EI2EI9-10Q=1(C)Bqq（2）qi（2）22qi（2）24EI6EI4EI17ql384EIq（2）3qi（2）qi（2）6EI2EI2EI7ql48EI求cq、屯（图9-10b）cqcqqi6EIqi8EIBq、Bq（图C）q（2）qiBq8EI128EIBq3q（2）qi6EI48EI求cq如（图c）cqBq最后:48EIqi48EI7qi384EIqi128EI丫：C、丸444192EI込王=(_丄亠叫7q384EI128EI384EI384EI-48EI+48EI-8EI7q

15、l4_q14(8EI384EI384EI.3.3.3一ql-qi-q1(8-333兀一花*q-cqcq-BqBq一7)如384EIG)31)如48EI（四）9.4简单超静定问题拉压超静定1、何谓静定?杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力能用静力平衡方程求解的，这类问题称为静定问题。这类结构称为静定结构。例如图图9-112、何谓超静定及其次数？杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力不能用静力平衡方程求解的，即未知力的数目超过平衡方程的数目，这些问题称为超静定问题。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。为提高图2-29,a所示结构的强度和刚度，可在中间加一杆，如图b所示:三个未知内力，两个平衡

16、方程（平面汇交力系），一次超静定。3、超静定问题的一般解法：（举例说明）图9-12解：（1）静力平衡方程：XFy=O，Fri+Fr2=Fp（a）Fri、Fr2、Fp组成一共线力系，二个未知力，只有一个平衡条件，超静定一次要解，必须设法补充一个方程。从变形间的协调关系着手。（2）变形几何方程（也称为变形协调方程）：ALi+AL2=0（b）L、AL不是所要求的未知力，只有通过物理条件才能把变形用未知力来表示，即R1I1（3）物理方程：-L1二EALL2=FR2L2EA(c)（4）建立补充方程：即将（c）式代入（b）式：FR1L1FR2L2一cEA=0EAFr1L2即FR2L1(d)联立解（a）、（

17、d）两式，得L2L1Fri二Fp；FR2二Fp-Li亠L2Li亠L2若解得Fri、Fr2为正值，说明Fri、Fr2的假设方向与实际一致，若Li=L2，贝UFri=Fr2=-Fp2已知Fri、Fr2,Fni,Fn2即得解。归纳上述解题，得到超静定问题的一般解法和步骤。(1) 根据静力学平衡条件列出应有的平衡方程；(2) 根据变形协调条件列出变形几何方程；(3) 根据力与变形间的物理关系建立物理方程；(4) 利用物理方程将变形几何方程改写成所需的补充方程；(5) 联立求解由平衡方程、补充方程组成的方程组，最终解出未知力(四)、用变形比较法解简单超静定梁1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：解除多余约束，变超静定梁为静定梁；用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程;通过协调方程(即补充方程)，求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求解举列。求图示梁的FQ、M图图6-8(a)示结构为简单(一次)超静定梁II比q山JUAElBEl1/21/2/3-69.310110109170210(3)画节点B的位移图 按解得的变形情况作位移图; 作弧线B1B3、B2B4交于B变形微小，可用切线代弧线，作B1B3、B2B4交于B9応448010D（1-：）32