线性系统的时域分析法自动控制原理课件

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1、线性系统的时域分析法自动控制原理课件第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标一一典型输入信号典型输入信号 工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种: (1) 阶跃信号阶跃信号(阶跃函数阶跃函数) 其数学表达式和图形为其数学表达式和图形为:上式中上式中R为常数为常数, 当当t=0时时, r(0)不定不定, 且且000)(tRttr)(trRt00)0(,)0(rRr当当R=1时时, 称为单位阶跃信号称为单位阶跃信号, 记为记为1(t). (2) 等速度信号等速

2、度信号(斜坡函数斜坡函数) 其数学表达式和图形为其数学表达式和图形为:000)(tRtttr)(trt0上式中上式中R为常数为常数, 当当R=1时时, 称为单位等速度信号称为单位等速度信号.线性系统的时域分析法自动控制原理课件(3) 等加速度信号等加速度信号(抛物线函数抛物线函数) 其数学表达式和图形为其数学表达式和图形为:上式中上式中R为常数为常数, 当当R=1时时, 称为单位等加速度信号称为单位等加速度信号.(4) 脉冲信号脉冲信号(脉冲函数脉冲函数) 先看下面图型先看下面图型:02100)(2tRtttr)(trt0R)(tr0t具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号具有左图形状的信号被称

3、为矩型脉动信号,其数学表达式为其数学表达式为:ttRttr0000)(由图可见由图可见, 脉动信号脉动信号的面积为的面积为R. 当脉动当脉动信号的宽度信号的宽度0时时, 其高度为其高度为, 但但面积乃为面积乃为R. 把宽度把宽度0时的矩型脉动信号定义为脉时的矩型脉动信号定义为脉冲信号冲信号, 而其面积而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度称为脉冲信号的脉冲强度.线性系统的时域分析法自动控制原理课件当当R=1时时, 叫做单位叫做单位脉冲信号脉冲信号, 用用表示表示, 其数学表达式为其数学表达式为)(t000)(ttt而其面积为而其面积为:1)(dtt单位单位脉冲信号脉冲信号)(t用下图表示用下图表示:

4、)(tt10强度不为强度不为1而为而为R的的脉冲信号用脉冲信号用)(tR表示表示.(5) 正弦信号正弦信号(正弦函数正弦函数) 其数学表达式为其数学表达式为:0)sin(00)(ttRttr线性系统的时域分析法自动控制原理课件(6) 信号的延迟信号的延迟假如有两个信号如下左图所示假如有两个信号如下左图所示, )(tr)(1tr)(2trt0曲线曲线)(2tr和曲线和曲线)(1tr的形状完全一样的形状完全一样, 只不过前者比后者延迟了只不过前者比后者延迟了时间才发生时间才发生,)(2tr曲线曲线可用如下数学式表达可用如下数学式表达:ttrtttrtr)(0)(1)()(112上式中上式中)(1t

5、是单位阶跃信号是单位阶跃信号)(1 t延迟延迟时间才发生时间才发生, 图图形见上面右图形见上面右图.)(trt01)( 1t线性系统的时域分析法自动控制原理课件二二动态性能指标动态性能指标 系统的动态性能指标系统的动态性能指标, 是在系统的输入为单位阶跃是在系统的输入为单位阶跃信号时信号时, 对系统的输出进行定义的对系统的输出进行定义的. 系统在单位阶跃信系统在单位阶跃信号作用下的输出随时间的变化号作用下的输出随时间的变化, 叫系统的单位阶跃响应叫系统的单位阶跃响应,常用常用h(t)表示表示. 稳定的系统稳定的系统, 其其h(t)的变化曲线见下图的变化曲线见下图:)(th)(h0t其其动态性能

6、指标有如下几项动态性能指标有如下几项:线性系统的时域分析法自动控制原理课件(1) 延迟时间延迟时间: 响应曲线第一次达到其稳态值一半所响应曲线第一次达到其稳态值一半所dt需的需的时间时间. 如下图所示如下图所示.)(th)(h0t)(5.0hdt(2) 上升时间上升时间rt: 响应曲线无振荡时定义为响应从其稳响应曲线无振荡时定义为响应从其稳态值的态值的10%上升到上升到其稳态值的其稳态值的90%所所需的需的时间时间. 如上图所示如上图所示.)(1.0h)(9.0hrt响应曲线有振荡时定义为响应从响应曲线有振荡时定义为响应从0第一第一次次上升到上升到其稳态值所需的其稳态值所需的时间时间. 如上如

7、上图所示图所示.rt线性系统的时域分析法自动控制原理课件(3) 峰值时间峰值时间: 响应超过其稳态值到达第一个峰值所响应超过其稳态值到达第一个峰值所 需的需的时间时间. 如下图所示如下图所示.pt)(th)(h0tpt)(maxth(4) 调节时间调节时间(过渡过程时间过渡过程时间)st: 响应到达并保持在稳态响应到达并保持在稳态 值的值的5%或或2%误差范误差范 围内所需的最短围内所需的最短时间时间. 如上图所示如上图所示.st)(%2)(%5horh线性系统的时域分析法自动控制原理课件(5) 最大超调量最大超调量: 响应的最大值响应的最大值p)(pth与稳态值与稳态值)(h之差之差, 即即

