高中数学基础知识第六至十讲

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1、第六讲：指数与指数函数重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题一、分数指数幂1.根式：若 则x叫做a的n次方根。；叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。根式性质：，当n为奇数时；当n为偶数时2分数指数幂（1）分数指数幂的意义: 若设a0,则。由n次根式定义, 次方根，即：。同样规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。（2）有理数指数幂的性质：考点1 指数幂的运算例1（湛江市09届统考）计算：二、指数函数的图像及性质的应用1.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定

2、义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.考点2 指数函数的图象及性质的应用题型1：由指数函数的图象判断底数的大小例2 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y= bx，（3）y= cx，（4）y= dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A; B；C；D例3.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)题型2：解简单的指数方程例4 方程的解是_题型3：利用函数的单调性求函数的值域例5 已知2，求函数y=2x2的值域.基础巩固训练：1（高州中学09届月考）与函数的图像关于直线

3、对称的曲线C对应的函数为，则的值为 （ ） A； B； C； D2（广东南海09届月考）已知函数，且，则下列结论中，必成立的是（ ） A;B; C; D3（09年执信）oxyo1-1oxyo1-1ooxyo1-1ooxyo1-1oo函数的图象的大致形状是ooxxxxx 4. （四会中学09届月考）不等式的解集为 5（四会中学09届月考）满足条件m（mm）2的正数m的取值范围是_6.若关于x的方程25|x+1|45|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.综合提高训练：7已知函数，满足且，当时，试比较与的大小。第六讲 参考答案例1. 解题思路 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。解析原式名师指

4、引根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见例2. 解题思路 显然,作为直线x=1即可发现a、b、c、d与1的大小关系解析 B;令x=1，由图知,即名师指引 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析例3.D例4. 解题思路将方程化为最简单的指数方程解析；在方程的两边同时乘以得，从而得所以名师指引解指数方程要观察其特征，在本题中，关键是发现与的关系：例5. 解题思路求函数y=2x2x的值域应利用考虑其单调性解析 222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2是4，1上的增函数，242

5、y0. 名师指引利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性基础巩固训练答案1解析 D；依题意得，所以2解析 D；由函数的图象及和知，所以，从而3解析 ；当时，又，可排除、；当时，又，可排除4. 解析 ； 不等式即为，由函数的单调性得，解得5 解析 或；由得，当时，得，解得；当时，得，解得6.解析解法一：设y=5|x+1|，则0y1，问题转化为方程y24ym=0在（0，1有实根.设f（y）=y24ym，其对称轴y=2，f（0）0且f（1）0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x+1|（0，1，m=（y2）243，0）综合提高训练：7解析 ，关于对称，又 ，当时，；当

6、时，第七讲 对数及对数函数一、对数的概念1.定义：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作，叫做对数的底数，N叫做真数. 2.指数与对数的互化：，恒等式：=N3对数的性质： （0，且1） 0，且1对任意的数，常记为.4两类对数： 以10为底的对数称为常用对数，常记为. 以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，常记为. 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.二、对数的运算性质如果0且1，M0，N0，那么：（1）（2）； （3）三、对数换底公式：0，且1，0，且1，0 考点1 对数式的运算例1. 四、对数函数的图像及性质1.对数函数定义:一

7、般地，我们把函数(0且1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+），图像如右所示：2.对数函数的性质：定义域：（0，+）； 值域：R； 过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在（0，+）上是减函数。例2.设 且, 求证:;比较的大小.例3.已知 ， ,试比较的大小。例4.求函数的单调减区间，并用单调定义给予证明。五、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。例5设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ ）A.0，+）；B.（，0；C.0，2）；D.（2，0基础巩

8、固训练：1（1）；（2）_2已知，则= 3(2007全国)函数的图像与函数的图像关于直线对称，则4（广州市09届高三年级第一学期中段考）若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个；B. 4个；C. 3个；D. 多于4个5设，则x属于区间（ ）A（2，1）；B（1，2）；C（3，2）；D（2，3）综合提高训练：6（潮州金山中学09届高三检测）若点在第一象限且在上移动，则 A最大值为1；B最小值为1；C最大值为2；D没有最大、小值7（湛江市09届统测）给出四个函数图象分别满足：与下列函数图象对应的是 A B. C. D. 8（深圳翠园、宝安中学09届联考）下列表中的对数值有且仅有一个是错

9、误的：358915 请将错误的一个改正为 9已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围；第七讲 参考答案例1.解：原式 例2.证明：设,取对数得:, 又,例3. 解：当或 时 当时 当或 时 综上所述：时；时;例4. 解：定义域 ,单调减区间是.设 则 ,=,又, 又底数,函数在上是减函数例5.解析显然，从而得，其定义域为.时，单调递增；时，单调递减.故选C基础巩固训练参考答案1解析（1）1；（2）；2.解析3；由得，所以3.解析；由题意知，是函数的反函数，故 4.解析 A；由知是周期为2的函数，又时, 由是偶函数和周期性，在同一坐标系中作出和的图象，可知

