DSP信号处理导论[DSP]中文翻译版 word 版

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1、Introduction to SignaProcessing1第三章离散系统本章的讨论重点是离散系统，尤其是离散线性时不变系统。线性时不变系统的输入输出I/O)方 程可以用输入信号与系统冲激响应的离散卷积来表示。根据系统的冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分为有限冲激响应？1)和无限冲激响 应(11幻两种。本章的主要目的是为FIR滤波器设计算法。FIR滤波算法可以分为按块Block to Block) 和样值处理8&瓜口16 to 8咖口16)算法两种。分批处理算法中，输入信号视为一次抽样的块。将这一块信号与滤波器冲激响应卷积得到一个输出块。如果输入序列时限非常长或者是无限延时，这种方法

2、需要做些改良，比方说可以将输入信号分成多个块，每一块的长度都可以分别处理，可以一次滤波一块，然后再把输出拼凑在一起。样值处理算法中，一次只处理一个抽样。滤波器可以看作是一台状态机器，也就是说，把输入抽 样与滤波器当前的状态结合起来计算当前的输出抽样，同时也更新滤波器的内部状态为下一次处理作准 备。当输入信号特别长的时候，这种方法对于实时运算特别有效。滤波器自身特性变化的自适应滤波 就适合于使用这种算法。目前的DSP芯片对这种算法也很有效。3.1输入输出规那么离散系统所实现的就是将输入的离散抽样序列0)，根据一定的输入/输出1/0)规那么转换成输 出序列的运算。I/0规定了怎样由的输入计算输出。

3、样值处理方法，我们可以认为其I/O规那么就是一次处理一个输入抽样。x x2, x3, , xn, ii 少 j2, y3,L, y ,L 按块处理的方法，输入序列划分成块，每次处理一块。x 0y 0x =X1H vy1=yx 2Ty 2因此其I/O规那么也就是将输入向量根据某种函数映射成输出向量。|y = Hx对于线性系统，这种映射就是用矩阵H作线性变换。线性定常系统，其变换矩阵H根据系统的冲 激响应有特定的结构。例 例 3 1 2 y(n) = 2x(n) +3x(n-1) +4x(n-2)。n时刻的输出是此前连续三个输入抽样的加权和。也就是说，n时刻，线性系统必须记住前两个时 刻的抽样 x

4、(n-1)、x(n-2)。第三章离敢时间系统2例将长度为L=4的输入抽样x。，x1,x2，x3视为一块，例所示的线性系统将其转换成长 度为6的输出序列。y。2000y13200x0y =y2y3=40342302x1x2=Hxy40043x3_ y5 _0004输出序列的长度比输入序列长度大2，因为系统必须保存两个抽样，最后的两个输出可以认为是 输入消失后(input-off)的过渡状态。如果输入的抽样为匕=5，那么，输出的序列为：y020000y132000x0y243200x1y =y3=04320x2=Hxy400432x3y500043x4_ y6 _00004例、例的输入输出方程也可

5、以用以下样值处理的算法来实现：y(n)=2x(n)+3wi (n)+4w2(n)w2(n+1)=wi(n)w1(n+1)=x(n)附加的w1(n)、w2(n)可以视为系统的内部状态。当前的输入结合当前的内部状态足以计算当前的输出。由有下一个输入0+1)所产生的输出70+1)要求我们知道已经更新的内部状态。而此时的内部状态0+1时刻的内部状态)已经更新。也就是说，n+1时刻，我们有：y(n+1)= 2x(n+1)+3w1(n+1)+4w2(n+1)w2(n+2)=w1(n+1)w1(n+2)=x(n+1)这样的计算是从某个时刻开始并且不断重复，我们可以归结为以下算法：一旦内部状态的当前值在计算输

6、出y的时候使用过以后，他们就被后两个赋值的方程更新，用来计算下一个输入的抽样。因此Wl、W2必须在一次调用到下一次调用的过程中保存。w1、W2更新的次序非常重要，也就是首先更新w接下来更新w1，以防止把正确的值覆盖。例、例、例是同一个离散系统的等效描述方式。究竟是采用哪一种形式取决于应 用的场所，也就是要看输入序列是有限长还是无限长、输入抽样是否在接收到以后应该立刻处理还是可 以延缓处理。上面的例子实际上是用下述I/O方程描述的、具有更一般形式的状态空间的特例：y(n)=g(x(n)，s(n) 输出方程for each mew input x do:y：=:x+Wj + 2W2：=WjWj：=