8、)()(hthpp如下图所示如下图所示.)(th)(h0tpt)(pthp(6) 最大百分比超调量最大百分比超调量%: 定义为定义为%100)()()(%hhthp线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-2 一阶系统的动态性能分析一阶系统的动态性能分析 典型一阶系统的结构图如下所示典型一阶系统的结构图如下所示:)(sR)(sCTs/ 1其闭环传递函数为其闭环传递函数为:) 1/(1)(Tss, 当当ssR/1)(时时) 1(/1)()()(TsssRssC, 则则TteTssLth1) 1(/1)(1h(t)曲线见上右图曲线见上右图,)(th10t经分析可得下面结论经分析可得下面结论:), 0

9、()()()ththa, 故叫非周期响应故叫非周期响应, 无无超调超调.TTtebdTtd69. 05 . 0ln5 . 01)TTteTTtecsTtsTtss402. 0ln98. 01305. 0ln95. 01)线性系统的时域分析法自动控制原理课件TTtttTteTtedrTtTt2 . 2)9 . 0ln1 . 0(ln1 . 0ln9 . 019 . 0ln1 . 01)122121线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 典型二阶系统的结构图如下所示典型二阶系统的结构图如下所示,)(sR)(sC)2(2nnss其闭环传递函数为其闭环传递函数

10、为:2222)(nnnsss具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二阶系统阶系统, 其时间响应取决于其时间响应取决于和和n两个参量两个参量, 极点为极点为:122,1nns线性系统的时域分析法自动控制原理课件叫无阻尼自然振荡角频率叫无阻尼自然振荡角频率, 单位为弧度单位为弧度/秒秒.叫阻尼叫阻尼n系数系数,当当0叫无阻尼叫无阻尼,1叫临界阻尼叫临界阻尼,10叫欠阻尼叫欠阻尼, 下面主要讨论欠阻尼时的动态下面主要讨论欠阻尼时的动态性能性能,欠阻尼时系统的两个极点为欠阻尼时系统的两个极点为:dnnjjs22,11上式中上式中,n叫衰减系数叫衰减系

11、数,21nd叫阻尼叫阻尼振荡角频率振荡角频率,两个极点在两个极点在s平面上的分布如下图所示平面上的分布如下图所示,jn21nd0n21nd图中图中,1sin,cos2以顺时针方向为计量角度的正以顺时针方向为计量角度的正方向方向, 当输入为单位阶跃信号当输入为单位阶跃信号时时, 输出的拉氏变换表达式为输出的拉氏变换表达式为:ssssCnnn12)(2221叫过阻叫过阻尼尼,线性系统的时域分析法自动控制原理课件对前式进行部分分式得对前式进行部分分式得:对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为:2222222222)(11)(1)()(1)(dnndnndnndnns

12、ssssssssC0)1sin(111)sincos1(111)sin1(cos1)(22222ttettettethntddtddtnnn线性系统的时域分析法自动控制原理课件由上一屏由上一屏的表达式可见的表达式可见, 无零点的典型二阶系统在无零点的典型二阶系统在)(th欠阻尼情况下欠阻尼情况下, 其输出是衰减振荡的其输出是衰减振荡的, 其曲线随其曲线随值的值的不同而有一簇不同而有一簇, 见教材见教材P.87图图3-10. )1sin(111)(22tethntn根据动态性能指标的定义根据动态性能指标的定义, 推导各项动态性能指标的计推导各项动态性能指标的计算公式算公式.(1) 延迟时间延迟时

13、间dt: 由定义由定义, 令令 5 .0)(dth1)(h, 下面由下面由, 代入上式代入上式2121)cos1sin(2ln1dndntt利用计算方法中的曲线拟合法利用计算方法中的曲线拟合法, 可得可得:)10(7.012.06.012ndndtort线性系统的时域分析法自动控制原理课件其关系曲线见教材其关系曲线见教材P.88图图3-12.(2) 上升时间上升时间rt: 因输出有振荡因输出有振荡, 由定义由定义, 令令1)(rth得得:0)1sin(1122rnttern因在因在rt时刻时刻0rnte所以由所以由0)1sin(2rnt得得:dnrrntt221,2,01(3) 峰值时间峰值时

14、间Pt: 由定义由定义, 令令0)(Pttdttdh线性系统的时域分析法自动控制原理课件得得:所以所以0)cos(1)sin(1)(22PdPdtnPttethPn2221,2 , 0,1)(0)cos(1)sin(ndPPdPdPdPdtttgttgtt线性系统的时域分析法自动控制原理课件(4) 最大最大超调量超调量:由定义由定义, P)()(hthpp222221121212221)()(1)(1sin11)sin(11)11sin(11)(ehthheeeethpPnnpnn线性系统的时域分析法自动控制原理课件(5) 最大百分比最大百分比超调超调量量:由定义由定义, %100%1001%

15、100)()()(%21/ehhthPP(6) 调节时间调节时间(过渡过程时间过渡过程时间)st:由定义由定义, 因为误差信号因为误差信号)sin(1)()()(2tethtrtedtn是幅值衰减的正弦曲线是幅值衰减的正弦曲线, 如如右图所示右图所示.)(te10t线性系统的时域分析法自动控制原理课件而而幅值表达幅值表达式式是幅值衰减的正弦曲线的按是幅值衰减的正弦曲线的按21tne指数规律衰减的包络线指数规律衰减的包络线,如下图红色虚线所示如下图红色虚线所示. )(te10t21/121/121/tne21/tne由图可见由图可见, 只要误差只要误差曲线的包络线曲线的包络线05.012tne即