10、它们的图象有两个交点，故方程的零点个数是25解析 D；因为,，而，所以x属于（2，3）综合提高训练参考答案6解析 A；依题意知，因为，所以当且仅当时取到“=”，故应选A7解析 D；显然满足的函数应是这种类型，故图象应是；满足应该是指数函数，故图象应是；满足的应是对数函数，故图象应是；满足的应是幂函数，就本题而言，其图象应是8解析lg15=3a-b+c；如果，则可见，是错误的，那么也是错误的，这与题意矛盾；反过来，也不是错误的，否则是错误的；同样，如果，则，如果是错误的，那么也错误，这与题意矛盾；显然也不是错误的，否则也错误；所以，所以应将最后一个错误的改正为9解析（1）或；（2）依题意对一切恒

11、成立当时，必须有，即或当时，当时，满足题意，当时不合题意故或依题意，只要能取到的任何值，则的值域为，故有，即又当时，即，当时符合题意，当时，不合题意,故第八讲 反函数与幂函数重点：反函数、幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。难点：综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题，反函数的求解。一、幂函数的概念一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数二、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数（R，是常数）的图像都

12、过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）考点 幂函数的概念、图象和性质题型1：利用幂函数的单调性比较大小 例1（中山市09届月考）已知，试比较的大小；题型2：由幂函数的性质确定解析式 例2 已知函数f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。（2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存

13、在实数q(q0)，使得g(x)在区间(,4上是减函数，且在区间(4,0)上是增函数。若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。O例3.（珠海中学09届月考）幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：，（如图所示），那么幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A， ；B ，；，；D ，六、反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.4.单调函数必有反函数，但并非反函

14、数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f

15、-1f(x)=x,(xA)ff-1(x)=x,(xC)考点3.求反函数例4.求函数 （-1 x 0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0 解得：1p3,而pZ p=0,1,2当p=0或2时，有f(x)=不是偶函数，故p=1，此时,f(x)=x2。（2）设t=x2，由g(x)在(,4上是减函数，在(4,0)上是增函数，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函数，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函数，在16，+上是减函数，从而可得=16，q=故存在实数q=，使得g(x)在(,4上是减函数，且在(4,0)上是增函数。名师指引（1）解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性

16、质，依单调性从其指数入手；（2）复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。例3.解析 D；由于当时，当时，故幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，例4.解： -1x 0,0 x2 1 ,01 - x2 1, 0 1 ,0 y 1由：解得： ( -1x 0 )(-1 x 0)的反函数是：( 0 0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程fg(x)=0有且仅有三个解； (2) 方程gf(x)=0有且仅有三个解； (3) 方程ff(x)=0有且仅有九个解； (4)方程gg(x)=0有且仅有一个解。-aaxyy=f(x)Oa-a-aaxyy

17、=g(x)Oa-a那么，其中正确命题的个数是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 47已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.第九讲 参考答案例1.解题思路求函数的零点就是求方程的根解析令 ，即函数的零点为-1，1，2。名师指引 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。例2. 解题思路求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数就是求方程lnx2x 6=0的解的个数解析方法一：易证f(x)= lnx2x 6在定义域上连续

18、单调递增，又有，所以函数f(x)= lnx2x 6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数即是求方程lnx2x 6=0的解的个数即求的交点的个数。画图可知只有一个。名师指引求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点例3. 解析依题意得（1）或（2）或（3）显然（1）无解；解（2）得；解（3）得又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B例4. 解题思路判断函数在各个区间两端点的符号解析由，故排除A；由，故排除B；由，故可确定方程的一个根位于下列区间（1.8，

19、2.2），所以选择C名师指引用二分法求方程的近似解的关键是先寻找使得函数在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。例5. 解题思路由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论解析（1）若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则m0； 都在原点右侧，则解得0m1，综上可得m（，1.名师指引二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论：方程f（x）=0的两根中一根比r大

20、，另一根比r小af（r）0.二次方程f（x）=0的两根都大于r 二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根 二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（pq）例6.解析14.9%；设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.lg（1+x）=0.0602. 1+x=100.0602.又lg11.49=1.0602， 11.49=101.0602=10100.0602. 100.0602=1.1

21、49.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%. 基础巩固训练参考答案1.解析 B；由于用二分法判断函数在区间上有零点的必要条件是，而从图可以看出，在区间 的两端的符号相同，故不能用二分法求出函数在这个区间上的零点2.解析 B；令，则，可见所在的区间是3.解析 A；令，则，所以方程的解所在区间是（0，1）4解析 ；令，则，故下一个有解区间为5.解析 A在同一坐标系中作出函数和的图象，发现，并且当时，综合提高训练：6解析 B；7解析(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 .(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，