7、Introduction to SignaProcessing3s(n+1)=f(x(n)， s(n)其中8(0是维数一定的状态方程矢量。比方说前面的例子中，S()状态更新方程。W1(n)W2(n)I/O算法根据当前的输入0)和当前的状态8(0计算出当前的输出7(0和下一时刻的状态s(n+1)。也可以将它表述成下面的重复演算形式：线性时不变系统的状态空间实现是由函数f和g来表述的，而f和g又是其变量的线性函数，艮口：f(x,s)=As+Bxg(x,s)=Cs+Dxfor each mew input x do:y：=g(x,s):=f(x,s)A B C D维数各不相同。对于上例，我们有:y

8、:= 2x + 3w1 + 4w2 = 3,4+ 2x = 3,4s + 2 x = g (x, s)w1x00w11001s =:=+x =s +w2 _w1 _10_w2 _0100x=f(x，s)例 y(n) = 0.5 y(n - 2) + 2 x(n) + 3x(n -1)输出由常系数差分方程递归计算得到。任意时刻仏系统必须记住前一个输入(1)和前一个时刻的输 出 y(n-1)。例例也可以将I/O方程表述为样值运算算法：for each new input x do:y:=0.5w1+2x+3v1w1:=yv1:=x它对应于所谓差分方程的直接实现形式，要求计算并且更新附加量1，。 例

9、所示的I/O计算规那么也可与以下所谓的标准形式相对应：for each new input x do:w0:=x+0.5w1y:=2w0+3w1w1:=w0y(n)=5 x(n+2)+x(n+1)+x(n)+x(n-1)+x(n - 2)为线性时不变系统 y(n) = 2x(n) + 3y(n) =x 2(n)非线性、时不变系统y(n) = 2x(n) + 3x(n -1) + x(n)x(n -1)y(n) = medx(n +1)，x(n), x(n -1)-取中间值第三章离敢时间系统4y(n) = nx(n)y(n) = -x(0) + x(1) + x(n -1)线性、时变系统nn1y

10、(n +1) = - y(n) + - x(n) n +1n +1例 f x(n| 2)为偶数=0为奇数相当于一个上采样器。在抽样之间插入零，因此输出将输入抽样的数量增加。x0，xx2，x3，L，xn，H x0，0，x1，0，x2，0，x3，0.，xn，0，L3.2线性与时不变性一个系统是线性系统，那么当输入是由两个抽样序列x1(n)、&(0的线性组合时，其输出序列也是其 相应输出序列的线性组合。即：x(n) = a1 xi(n) + a! x2(n)(3.2.1)时，其输出为y(n) = ax y1 (n) + a2 y2 (n)(3.2.2)为了验证一个系统是否是线性系统，必须分别验证三个

11、输出序列，y(n)、y1(n)、丫2(0满足(3.2.2)式。时不变系统是指系统不随时间变化而改变。相同的输入序列，无论在何时施加到系统上，将产生 相同的输出。输入信号延时右移或提前左移D单位时间，输出序列也将相应延时右移或提 前左移D单位时间。时不变可以用以下图来解释。Introduction to SignaProcessing5输入信号经系统先延时后变换和输入信号先经过系统变换后的输出再延时得到的输出序列应该是-样的。设。(0为先延时，后变换得到的输出。(卜0)为先变换，后延时得到的输出。假设yD(n)=y(n-D)，那么，该系统是时不变系统。例假设那么而a】y1 (n) + a2 y2

12、 (n)=巧2巧(n) + 3 + a2 2 x2 (n) + 3显然输入为两个信号的线性叠加时，输出并不是两个信号单独作用时输出的线性叠加，既:y(n)=2x(n)+3 x(n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n) y(n) = 2a1x1 (n) + a x2 (n) + 3所以为非线性系统a1 y (n) + a2y2 (n)本 ya七(n) + a2x2 (n)。y(n)=x2(n)x(n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n)时，贝1y(n) = a1x1 (n) + a x2 (n) = a1 x1 (n) + 2aa x1 (n) x2 (n) + a x2