16、到达即到达调节时间调节时间, 则则对上式求解得对上式求解得:2105.0ln1nst线性系统的时域分析法自动控制原理课件当当时时9 . 00nst/5 . 3. 当误差带当误差带02. 0时时, 同理可得同理可得)9.00(5.4,102.0ln12nsnstt三三二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善)(sR)(sC)2(2nnss下图闭环是一典型的二阶系统下图闭环是一典型的二阶系统, 而其开环为一型而其开环为一型, 故故其速度误差系数其速度误差系数2/nvK 若欲使若欲使sse则则vK而使而使vK有二条途经有二条途经: 一是使一是使n上升上升, 从而导致从而导致spdrtttt,均下降均下降

17、, 但使有阻尼振荡频率但使有阻尼振荡频率d上升上升, 但不能使但不能使%下降下降. 二是使二是使下降下降, 则则vK 虽上虽上升升, 但导致但导致%,dspdrtttt均上升均上升, 使动态性能变坏使动态性能变坏. 可可见见, 单靠调整系统本身的固有参数单靠调整系统本身的固有参数, 已无法同时满足系统对已无法同时满足系统对稳态和动态性能的要求稳态和动态性能的要求, 必须另加装置必须另加装置, 采用其它控制方法采用其它控制方法来改善系统的动态性能和稳态性能来改善系统的动态性能和稳态性能.线性系统的时域分析法自动控制原理课件(1) 比例比例微分控制微分控制比例比例微分控制的结构图如下所示微分控制的

18、结构图如下所示:)(sR)(sC)2(2nnss)(sEsTd由上图可得由上图可得, 其开环传递函数其开环传递函数2,)2()1 ()(2nvndnOKsssTsG而其闭环传递函数而其闭环传递函数222222)2(2)1 ()2()1 ()(nndndnnndndnsTssTsTssTs令令2222)1 ()(nnddnsssTs2dndT, 则则为一带有零为一带有零点的二阶系统点的二阶系统, 其动态性能指标的求取公式请见教材其动态性能指标的求取公式请见教材P.97P.98, 下面仅定性讨论比例下面仅定性讨论比例微分控制对系统性能微分控制对系统性能的影响的影响.线性系统的时域分析法自动控制原理

19、课件若欲使系统的稳态误差值若欲使系统的稳态误差值下降下降, 可使可使sse下降下降, 则则vK上升上升, 满足系统对稳态误差值的要求满足系统对稳态误差值的要求. 因因2dndT下降而导致下降而导致d的下降可通过调整参数的下降可通过调整参数dT给以弥补给以弥补,从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求. (2)测速反馈控制测速反馈控制 测速反馈控制的结构图如下所示测速反馈控制的结构图如下所示:)(sR)(sC)2(2nnss)(sEsKt由上图可得由上图可得, 其开环传递函数其开环传递函数ntnvntnnOKKKsssG2,)2()(22线性系统的

20、时域分析法自动控制原理课件而其闭环传递函而其闭环传递函数数令令222)2(2)(nnntnsKss2nttK, 则则2222)(nntnsss为一不带零点为一不带零点的典型二阶系统的典型二阶系统, 其动态性能指标的求取公式前已介绍其动态性能指标的求取公式前已介绍测速反馈使系统的速度误差系数降低测速反馈使系统的速度误差系数降低, 从而导致稳态误从而导致稳态误差上升差上升, 但这一缺点可通过减小原系统的阻尼系数但这一缺点可通过减小原系统的阻尼系数给以弥补给以弥补, 使测速反馈后系统的使测速反馈后系统的t满足动态性能的要求满足动态性能的要求.线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-4 高阶系统的时域

21、分析高阶系统的时域分析 1. 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应高阶系统闭环传递函数的一般形式为高阶系统闭环传递函数的一般形式为nmasasasabsbsbsbsnnnnmmmm11101110)(线性系统的时域分析法自动控制原理课件把上式的分子及分母因式分解得把上式的分子及分母因式分解得:上式中上式中qjrkkkkjmiisssszsKsDsMsRsCs11221)2()()()()()()()(knrqabKk, 10,2,/00在单位阶跃信号作用下在单位阶跃信号作用下, 输出的拉氏变换式为输出的拉氏变换式为rkkkkkkqjjjqjrkkkkjmiissCsBssAsAssss

22、szsKsC122101122121)2()()()(上式中待定系数上式中待定系数qjsCssAabssCAjssjnmsj,2, 1)()(lim/)(lim00线性系统的时域分析法自动控制原理课件而而和和kBkC是与是与)(sC在闭环复数极点在闭环复数极点21kkkkjs处的留数有关的常系数处的留数有关的常系数. 将将)(sC进行拉氏反变换进行拉氏反变换, 则则rkkkkkkkkkkkktqjtsjtBCtBeeAAthkkj122210)1sin(1)1cos()(2. 高阶系统的闭环主导极点高阶系统的闭环主导极点由由)(th的推导过程可见的推导过程可见, 其第二和第三项由闭环极点所产生

23、其第二和第三项由闭环极点所产生,叫叫)(th的动态分量的动态分量, 其各系数的大小与闭环零点和极点有关其各系数的大小与闭环零点和极点有关而动态分量中各项的类型仅与闭环极点有关而动态分量中各项的类型仅与闭环极点有关. 当闭环稳定时当闭环稳定时所有的闭环极点都在所有的闭环极点都在s的左半平面上的左半平面上, 动态分量随时间的增长动态分量随时间的增长而衰减而衰减. 闭环极点离虚轴越近闭环极点离虚轴越近, 即其实部的绝对值越小即其实部的绝对值越小, 则它则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越慢所对应的动态分量中这一项就衰减得越慢, 对动态性能的影对动态性能的影响就越大响就越大, 闭环极点离虚轴越远闭环

