魏宗舒概论PPT学习教案

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1、会计学1魏宗舒概论魏宗舒概论310172821165一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望引例引例 某手表厂在出产产品中抽查了某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手只手表的日走误差，数据如下：表的日走误差，数据如下：秒）日走误差 ()kN只数（2101234第1页/共30页这时抽查到的这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：只手表的品均日走时误差为：42( 2) 3 .4 51.22100kkkNN （秒/日）444222=Nkkkkkkk NNkkfN记作记作 为事件为事件“日走时误差为日走时误差为k秒秒”的概率的概率：kfkNN第2页/共30页1. 离散型随机变量的数学期离散型

2、随机变量的数学期望望定义：1ij1,1,2,.,E =iiiiiiiPapia pa pi设离散型随机变量的可能取值为a(i=1,2.)其分布列为：若绝对收敛 则称随机变量存在数学期望： 问：问：1、为什么要绝对收敛？、为什么要绝对收敛？ 2、若不绝对收敛会有什么结果？、若不绝对收敛会有什么结果？第3页/共30页关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) 是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上

3、体现了随机变量了随机变量 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.E第4页/共30页他们的射击技术分别为他们的射击技术分别为乙两个射手乙两个射手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概

4、率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0第5页/共30页解解8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3( ),E 环8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1( ),E 环,. 设甲乙射手击中的环数分别为故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.第6页/共30页例例2 二项分布二项分布 (1),(0,1,2, ),kn knPkppknk . 10 p则有则有0()nkEkPkknknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为第7页/共30页k

5、nknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望为 p.=np第8页/共30页例例3 泊松分布泊松分布 ,0,1,2, ,0.!kPkekk则有则有0( )!kkEkek 11)!1(kkke ee . P( ),且分布律？ 第9页/共30页例例 4在某地区进行某种疾病普查，为此要检查在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如果当地有每一个人的血液，如果当地

6、有N个人，若逐个个人，若逐个检验需要检验需要N次，有没有办法减少检验的工作量？次，有没有办法减少检验的工作量？析：把每析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而个人的血液全为阴性，因而每人只需检验每人只需检验1/k次；否则，对这次；否则，对这k人逐一检验即人逐一检验即可，则这可，则这k人每人需检验人每人需检验(1+1/k)次，从而次，从而k个人需个人需要检验次数可能是要检验次数可能是1或是或是(1+k)次，是一随机变量。次，是一随机变量。k11-q .k每人的检验结果是独立的，若每人的血液呈阳性的概率为p

7、,呈阴性的概率为q= -p,则这k个人血液呈阴性的概率是q ,而呈阳性的概率为第10页/共30页k令 表示检验时 个人一组每人所需验的次数，其分布列为：122 E1(1 1)(1)11kkkpa pk qkqqk 1由此可求的每人所需的平均检验次数：=ak1-+ 1 k1q1k ,1-+1 k.kkqqqk每人检验一次，所以当时，即需要分组，若 已知，还可以从E =选出最适合的整数11 11kkkkqq第11页/共30页例例5 几何分布几何分布 1,kPkqp则则有有1111( )kkkkEk qppk q. r v设的分布律为 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(1

8、;1,2,;01qp kp 第12页/共30页若若g(x)为为x的单值函数的单值函数, (1,2, ),iiPapi设离散型随机变量 的分布列为 1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望i=11(),( )()iiiiig apEgg ap 如果有第13页/共30页证明证明()=,(1,2,.)()()ijjig abgbjPbPaj 令（ ），则 仍是一个离散的随机变量，设其可能取值为 则1( )()jjjEgEb Pb1()()ijjijg abbPa由数学期望的定义有：由数学期望的定义有：1()()()ijiijg

9、 abg aPa1( ) ()iiiga Pa第14页/共30页定理定理 2.3 若若 二维随机变量，其联合分布列二维随机变量，其联合分布列为为 (,)( , )(,).ijijijijijijg a bpE gg a bp ，有( , ) (,), .1,2,.ijijPabp i j又又g(x,y)是实变量是实变量x,y的单值函数，如果的单值函数，如果第15页/共30页1. ,.( ).abEaEbCE CC若则存在，且特别 是一个常数，则证明证明ii= 1i= 1i= 1,()aa()biiiiaabEppEpb 由 于则 a =1212122.Ek ,k(k+k).k EkEEE设二维

10、离散随机变量（ ， ），若，存在则对任意实数则有第16页/共30页121211(2)()()ijijE kkk ak bij证明 p 3. EEEE又若 ，相互独立的，则存在，121111)ijijijijk ak bpij =p + 1.11ijjijkab pi.2=p +k第17页/共30页i=11(3)ijijjEa b p112()( ).nniiiiiiEaa E性质 可推广：1k EE2=+ki=11iijjja pb pEE第18页/共30页).,)(,.10,20互独立互独立并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各

11、个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车如到达一个车站没如到达一个车站没个车站可以下车个车站可以下车旅客有旅客有位旅客自机场开出位旅客自机场开出一民航送客车载有一民航送客车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例6第19页/共30页,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEX

12、E 20109110).(784. 8次次 第20页/共30页1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体它从本质上体现了随机变量现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性数学期望的性质质0001201( );2()( );3(k);4,.E CCE CCEEKEEEE E 独立作业：作业：29；30；35；38第21页/共30页3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(

13、1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二项项分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分分 布布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2, 几几何何分分布布 PX=k=ppk 1)1( k=1,2, p1 第22页/共30页根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年年中每个人死亡的概率为中每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类个这类人参加人寿保险人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司若在死亡时家属可从保险公司领取领取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每

14、人一年须交保险费多问每人一年须交保险费多少元少元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?第23页/共30页解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X ,)002. 0 ,10000( bX则则 10000010000)002. 01()002. 0(1000)(kkkkkXE).(20 人人 被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,第24页/共30页由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知的赔偿金的期望

15、值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.第25页/共30页解解)5()(2)52(33EXEXE , 5)(23 XE1213121121031)2()(33333 XE又又,31 .31353125)(2)52(33 XEXE故故例例2 设设求求:).52(3 XE3102 3121121121Xp第26页/共30页其规律为其规律为独立独立且两者到站的时间相互且两者到站的时间相互的的但到站的时刻是随机但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站某车站每天某车站每天按规定按规定.,00:1000:9,00:9

16、00:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客例例3第27页/共30页).(以分计以分计设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为 X解解的分布律为的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 第28页/共30页的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为第29页/共30页