13、 (n) 1 x12 (n) + a2x22 (n) = a1 y1 (n) + 七y2 (n)非线性系统。而y(n)=nx(n)yD(n)=nxD(n)=nx(n-D)y(n-D)=(n-D)x(n-D)yD(n)#y(n-D)为时变系统。同理，假设：y(n)=x(2n)yD(n)=xD(2n)=x(2n-D) y(n-D)=x(2(n-D)=x(2n-2D) y(n-D) yD(n)所以是时变系统。这是一个下采样器。我们可以从原信号的输出和延时信号的输出更直观的看出:第三章离敢时间系统6x0，x1，x2，x3，x4，x5，x6 0，x0，x1，x2，x3，x4, x5，x6 x0，x2，x

14、4，x6，-0，x x3，x5，L第一种情况下，输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。下面一种情况下，输入延时一个单位，输 出同样每两个输入被丢掉一个，得到的输出并不是上面的输出延时一个单位。所以为时变系统。3.3冲激响应。(离散线性时不变系统可以用其冲激响应序列从0来唯一表征。而冲激响应从就是系统对于 单位冲激输入5 &)的响应。5 (n)5(n)5( n)当当h(n)h(n)因此，我们有:或者说:1，0，0，0， h0，h1，h2，假设系统是时不变系统，就意味单位冲激输入延时一段时间，比方说，D单位时间，其冲激响应 输出将会是大小一样，但延时为D的输出h(n-D)。S(n - D) 二

15、h(n - D)其中D可以正，也可以负。线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。5(n) + 5(n -1) + 5(n - 2) 二 h(n) + h(n -1) + h(n - 2)更一般性，三个输入的加权线性组合：x(0)5(n) + x(1)5(n -1) + x(2)5(n - 2)将会产生同样三个输出的加权线性组合：x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2)任意输入序列，x(0)，x(1)，(2)，*可以看作是延时并且权重为单位冲激函数的线性组合。 x(n) = x(0)5 (n) + x(1)5 (n -1) + x(2)5 (n

16、 - 2) +100nn上式中，n=0那么只有第一项不为零，其余各项为零。n=1那么只有第二项不为零，其余各项为零等等。 因而得到。Introduction to SignaProcessing7y(n) = x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2) +或写作：y(n) = x(m)h(n - m)(LTI Form)(3.3.2)m上式又称为输出函数的LTI形式。其实就是输入序列(0与滤波器冲激响应序列从0的离散时间卷积 也可以说，LTI (线性时不变系统就是一个卷积器。一般说来，上式中的求和m值可以扩展到负数，主要取决于输入信号。改变求和式当中求和项的 次

17、序，也可以写成另一种形式：3.4 FIR和IIR滤波器离散时不变系统根据其冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分成FIR(有限冲激响应)和FIR冲激响应IIR冲激响应FIR滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间，也就是说，0SnSM，其余均为零。h0，h1，h2，hM，0，0，0，IM称为滤波器的阶数。FIR滤波器冲激响应矢量h的长度为：|L h=M+l|冲激响应的系数h0，h,，h2，-%hM丨在不同的教科书上有不同的名称，比方说，滤波器系数、滤波器的权、filters308(滤波器的节拍)。式又成为卷积的直接形式。当mM和m0时，匕()都不存在，只有 0mM的项不为零。所以式又可以写成为：第

18、三章离敢时间系统8y(n) = h(m) x(n - m)m=0FIR卷积方程或者写成显式表达式：y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n -1) + h(2)x(n - 2) + h(M)x(n -M)因此，I/O方程可以由当前的输入抽样的与过去的M个抽样x(n-1),x(n-2),x(n-M)的加权和得。例 y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)可以视为二阶滤波器，滤波器的系数h=hQ，h1，h2=2，3，4 y(n)=h0x(n)-h1x(n-1)+h3x(n-2)例求以下FIR滤波器的冲激响应系数h。 y(n)=2x(n)+3x(n-1)+5x(n-2)+2x(

19、n-3)滤波器系数：h=h。,hl,h2,h3=2,3,5,2为一个三阶滤波器 y(n)=x(n)-x(n-4)滤波器系数：匕丨几-为一个四阶滤波器当输入为冲激序列时x(n)= S化)，输出也是冲激响应序列： h(n)=2 S (n)+3 S (n-1)+5 S (n-2)+2S (n-3)和h(n)= S (n)-S (n-4)另一方面，IIR滤波器冲激响应：0时限无限延长，0n0时，冲激函数3(0=0，因此差分方程为： 匕化)=-1)，也就是说：0)斗(1)斗(2)=.=1。所有系数都是一样的。因此我们有：f1n 0h(n) = u (n)= |0n -1Introduction to S