24、极点离虚轴越远, 即其实部的绝对值越大即其实部的绝对值越大, 则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越快则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越快, 对动态性能对动态性能的影响就越小的影响就越小.线性系统的时域分析法自动控制原理课件由上面分析由上面分析, 可得如下闭环主导极点的概念可得如下闭环主导极点的概念: 在所有在所有的闭的闭环极点中环极点中, 距虚轴最近的极点且其周围没有闭环零点距虚轴最近的极点且其周围没有闭环零点, 而而其它闭环极点又远离虚轴其它闭环极点又远离虚轴, 这样的闭环极点就叫作闭环主这样的闭环极点就叫作闭环主导极点导极点. 闭环主导极点可以是实数极点闭环主导极点可以是实数极点,

25、也可以是复数极点也可以是复数极点,一般总希望闭环主导极点为一对共轭复数极点一般总希望闭环主导极点为一对共轭复数极点, 从而可将从而可将高阶系统近似成二阶系统高阶系统近似成二阶系统, 用二阶系统的动态性能指标用二阶系统的动态性能指标的计算公式来估算高阶系统的动态性能的计算公式来估算高阶系统的动态性能. 也可在闭环主也可在闭环主导极点的概念下导极点的概念下, 考虑到高阶系统其它闭环非主导极点考虑到高阶系统其它闭环非主导极点及闭环零点对动态性能的影响及闭环零点对动态性能的影响, 而导出高阶系统单位阶而导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式跃响应的近似表达式, 进而推导出计算高阶系统动态性进而推导出计算

26、高阶系统动态性能指标的近似计算公式能指标的近似计算公式. 设高阶系统的闭环传递系数为设高阶系统的闭环传递系数为1, 且其一对共轭复数主导极点为且其一对共轭复数主导极点为:10,2, 1djs线性系统的时域分析法自动控制原理课件则则对上式进行拉氏反变换对上式进行拉氏反变换, 得高阶系统单位阶跃响应的得高阶系统单位阶跃响应的近近似表达式为似表达式为:2111)()(11)()(11)()()(21ssssDsMssssDsMsssDsMsCssss)()(cos()()(21)(111111sDssMtesDssMthdt当高阶系统闭环非主导极点实部的模比主导复数极点实部当高阶系统闭环非主导极点实

27、部的模比主导复数极点实部的模大三倍以上时的模大三倍以上时, 可由上式并根据动态性能指标的定义可由上式并根据动态性能指标的定义导出近似计算公式导出近似计算公式. (1) 峰值时间峰值时间 由上式对时间求导由上式对时间求导, 并令其导函数为零得并令其导函数为零得:)()(cos()()(sin(111111sDssMtsDssMtPdPdd线性系统的时域分析法自动控制原理课件因而有因而有:上式中上式中)()()(111dPdarctgsDssMt)()()()()()()(132111121111111iniiminiimiissssszsssszssDssMdniimiiPniimiiPddds

28、szstsszstsssarctgarctg/)()()2/()(2/)()(2/)(,)2/()/(),/(31113111211线性系统的时域分析法自动控制原理课件(2) 最大百分比超调量最大百分比超调量根据最大百分比超调量的定义根据最大百分比超调量的定义, 且且1)(h, 则则)1 (%100)()(cos()()(2%100)()(%111111sDssMtesDssMhthPdtPP上式中上式中)2()2cos()()(cos(2)()()(1111111ssDssMtarctgsDssMtdPddPd由由niimiisszsKsDsMs11)()()()()(及及1)0()0(DM

29、线性系统的时域分析法自动控制原理课件得得则则miiniizsK11)()(niimiimiiniisszzsssDsM1111)()()()()()()3()()()()()()()()(2111111111211niimiimiiniiniisszszsssDssMsssD将式将式(2),(3)代入式代入式(1)得得%100)()()()(2%12111111Ptdniimiimiiniiessszszss线性系统的时域分析法自动控制原理课件因为因为互为共轭复数极点互为共轭复数极点, 所以所以21, ssdssss2,2121最后可得最后可得miimiiniiniittniimiimiini

30、itniimiimiiniizzsQsssPPQeesszzssesszzssssssPPP1113133111132111112121,%100%100%100%P叫闭环非主导极点影响修正系数叫闭环非主导极点影响修正系数, Q叫闭环零点影响修正叫闭环零点影响修正系数系数.线性系统的时域分析法自动控制原理课件(3) 调节时间的计算调节时间的计算根据调节时间的定义根据调节时间的定义, 有有02.005.0, 1)(,),()()(orhtthhths由由)()(cos()()(21)(111111sDssMtesDssMthdt得得)()(cos()()(2)()(111111sDssMtesD

31、ssMhthdt上式中上式中tesDssM)()(2111是余弦函数的幅值是余弦函数的幅值, 且随时间的增长且随时间的增长而衰减而衰减, 故由上式可得故由上式可得stttesDssM,)()(2111线性系统的时域分析法自动控制原理课件由前面的推导可知由前面的推导可知:则则niimiimiiniisszszsssDssM2111111111)()()()()()(stniimiimiiniiesszszss2111111)()()()(2对左式两边取对数对左式两边取对数解得解得)2ln(1)2ln(1)2ln(11112122111111FQzzsssszssszsstnmiimiiniini

