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1、会计学1D对弧长曲线对弧长曲线(qxin)积分积分第一页，共22页。AB弧段为AB , 其线密度(md)为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,ks1kMkM1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用第1页/共22页第二页，共22页。设 是空间中一条有限长的光滑(gung hu)曲线,义在 上的一个(y )有界函数, 都存在(cnzi), 上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量nk 1ks1kMkM和对第2页/共22页第三页
2、，共22页。如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共22页第四页，共22页。（, 为常数(chngsh)( 由 组成) 21,( l 为曲线(qxin)弧 的长度)第4页/共22页第五页，共22页。基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分第5页/共22页第六页，共22页。xyOxdydsd说明说明(
3、shumng):因此(ync)积分限必须满足(2) 注意(zh y)到 x因此上述计算公式相当于“换元法”. 第6页/共22页第七页，共22页。则有如果(rgu)方程为极坐标形式:则syxfLd),(推广推广(tugung): 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为则第7页/共22页第八页，共22页。其中(qzhng) L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第8页/共22页第九页，共22页。的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量 I (设线密度(md) = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyO
4、L则 第9页/共22页第十页，共22页。其中(qzhng)L为双纽线解解: 在极坐标系下它在第一象限(xingxin)部分为利用对称性 , 得Oyx第10页/共22页第十一页，共22页。其中(qzhng) 为螺旋的一段弧.解解: 线第11页/共22页第十二页，共22页。其中(qzhng) 为球面 被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知(k zh)第12页/共22页第十三页，共22页。其中(qzhng) 为球面解解: 化为参数(cnsh)方程 则第13页/共22页第十四页，共22页。其线密度(md) 解解:ORRxy故所求引力(ynl)为),(yx求它对原点处单位质量质点
5、的引力. RkRkF2,4第14页/共22页第十五页，共22页。1. 定义定义(dngy)2. 性质性质(xngzh)( l 曲线弧 的长度)第15页/共22页第十六页，共22页。 对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),( 对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),( 对光滑曲线弧第16页/共22页第十七页，共22页。1. 已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a , 求提示提示:原式 =O22yx3利用对称性xyd1222分析分析:第17页/共22页第十八页，共22页。(1) 求它关于(guny) z 轴的转动惯量(2) 求它的质心(zh xn) .解解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)第18页/共22页第十九页，共22页。0故重心坐标为作业作业(zuy)P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 第19页/共22页第二十页，共22页。1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求提示提示: 分段积分xyO4ddas 第20页/共22页第二十一页，共22页。标面的交线 , 求其形心坐标. 在第一(dy)卦限与三个坐解解: 如图所示如图所示 , 交线长度交线长度(chngd)为为ORzyxRR1L3L2L由对称性 , 形心坐标为第21页/共22页第二十二页，共22页。
D对弧长曲线积分学习教案