20、ignaProcessing9其中， 0 n -1代入卷积方程，得到：y(n) = x(n) + ax(n -1) + a2x(n - 2) + a3x(n - 3) + =x(n) + ax(n -1) + ax(n - 2) + a2x(n - 3) +3na0y (n) = ay(n -1) + x(n)可以看出，它所满足的方程正好是滤波器系数所满足的差分方程。例求满足以下I/O差分方程的IIR滤波器的卷积方程和冲激响应：y(n) = -0.8y(n -1) + x(n)解：上述方程恰好是上例中&= 0.8。令x(n)=S(n)、7问斗)，我么就得到匕0)所满足的差分方程：h(n) =

21、-0.8h(n -1) + 5(n)第三章离敢时间系统10设初始条件从-1)=0，对n作几次迭代，我们得到：h(n) = (-0.8) nu (n)七08 |0n 1求y(nP从0所满足的差分方程。解：从0)和从1)为任意给定的。n2后，各系数可以递归计算。比方说： K1)=4 h(2)=0.5h(1) h(3)=0.5h(2) h(4)=0.5h(3)把以上系数代入卷积方程(3.4.3)，我们得到：yn = h0 xn + h1 xn-1 + h2 xn-2 + h3 xn-3 + 2=2 xn + 4 xn-1 + 2 xn-2 + 0.5xn-3 + 0.5 xn-4 + 此前一个时刻的

22、输出：2yn-1 = 2xn-1 + 4xn-2 + 2xn-3 + 0-5xn-4 + 0 5 xn-5 + 方程两边同乘以0.5得到：0 5y1 = xn-1 + 2xn-2 + 0 5xn-3 + 0-5 xn-4 + 0. xn-5 + 用丫减去0方0-1)得到：y(n) - 0.5 y(n -1) = 2 x(n) + 3x(n -1)或者：y(n) = 0.5y(n -1) + 2x(n) + 3x(n -1)既为输入和输出所满足的差分方程。用：0替换y(n)，5替换0)，得到冲激响应所满足的差分方程： h(n) = 0.5h(n -1) + 25 (n) + 35 (n -1)例

23、求满足以下差分方程的IIR滤波器的卷积和冲激响应。y(n) = 0.25 y(n - 2) + x(n)解：冲激响应满足以下差分方程：h(n) = 0.25h(n - 2) + 5(n)设初始条件为零：-1)=-2)=0。滤波器前几项系数的迭代为：Introduction to SignaProcessing11h(0)=0.25h(-2)+ 5 (0)=0.25 0+1=1 h(1)=0.25h(-1)+5(1)=0 h(2)=0.25h( 0)+ 5 (2)=0.25=(0.5)2 h(3)=0.25h(1)+ 5 (3)=0 h(4)=0.25h(2)+ 5 的=0.25 X 0.25=

24、(0.25)4 因此，对任何00，我们有：= |(0.5)n 为偶数 0为奇数我们也可以写成为：h=1，0，0.5)2，0，0.5)4，卷积方程为：yn = xn + 0.52 x(n - 2) + 0.54 x(n - 4) +例求满足以下周期性因果冲激响应的IIR滤波器I/O差分方程：h(n) = 2，3，4，5，2，3，4，5，2，3，4，5，解：如果将冲激响应延时四个时间单位，我们得到：h(n - 4) = 0，0，0，0，2，3，4，5，2，3，4，5，-两式相减得到：h(n) - h(n - 4) = 2，3，4，5，0，0，0，0，0，0，0，0，也就是说，n4的项相互抵消。Pa

25、ge 114图解释 我们可以将上式写作：h(n) - h(n - 4) = 25(n) + 35(n -1) + 45(n - 2) + 55(n - 3)得到：h(n) = h(n - 4) + 25(n) + 35(n -1) + 45(n - 2) + 55(n - 3)用前面例子中所介绍的方法，我们可以得到7(0所满足的方程：y(n) = y(n - 4) + 2x(n) + 3x(n -1) + 4x(n - 2) + 5x(n - 3)这以例子解释了怎样构造|数字周期波形发生器|。将要产生的波形假设为LTI系统的冲激响应， 在确定好系统的差分方程后，输入端施加冲激脉冲，输出端就是想