32、innimiiimiiniis线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 一一 线性系统稳定的定义及充分必要条件线性系统稳定的定义及充分必要条件定义定义: 若线性控制系统在初始扰动若线性控制系统在初始扰动)(t的作用下的作用下, 其输出其输出)(tk随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系则该系统为渐近稳定统为渐近稳定, 简称稳定简称稳定; 反之反之, 称该系统不稳定称该系统不稳定.上述定义可用数学语言表示为上述定义可用数学语言表示为:), 2 , 1 , 0(0)(lim)(ntkntqjriiiiiiiiijqjr

33、iiiijjsjssssMsssssMsDsMs11221122)1)(1()()()2()()()()()(线性系统的时域分析法自动控制原理课件上式中上式中, ,为特征方程为特征方程js0)(sD的实数根的实数根,21iiiij为特征方程为特征方程0)(sD的共轭复数根的共轭复数根,nnrq,2为特征多项为特征多项式式)(sD中中S的最高次方的最高次方, 即系统的阶数即系统的阶数. 将系统的传递函数将系统的传递函数 )(s进行部分分式进行部分分式, 得得:ririiiiiiiiiiiqjjjjsjsssAs1122111)(上式中上式中221212)1()()()1()()()()()(ii

34、iiiiiijjsiiiiijsiiiiissjjjssDsMjssDsMsssDsMA线性系统的时域分析法自动控制原理课件因为因为为复数为复数,所以所以si与与i也是复数也是复数,又又因为因为s为共轭复数为共轭复数,所以所以i与与i也是共轭复数也是共轭复数, 把上式中后两项合并把上式中后两项合并, 得得:riiiiiiiiiiiiiiqjjjssjsssAs1222121)()()()(令令21)()(,iiiiiiiiiiiijCB均为实数均为实数,则则riiiiiiiiiiiiiiiiiiiiqjjjriiiiiiiiiiiiqjjjriiiiiiqjjjsBCssBssAsBCsBss

35、AssCsBssAs1222222221122211221)1 ()(11)1 ()()()1 ()()(2)(线性系统的时域分析法自动控制原理课件因为系统的单位脉冲响应函数因为系统的单位脉冲响应函数,故对上式进故对上式进)()(1sLtk行拉氏反变换得行拉氏反变换得:riiiiiiiiiiiitqjtsitBCtBeeAtkiij12221)1sin11cos()( 系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根都系统特征方程的所有根都具有负实部具有负实部, 或者说或者说, 系统传递函数的极点均在根平面的左系统传递函数的极点均在根平面的左半半 S 复数开平面上复数开

36、平面上(不包括虚轴不包括虚轴). 需指出的是需指出的是, 系统的稳定与否系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和仅与系统本身的结构和参数有关参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关而与输入信号的形式和大小无关. 二二 线性系统稳定性的初步签定线性系统稳定性的初步签定线性系统的时域分析法自动控制原理课件线性系统特征方程的一般形式可表为线性系统特征方程的一般形式可表为:由上两式可见由上两式可见, 只有当只有当0)()()()(12101110nninnnnssssssssssaasasasasDniisi,2, 1,0即所有极点即所有极点iisp均在极点平面的左半平面上均在极点平面的左半平面上, 将

37、上面将上面第二个等式展开后第二个等式展开后, 第一个等式第一个等式S各次方前的系数必都为各次方前的系数必都为大于零的正数大于零的正数. 由此可得系统稳定的必要条件为由此可得系统稳定的必要条件为: 系统特系统特征多项式征多项式)(sD的所有系数的所有系数niaaa,0均大于零均大于零. 必要条件只起否定作用必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件也即只要不满足必要条件, 系系统必不稳定统必不稳定, 必要条件不起保证作用必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件也即满足必要条件,系统不一定稳定系统不一定稳定. 三三 赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据 n阶系统的特征方程为阶系统的特征方程为:0)

38、(1110nnnnasasasasD线性系统的时域分析法自动控制原理课件构造构造的系数主行列式的系数主行列式:)(sDnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0000000000000642075318642097531赫尔维茨稳定判据的内容为赫尔维茨稳定判据的内容为:n阶特征方程的根全部具有负阶特征方程的根全部具有负实部的充要条件是实部的充要条件是, 特征方程特征方程的各项系数为正的各项系数为正, 且且)(sD的系的系数行列式的各阶主子式均大于数行列式的各阶主子式均大于零零, 即即niii,2, 1,0而而,11a,20312aaaa,0314205313aaaaaaaa,00420531

39、642075314aaaaaaaaaaaaaa教材教材P.112给出了给出了n=4时时, 赫尔维茨稳定判据的简单表示形赫尔维茨稳定判据的简单表示形式式.线性系统的时域分析法自动控制原理课件例例:设闭环系统的特征方程为设闭环系统的特征方程为: 试确定使系统稳定的试确定使系统稳定的K的取值范围的取值范围.解解:构造特征方程的系数行列式构造特征方程的系数行列式.022)(234sKssssD210012002100124KK5 . 0, 012112, 0221KKK09212011222120210123KKK5 . 402, 5 . 434KK时系统稳定时系统稳定. 四四 劳思稳定判据劳思稳定判