22、1)内，列不等式组 (这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)第十讲 必修1模块检测题(20092010）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列各式：；，其中错误的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2若lg2a，lg3b，则（ ）A B C D3下列幂函数中过点，的偶函数是（ ）A B C D4设用二分法求方程在内近似解的过程中,则方程的根落在区间 ( )A B C D无法确定5如果二次函数满足，则b的值为（ ）A1 B1 C2 D26三个数，之间的大小关系是（ ）Aa c b Ba b c C b

23、a c D b c a 7如图所示曲线是对数函数的图象，已知a的取值为，则相应图象中的a的值依次为（ ）A B C D8已知映射：，其中，集合 集合B中的元素都是A中元素在映射 下的象，且对任意的 在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( ) A4 B5 C6 D79已知函数 ，则 =（ ）A9 B C9 D10奇函数在区间上单调递减，且，那么在区间上（ ）A单调递减 B单调递增 C先增后减 D先减后增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11已知不等式的解集为，则 .12已知，则= . 13函数的值域为_ _. 14函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 . 三、

24、解答题：本大题共3小题，共30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（8分）计算： 16（10分）已知集合，.(1) 求，；(2) 若，求a的取值范围.17（12分）已知函数，且(1) 求m的值； (2) 证明的奇偶性；(3) 判断在上的单调性，并给予证明;第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分 18函数的单调增区间是_. 19下列几个命题，正确的有_.（填序号） 方程有一个正实根，一个负实根，则；若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为若为偶函数，则有；函数的定义域为1，2，则函数的定义域为五、解答题：本大题共3小题，共40分解答应写出文

25、字说明、证明过程或演算步骤20（12分）设是定义在上的函数，对定义域内的任意x，y都满足，且时，.(1) 写出一个符合要求的函数，并猜想在上的单调性；(2) 若，解不等式；21（14分）函数的定义域为M，函数（）.(1) 求M；(2) 求函数的值域；(3) 当时，若关于x的方程有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数.22（14分）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点. 已知函数.(1) 当，时，求函数的不动点；(2) 若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求a的取值范围；(3) 在(2)的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且A、B的中点C在函数的图

26、象上，求b的最小值.（参考公式：的中点坐标为）第十讲 参考答案第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号12345678910答案ADBADCCABB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 1；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共3小题，共30分15（8分）. 计算： 原式 4分 7分 8分16（10分）. 已知集合，.(1)求，；(2)若，求a的取值范围.解：（1）， 2分， 4分（2）由（1）知，当时，满足，此时，得； 6分当时，要，则，解得； 9分由得， 10分17（12分）. 已知函数，且（1） 求m的值；（

27、2） 证明的奇偶性；（3） 判断在上的单调性，并给予证明;解：（1），. 2分（2）因为，定义域为，关于原点成对称区间. 3分又， 5分所以是奇函数. 6分（3）设，则 7分 9分因为，所以， 11分所以，因此在上为单调增函数. 12分第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分 18. ；19. .五、解答题：本大题共3小题，共40分20（12分）.设是定义在上的函数，对定义域内的任意x，y都满足，且时，.（1） 写出一个符合要求的函数，并猜想在上的单调性；（2） 若，解不等式；解：（1）， 2分在上单调递增. 3分（2）任取，且由，得，令，则，故在上单调递

28、增. 6分由，令，得7分，即， 8分由在上单调递增，得， 10分 解得， 11分所以不等式的解集为. 12分21（14分）. 函数的定义域为M，函数（）.(4) 求M；(5) 求函数的值域；(6) 当时，若关于x的方程有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数.解：（1）， 2分（2）设， 3分， 4分当时递减，当时递增，所以时，； 6分当时递增，所以 7分故的值域为 8分（3），即，方程有实根函数与函数（）的图象有交点. 10分由（2）知， 所以当时，方程有实数根. 12分下面讨论实根个数： 当或当时，方程只有一个实数根 13分 当时，方程有两个不相等的实数根 14分 当时，方程没有实数根

29、22（14分）.定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点. 已知函数.(1)当，时，求函数的不动点；(2)若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值.（参考公式：的中点坐标为）解：(1)，由， 1分解得或，所以所求的不动点为或3. 3分(2)令，则 由题意，方程恒有两个不等实根，所以， 5分即恒成立， 6分则，故 8分(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)(x1x2)， 9分又AB的中点在该直线上，所以， 10分而x1、x2应是方程的两个根，所以，即，=-=- 12分当 a=(0，1)时，bmin= 14分