26、要的波形。8.1.2)更一般性，我们所关心的IIR滤波器的冲激响应从0满足下述差分方程：h(n) = Z ah(n - 0 + Z br 5(n - 0i =1 i=0或这写成显式表达式：hn = a1hn-1 + a2h(n - 2) + + aMhn-M + b05n + b15n-1 + + bL5n-L利用例的方法，我们可以把上述两式写成：第三章离敢时间系统12y(n) = E aj(n - i) + X btx(n - i)i=1 i=0或yn = a1 yn-1 + a2y(n - 2) + + aMyn-M + b0xn + b1 xn-1 + + bLxn-L我们将在讨论z变换

27、后再探讨IIR滤波器的特性。需要提醒的一点是FIR滤波器可以认为是IIR 滤波其递归项不存在时的特殊情形。也就是说当递归项系数&=a2-=aM=0时，IIR滤波器就是FIR滤 波器。最后，FIR和IIR滤波器数学上有几种等效的表达方式：I/O差分方程|卷积方程冲激响应h(n)传递函数H(z)频域响应H(u)零点/极点图框图和抽样处理算法前面的这些例子总是在前三种方法之间来回倒换，从差分方程到冲激响应再到滤波的卷积形式。 后面我们将看到，这些例子中时域的繁琐的运算用z变换就可以防止了。但是每一种表述方式都有不同的目的，并使我们对滤波器特性可以做不同的解释。比方说，我们 可以给滤波器提供我们期望的

28、频域标准，也就是提出期望的H()。用滤波器设计方法，我们可以设计 一个滤波器的频域响应逼近这一函数。对IIR滤波器一般的设计手段是传递函数H(z)，而FIR滤波器设 计的手段多为冲激响应h(n)。由传递函数8)或冲激响应h(n)，我们可以得到实时实现该滤波器的框图。 3.5因果性和稳定性离散信号同模拟信号一样，可以划分为因果信号、反因果信号、混合信号。因果信号|或右边信号：当且仅当n0时(幻存在，n-1时，(幻不存在。这种信号是最常见 的信号 反因果信号|或叫|左边信号只有当n?一1时，的存在，而当n?0，的不存在。混合信号|或双边 陋号既包含左边信号又包含右边信号。时间起点，n=0的设置完全

29、是一种人为约定。一般说来，我们将时间起点设置为信号发生器合上 开关或我们开始处理的某个时间。因此，相对于某个给定的时间起点而言的双边信号，无非是我们开始 处理之前已经存在的信号。LTI系统也可以根据其冲激响应从0是否是因果、反因果或双边二可以划分为因果系统、反因果 系统或混合系统。双边的混合的的LTI系统的冲激响应h(n)，n的取值范围为一吣化吣，其I/O方 程为：Wy(n) = X h(m)x(n - m)m=-w这种系统不可能实时实现，因为上式可以展开为：y(n) = + h-2 x(n + 2) + hx(n +1) + h0 x(n) + h x(n -1) + h2 x(n - 2)

30、 +Introduction to SignaProcessing13换句话说，为了计算当前的输出、(0，我们必须知道未来的输入，-%x(n+2), x(n+1)，而这些未来 的输入是无法得到的。反因果系统和双边系统与直觉相反的，是违反因果规律的。比方说，双边系统或反因果系统对于 n=0时刻的单位冲激信号6(幻的响应：0，如果h(-1)#0,这就意味着，系统已经在n=-1时刻产生一 个输出，或者说在n=0时刻施加单位冲激信号之前就已经有了输出。但是DSP中又经常遇到或要用到这样一种双边系统或反因果系统。比方说FIR smoothmg(平滑) 滤波器、过抽样和逆滤波设计中用到的FIR插值滤波器。

31、平滑滤波和插值滤波属于一种仅包含有限时间长度反因果的双边系统，或者说其反因果局部的延时时间长度有限，1彡0彡-1。这种滤波器如以下图所示。hD=h(n-D)-D0有限反因果系统调整后的因果系统这种有限时长的反因果滤波器的I/O方程可以表达为:wy(n ) = X h(m)x(n - m)(3.5.2)如果将这种系统的延时0，就成为一祌因果系统。此时其冲激响应为：hD=h(n-D)用hD代替h(n)，I/O方程可以表达为：yD (n ) = X hn (m) x(n - m)(3.5.3)这种滤波器是可以实时实现的。很容易看出，输出被往右延时时间D而变为：yD(n)=y(n-D)例设有一个五拍(