40、据n阶系统的特征方程为阶系统的特征方程为:0)(1110nnnnasasasasD式中式中00a, 构造如下劳思行列表构造如下劳思行列表:线性系统的时域分析法自动控制原理课件表中表中, 最左边一列和最上最左边一列和最上面两行构成劳思行列表的面两行构成劳思行列表的表头表头, 表中其它各行各列表中其它各行各列的元素值按如下公式计算的元素值按如下公式计算:1,41,31,21,10453525154443424143433323132753116420nnnnnnnnnccccsccccsccccsccccsaaaasaaaas130211312013aaaaaaaaaac150411514023a

41、aaaaaaaaac,170611716033aaaaaaaaaac132313131323133114ccaaccccaac线性系统的时域分析法自动控制原理课件以下各行各列的元素值可依上以下各行各列的元素值可依上几式的规律依次算得几式的规律依次算得.则线性系统稳定的充要条件是则线性系统稳定的充要条件是1,41,31,21,10453525154443424143433323132753116420nnnnnnnnnccccsccccsccccsccccsaaaasaaaas133315131333135124ccaaccccaac,134317131343137134ccaaccccaac劳

42、思表中第一列各值均大于零劳思表中第一列各值均大于零. 如劳思表第一列中出现小于零如劳思表第一列中出现小于零的数值的数值, 系统就不稳定系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数且第一列各数值符号的改变次数, 就就是系统特征方程的正实部根的数目是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右半即系统在极点平面的右半平面上的极点个数平面上的极点个数. 线性系统的时域分析法自动控制原理课件例例1: 设系统的特征方程为设系统的特征方程为 用劳思稳定判据判别系统是否稳定用劳思稳定判据判别系统是否稳定?05001004)(23ssssD解解:012350041001ssss2505000因为第一列

43、有因为第一列有-25, 且正且正负号改变负号改变两次两次, 所以系统不稳定所以系统不稳定, 且有两个且有两个根在根在s的右半平面上的右半平面上.例例2: 设系统的特征方程为设系统的特征方程为05432)(2345ssssssD用劳思稳定判据判别系统是否稳定用劳思稳定判据判别系统是否稳定?解解:012345532411ssssss5 . 05 . 1959/165因为第一列有因为第一列有-0.5, 且正且正负号改变负号改变两次两次, 所以系统不稳定所以系统不稳定, 且有两个且有两个根在根在s的右半平面上的右半平面上.线性系统的时域分析法自动控制原理课件 两种特殊情况的处理两种特殊情况的处理. 第

44、一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现某一行第一列的元素值为零出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的而这一行其它各列的元素值不全为零元素值不全为零.例例3: 设系统的特征方程为设系统的特征方程为0122)(234sssssD01234022111sssss解解:01用一大于零的无穷小量用一大于零的无穷小量代替第三行第一列的零参代替第三行第一列的零参与以下各行各列元素值的与以下各行各列元素值的计算计算./22 1因为因为是大于零的无穷小量是大于零的无穷小量, 所以所以0)/22(系统不稳定系统不稳定, 且有两个根在且有两个根在s的右

45、半平面上的右半平面上. 教材教材P.115介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法.线性系统的时域分析法自动控制原理课件第二种第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现出现某一行的元素值全为零某一行的元素值全为零.例例4: 设系统的特征方程为设系统的特征方程为01616201282)(23456sssssssD0123456016122162081sssssss21216再往下计算再往下计算3s这一行就全为这一行就全为零零, 则由则由4s这一行各元素这一行各元素为系数构造一辅助方程为系数构造一辅助方程:16122)(2

46、4sssF然后然后F(s)对对s求一次导得求一次导得ssdssdF248)(3用用8,24替换替换3s这一行的零元素这一行的零元素, 再往下计算再往下计算.8246163/816第一列的元素都大第一列的元素都大于零于零, 没有正实部的特征根没有正实部的特征根, 但由于有全零行但由于有全零行, 必有纯虚必有纯虚根根, 而纯虚根的值可令辅助方程而纯虚根的值可令辅助方程F(s)=0求得求得.线性系统的时域分析法自动控制原理课件令令得得016122)(24sssF0)4)(2(862224ssss则则2, 2jsjs五五 劳思稳定判据的应用劳思稳定判据的应用例例5: 设系统的特征方程为设系统的特征方程

47、为035. 0025. 0)(23KssssD试确定使系统稳定的试确定使系统稳定的K的取值范围的取值范围.解解:012335.01025.0ssKss35. 0/025. 01KK欲使系统稳定欲使系统稳定, 第一列的元素应全大于零第一列的元素应全大于零, 则则140035. 0/025. 01, 0KKK线性系统的时域分析法自动控制原理课件例例6: 设系统的特征方程为设系统的特征方程为 试在以试在以K为横坐标为横坐标,T为纵坐标的为纵坐标的K-T平面上确定使系平面上确定使系 统稳定的区域统稳定的区域.0) 1()2(2)(23KsKsTTssD解解:0123212ssKTsKTs222TKTT

48、KK) 1( 2)1 (022, 002, 0KKTKTTKKTTT下面分二种情况讨论下面分二种情况讨论: 当当10K时时KKTK1) 1( 201当当1K时时1) 1( 201KKTK线性系统的时域分析法自动控制原理课件在在K-T平面上作出平面上作出曲线如下图所示曲线如下图所示,KKT1) 1( 2TK0221KKT1) 1( 2再作出再作出1) 1( 2KKT曲线曲线1) 1( 2KKT由右图可见由右图可见, 在在K-T平面平面上使系统稳定的区域为上使系统稳定的区域为两个影阴区两个影阴区.线性系统的时域分析法自动控制原理课件3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算一一基本概念基