32、5430)的平滑滤波器，滤波器的系数为h(n)=1/5(-2n2hI/O卷积方程为：2 1 2 y(n) = X h(m) x(n - m) = X x(n - m)m=-25 m=-2x(n + 2) + x(n +1) + x(n) + x(n -1) + x(n - 2)0nnDm=0因为是用当前抽样值前后的几个抽样的平均值代替当前时刻的抽样，所以称之为平滑器或平均器， 从一个抽样到下一个抽样之间的波动变得平缓些。其反因果局部为2，通过延时两个时间单位可以变为第三章离敢时间系统14因果系统：y2 (n ) = lx(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)

33、+ x(n - 4)当实时处理问题得到解决后如分批处理方法第四章)，要处理的输入数据早已收集并分批 存储在存储器或磁带这类介质上，我们就可以直接引用式，这也是DSP比模拟信号处理优越的 一点。这种处理方法的一个例子是静态图像的处理，图像的像素信息早已会聚在样本当中。LTI系统除了依据其因果属性来划分以外，还可以根据其稳定性来划分。一个LTI系统，当n 时，从0趋近于零的速度足够快，系统的输岀7(0不发散，我们就说该系统是稳定的。或者说对于有界输入，|x(n)| A，系统的输出为有界，|y(n)| B。简而言之，如果有界输入产生有界输出，那么系 统是稳定的可以证明，“1系统有界输入产生有界输出的

34、充分必要条件是其冲激响应可以绝对求和X|h(n)| 0时取非零值，2)、情况，单位阶跃序列 的翻褶-1)(注释：音zhe)衣服摺叠而形成的印痕：百裙。泛指摺皱重复的局部：子。皱 使得从0只有在n-1时不为零，其余各点全部为零。所以(1)、3)为因果系统，2)、4)为反因果系统。 n吣时，1)趋近于零而收敛，是稳定系统。(2) 发散，这是因为n只能取负值，所以零n = -|n|，贝1：h(n) = -(0.5)nu(-n -1) = -(0.5) Iu(-n -1) = -2.u(-n -1)随n的增加指数增加。(3) 也是随n增加指数增加，所以也是不稳定系统。(4) 当0-时有：h(n) =

35、-2nu(-n -1) = -2-丨 u(-n -1) = -(0.5) u(-n -1)收敛，故此为稳定系统。1234也可以用3.5.4)来判断是否收敛。利用几何级数公式：Introduction to SignaProcessing15我们有：ww1 X |h(n) =X (0.5)n = 1T07 n=-wn=0丄 一 U.)x-ww(2) X|h(n) = X (0.5)n = X2m =n=-n=-1m=1(3) X |h(n) =X 2n =n=-n=0w-OTw0 5(4) X|h(n) = X 2n = X(0.5)m = - -Dh (n)=0n -D剪去尾部以后的冲激响应其

36、反因果局部是有限时间长度的，延时D后使其变成为因果系统。此时 系统的冲激响应为：hD (n) = h (n - D)选择适当的D可以时近似误差足够小。为了证明这一点，设(n)为近似系统(剪尾后的系统)h(n)对于有界输入卜(?)| A的输出。而7(0为真实系统对于相同有界输入的输出，可以证明，对任意 二者的误差：-D-1|y(n) - 丨 A X lh(m)lm由于上式的求和仅仅为的一局部，肯定是有限的，且随D的增加而趋于零。例中，第三章离敢时间系统16-D-11X |h(m)| = X (0.5)D = (0.5)D+1- = (0.5)Dm=-m=D+1丄 U.J当D足够大时，可以使其足够

37、小。这种稳定但又是反因果的系统在滤波器的设计中常常遇到。传输函数为只)的滤波器，其逆滤波 器的传输函数为：H =nv H ( z )这种逆滤波应用于许多不同的场所，如数字数据传输重的通道均衡，其传输函数可能是某个通道的传输函数或均衡滤波器的传输函数。逆滤波器相应的冲激响应应该选择使其稳定。但稳定不一定保证其因果特性，因此我们可以采取近似的渐近/延时方法：nv，D =nv (n - D)Introduction to SignaProcessing1第四章 FIR滤波与卷积实际的DSP方法可以分为两类：分批处理方法样值处理方法。在分批处理方法当中，数据是分批收集并处理的。分批处理的典型应用包括：