49、本概念 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差, 是系统控制准确度是系统控制准确度(即精度即精度)的的一种度量一种度量, 通常叫作稳态性能通常叫作稳态性能.在具体介绍稳态误差的计算方法前在具体介绍稳态误差的计算方法前, 先明确以下几个基先明确以下几个基本本概念概念:线性系统的时域分析法自动控制原理课件1) 只有当系统本身是稳定的前提下只有当系统本身是稳定的前提下, 讨论系统的稳态误讨论系统的稳态误 差才有意义差才有意义.2) 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外 还与系统输入信号的形式和大小有关还与系统输入信号的形式和大小有关.3) 系统的

50、稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般 来说是有矛盾的来说是有矛盾的. 误差的定义误差的定义: 系统的输入信号与主反馈信号之差系统的输入信号与主反馈信号之差. 见右图见右图:)(sR)(sE)(sC)(sB)(sG)(sH)()()()()()(sCsHsRsBsRsE误差传递函数为误差传递函数为:)()(11)()()(sHsGsRsEser线性系统的时域分析法自动控制原理课件则则误差信号的拉氏变换表达式误差信号的拉氏变换表达式假设假设)()()()()()()(sPsQsNsMsRssEeriniippssN)()(1是是)(ser的极点的极

51、点, 也即闭环也即闭环极点极点.klkkrrssP)()(1是是)(sR的极点的极点.则则:lktrknitpilkkkniiikieBeAsELtersBpsAsE11111)()()(式中的第一项由式中的第一项由)(ser的极点所的极点所引起引起, 叫做叫做e(t)的瞬态分量的瞬态分量, 第第二项由二项由)(sR的极点所引起的极点所引起, 叫做叫做e(t)的稳态分量的稳态分量. 如果如果系统是稳定的系统是稳定的, 则所有的则所有的ip均在均在s的左半平面上的左半平面上, 即即0ip线性系统的时域分析法自动控制原理课件则当则当时时, e(t)的瞬态分量趋于零的瞬态分量趋于零, 只剩下稳态分量

52、只剩下稳态分量.t定义定义: 当当t时时, e(t)剩下的稳态分量剩下的稳态分量, 叫系统的稳态误差叫系统的稳态误差.表示为表示为:trkttsskeBtetelim)(lim)(当当t时时,)(tess可能是一个确定的数可能是一个确定的数, 也可能是一个不确也可能是一个不确定的数定的数, 即仍然是即仍然是 t 的函数的函数. 当当,t)(tess为一个确定为一个确定的数时的数时, 用用sse表示表示,sse叫稳态误差值叫稳态误差值. 当当,t)(tess仍然仍然是是 t 的函数的函数, 则则)(tess叫稳态误差函数叫稳态误差函数. 显然显然,稳态误差函稳态误差函数表现了稳态误差随时间变化的

53、规律数表现了稳态误差随时间变化的规律.稳态误差值稳态误差值sse有两种基本的求法有两种基本的求法. 第一种是先求出第一种是先求出)(te然后令然后令,t可得可得sse, 但当但当)(sE表达式较为复杂时表达式较为复杂时, 求求)(te的解析式较困难的解析式较困难, 一般并不采用一般并不采用. 第二种是对第二种是对)(sE采用拉氏变换的终值定理采用拉氏变换的终值定理, 即即:)()(lim)(lim00sRssssEeerssss线性系统的时域分析法自动控制原理课件但终值定理有一个使用条件但终值定理有一个使用条件, 即要求即要求表达式在表达式在s右半右半)(ssE平面及虚轴上解析平面及虚轴上解析

54、, 即即)(ssE表达式的所有极点都在表达式的所有极点都在s的的左半平面上左半平面上. 否则否则, 用用终值定理得出的终值定理得出的sse与令与令)(te的的t时得到的值不一致时得到的值不一致. 但对于工程实际上来说但对于工程实际上来说, 当当)(ssE在在s平面的原点上有极点时平面的原点上有极点时, 仍可用仍可用终值定理终值定理.例例: 设单位反馈控制系统的开环传递函数为设单位反馈控制系统的开环传递函数为TssG/1)(试求当输入信号分别为试求当输入信号分别为2/)(2ttr和和ttrsin)(时控制系统的稳态误差值时控制系统的稳态误差值.解解:)(lim)(lim)(lim)()()(1)

55、1(1)()()(/1)(2/)(1)(11)(22/21222232tTTtteteetTTteTsELteTsTsTsTsTssRssEssRttrTsssGstssttssTterer线性系统的时域分析法自动控制原理课件可见可见, 虽然虽然在在s平面的原点上有极点平面的原点上有极点s=0, 仍可用仍可用终值终值sTsssEesTssRssssEsssser)1(1lim)(lim)1(1)()()(00)(ssE定理定理.0)(1(lim)(limsin1cos1)(111111)1()()()()/()(sin)(222002232222222322222222222sTssssEet

56、TTtTTtesTTssTTTsTTsTsssRssEssRttrsssssser线性系统的时域分析法自动控制原理课件二二静态误差系数静态误差系数 1. 控制系统按积分环节数分类控制系统按积分环节数分类vnjjvmiisTssKsHsG11)1()1()()(上式中上式中K叫系统的开环增益叫系统的开环增益(也叫系统的开环传递系数也叫系统的开环传递系数). v为开环系统在为开环系统在s平面坐标原点上的极点个数平面坐标原点上的极点个数, 因因1/ s是理想是理想积分环节的传递函数积分环节的传递函数, 所以所以v也表示了系统的开环传递函数也表示了系统的开环传递函数中串接的积分环节个数中串接的积分环节