38、有限延时的信号FIR 卷积滤波、长延时信号分段快速卷积、DFT/FFT频谱计算、语音分析与合成、图像处理。样值处理方法中，每一次只处理一个抽样。每一个输入的样本，依据DSP算法将输入抽样信号转 换为输出信号。抽样处理算法主要应用于实时处理中，如长信号实时滤波、数字化音效、数字控制系 统、自适应信号处理。样值处理算法本质上说就是LTI系统的状态空间实现。本章中，我们将探讨FIR滤波的分批处理算法和样值处理算法。我们将讨论卷积方程)式 和)式应用于FIR滤波和有限延时算法方面的问题，同时给出卷积的不同形式等效描述，包括：Direct FormConvolution TableLTI FormMat

39、rix FormFlip-and-Slip FormOverlap-and Block Convolution Form每一种方法都有其各自的优点。比方说，LTI form是最根本的一种算法，因为它结合了系统的线 性性质和时不变性质；Direct form直接导出滤波器的分批框图实现方法以及相应的样值抽样处理算 法；卷积表适合于快速的手工计算；Flip-and-slide form可以清楚的说明滤波器输入通、断过渡和稳 态行为；Matxform给出了滤波运算方程式的紧凑形式矢量表示形式，并广泛应用于象图像处理这 类应用当中；Overlap-add form适用于输入信号时延非常长或无限的这类应

40、用当中。然后，我们将讨论FIR滤波的样值处理方法及其框图实现，这种框图提供了样值处理算法机器化 方法。我们将讨论FIR滤波器的direct form实现方法和DSP芯片硬件方面的问题，以及循环寻址的 概念，这种寻址方法使实现延时、FIR滤波、IIR滤波的硬、软件方面都时最新流行的。 4.1分批处理算法卷积许多实际的应用中，我们将模拟信号根据抽样定理抽样并且把有限个抽样1个样本收集 来表示输入信号在该一段时限内的记录。抽样记录的时间用秒表示就是：第四章FIR滤波与卷积2TL = LT(4.1.1)其中，T为抽样周期，抽样率与处样周期的关系是：3=1/1。反过来，我们可以根据抽样的时间间隔 来计算

41、抽样数。L = TLfs(412)x(n) i t0 1 2 3 L-1 n 4TLL个信号样本x(n)，n=0， 1，2，丨，L-1可以看作是一个块：x = Xo，力，尤2，.，XLJ(4.1.3)可以进一步由滤波器来处理。直接形式和LTI形式由下式给出：y(n) = h(m) x(n m) = x(m)h(n m)(4.1.4)mm卷积表达式中x(mP匕化夂)的系数是+0)=1因此上述方程可以写成：y(n) = Z h(i) x(J)(4.i.5)iJ i+j=n也就是说，将满足i+j=n的所有项(丨)与?出相乘，然后再求和。和的大小取决于式中的m， 或者说与式中i、j有关。 4.1.2

42、Direct Form设M阶的因果性FIR滤波器的冲击响应为h(n)，n=0，1，2，M。从0也可以表示成块： h = h0，h，h2， ，hM (4.1.6)向量的长度滤波器系数的个数比阶数大一，艮口：Lh = M +1(4.1.7)长度为L的输入序列x与阶数为M的滤波器系数h的卷积得到输出序列7(0。我们必须首先确定: m系数n的取值范围 因求和表达式中m的范围 对于直接形式，y(n) = h(m) x(n m)m系数m由(4.1.6)式的项数来确定；既：Introduction to SignaProcessing30 m M 那么，(：的项数必须符合(4.1.3)式:0 n - m L

43、 一 1(4.1.9)式又可以写为：(4.1.8)(4.1.9)m n L 一 1 + m结合m取值，n的取值范围为:或0 m n L +1 + m L 一1 + M0 n L 一 1 + M(4.1.10)这也就是输出序列丫化)的系数n的取值范围。因此，输出序列可以表示为:长度为:y =少0，少1，少2，-，凡1+从厶.=L + M(4.1.11)或者说，输出序列y的长度比输入序列x的长度要大贼。这是由于M阶的滤波器有M个存储器 并且将每一个输入抽样保存在存储器内部M个时间单位。设LX=L，Lh=M+1，式(4.1.12)可以写成为：L. = Lx + Lh 一 1xh(4.1.13)相对的

44、长度如以下图所示其次，我们必须确定对于某个值n，7(0是由哪些项组成的？m满足什么条件？必须满足不 等式(4.1.8)和)。由得到：改变符号两边同除-1)(L 1) m n 0上式加上得到：n L +1 m n结合(4.1.8)式，0 m M得到：max(0, n L +1) m min(n，M)(4.1.14)(4.1.15)因此，对于M阶的FIR滤波器和长度为L的输入，卷积的直接形式由下式给出:第四章FIR滤波与卷积4min( n,m)y(n) = h(m)x(n - m)(4.1. 16)m=max(0,n-L+1)n可以是n=0，1，2，L+M-1。大多数情况下，我们将卷积表达式简写为

45、：y = h * x例如，3阶滤波器，输入的长度为5时，滤波器、输入、输出块分别为：h = h0, h1, h2, h3x = X0, xu, X2, X3, x4 y = h *x =凡，yu少2，少3，少4，少5，八，少7输出块的长度为Ly=L+M=5+3=8，系数范围为 0n7卷积方程的各项为：min(n，3)yn = Z hmXn-mn=0，1，2，7m=max(0，n-4)对应于n=0，1，2，7，和式中各项的下标：max(0，0-4)mmminGm=OJJJmax5_4KmminA3hm423max6_4Kmmin3hms23max(0，7_4)mz上:12上:_1上:_:2,v,

46、l,zu42H:4:_2-1-y_-1-2,，-2:2,-1,Jr111V1,V,，2jZ1y=1,3,3,5,3,7,4,3,3,0,1输出项数为Ly=L+M=8+3=11 4.1.4 LTI form更直观理解卷积的LTI form是依据滤波器的线性性质与时不变性质。设冲击相应h和输入抽样x分别为：h=h0,h1,h2,h3x=x0,x1,x2,x3,x4x可以表示为：x=x01,0,0,0,0+x10,1,0,0,0+x20,0,1,0,0+x30,0,0,1,0+x40,0,0,0,1乂0)也可以表示为delta函数的叠加：x(n) = x05(n) + xx5(n 1) + x2S(

47、n 2) + x35(n 3) + x4S(n 4)滤波的效果就是用延时冲击响应代替相应的delta函数，既：y(n) = x0h(n) + xxh(n 1) + x2 h(n 2) + x3h(n 3) + x4h(n 4)第四章FIR滤波与卷积6我们可以把输入、输出信号写成分批形式： x = x01,0,0,0,0+ x,0,1,0,0,0+ x20,0,1,0,0 + x30,0,0,1,0+ x40,0,0,0,1 y的线性组合就是(4.1.18)式：y=xoh。，xohi+xih。，=y0， yi，y2，. 也可以将LTI form表示成以下图所示：y = x0h0,h1,h2,h3

48、,0,0,0,0+ xj0, h0,h1,h2,h3,0,0,0+ x20,0, h0,h1,h2,h3,0,0+ x30,0,0, h0,h1,h2,h3,0+ x40, 0, 0, 0, h0,h1,h2,h3xh2+x1h1+x2h，y7.,x4h3_h0_h1h2h30000x0x0h0x0h1x0h2x0h30000x10x1 h0x1 h1x1 h2x1 h3000x200x2 h0x2 h1x2 h2x2 h300x3000x3 h0x3 h1x3 h2x3 h30x40000x4 h0x4 h1x4 h2x4 h3y0y1y2y3y4y5y6y7LTI form of convolution表中的行对应h的连续延时右移)，第m行右移m个时间单位，于对应该行的输入相乘表示 巾匕夂。完成表的填写后，每一列的内容相加得到相应的输出。以例举例来说，y(n) = x(m)h(n m)1 2-1 1112-11112-11224-22112-11224-22224-22112-11112-1 11335374330 1确定了求和项的极限之后，LTI form也可以写成类似于(4.1.16)式所示的形式。实际上就是将 direct form中的h和x位置互换(行和列位置互换)，将冲击响应的阶数M和输入抽样的长度L-1互换， 我们得到：mm