57、个数. 规定规定: v =0, 叫叫0型系统型系统, v =1, 叫叫 1型系统型系统, v =2, 叫叫2型系统型系统, 依此类推依此类推.vnjjmiivsTssHsGsHsGsKsHsG110000)1()1()()()()()()(线性系统的时域分析法自动控制原理课件由上式可见由上式可见,与系统的型号与系统的型号开环增益开环增益K及输入信号的形式和大小有关及输入信号的形式和大小有关由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号斜坡信号斜坡信号(即即等速度信号等速度信号) 抛物线信号抛物线信号(即等加速度信号即等加速度信号)或者为这三或者为这三种信号的组合种信号

58、的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用下的稳态所以下面只讨论这三种信号作用下的稳态误差问题误差问题.KssRssHsKGssRssHsGsKssRssEevsvsvvsvssss01000100000lim)(lim)()()(lim)()(1)(lim)(limsse2. 静态位置误差系数静态位置误差系数pK设设sRsRtRtr/)()( 1)(线性系统的时域分析法自动控制原理课件则则定义定义:)()(lim1)()(1)(lim)(lim000sHsGRsHsGssRssEesssss)()(lim0sHsGKsp则则psssKRssEe1)(lim00型型:)1/(KReKKssp1型型

59、:0sspeK2型及型及2型以上型以上:0sspeK3. 静态速度误差系数静态速度误差系数vK设设2/)()(sRsRRttr则则)()(lim)()(lim)()(1/lim)()(1)(lim)(lim00000sHssGRsHssGsRsHsGsRsHsGssRssEesssssss定义定义:)()(lim0sHssGKsv则则vsssKRssEe/)(lim0线性系统的时域分析法自动控制原理课件0型型:1型型:vssvKReK/0KRKReKKvssv/2型及型及2型以上型以上:0/vssvKReK4. 静态加速度误差系数静态加速度误差系数aK设设32/)(2/)(sRsRRttr则则

60、)()(lim)()(lim)()(1/lim)()(1)(lim)(lim202202000sHsGsRsHsGssRsHsGsRsHsGssRssEesssssss定义定义:)()(lim20sHsGsKsa则则asssKRsEse/)(lim200型型:assaKReK/01型型:assaKReK/02型型:KRKReKKassa/线性系统的时域分析法自动控制原理课件例例: 单位反馈控制系统的开环传递函数分别为单位反馈控制系统的开环传递函数分别为及及)4(10ss)4()1(102sss, 求求236)(4)(ttttr时的时的sse解解: 当开环传递函数为当开环传递函数为)4(10ss

61、时系统为时系统为1型型, 对于对于)(tr中中23t的输入分量的静态加速度误差系数的输入分量的静态加速度误差系数0aK所以所以assKe/6当开环传递函数为当开环传递函数为)4()1(102sss时系统为时系统为2型型, 对于对于)(tr中中)(4 t和和t 6输入分量的静态位置误差系数输入分量的静态位置误差系数pK和静态和静态速度误差系数速度误差系数vK均为无穷大均为无穷大, 对应的稳态误差值为对应的稳态误差值为0而对于而对于)(tr中中23t的输入分量的静态加速度误差系数的输入分量的静态加速度误差系数5 . 24/10aK,所以所以4 . 25 . 2/6/6assKe线性系统的时域分析法

62、自动控制原理课件三三扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差设系统如下图所示设系统如下图所示,)1(22sTsK1K)(sE)(sR)(sM)(sN)(sC系统为系统为1型系统型系统, 当当sRsR/)(0时时, 系统的稳态误差系统的稳态误差为零为零)0)(sN, 但但当当sNsNsR/)(, 0)(0时时, 由由2122) 1()(KKsTsKsen得得100212200) 1(lim)(limKNsNKKsTsKsssEessss由上面计算可见由上面计算可见, 系统虽为系统虽为1型型, 但在阶跃干扰信号作用但在阶跃干扰信号作用下的稳态误差并不为零下的稳态误差并不为零. 为克服干扰对控制精度

63、的影响为克服干扰对控制精度的影响,可增大可增大K1的值的值, 但使系统的稳定性变差但使系统的稳定性变差. 由此可见单靠由此可见单靠调整系统本身的参数已不能同时满足各项性能的要求调整系统本身的参数已不能同时满足各项性能的要求.改进的方法是须对系统增加一些装置改进的方法是须对系统增加一些装置, 如下图所示如下图所示:线性系统的时域分析法自动控制原理课件图中图中叫比例加积分环节叫比例加积分环节. 当当)1(22sTsK1K)(sE)(sR)(sM)(sN)(sCsTi1)11 (),()11 ()(11sTKsEsTKsMii)( 1)(tte时时)1 ()(1iTtKtm, 当当e(t)为下图所示信号时为下图所示信号时,)(tetkt01m(t)信号如右图所示信号如右图所示)(tm1K12KiTktikTtK/1t00lim)()(lim)(lim021212322000sNKKsTKKsTsTTsTKssNssssEeiiiisenssss课外习题课外习题:P.135第第3-15 3-16 3-18 3-20 线性系统的时域分析法自动控制原理课件补充题补充题:某一典型单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲某一典型单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲 线如下图所示线如下图所示, 求此闭环系统的开环传递函数求此闭环系统的开环传递函数.0)(th1t1 .11 .0