因式分解专题讲解

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1、因式分解专题讲解【知识要点】1. 提取公因式法利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为 “一找、 二提、三去除 ”。“一找 ”就是第一步要折过去找出多项式中各项的公因式； “二提 ”就是第二步将所找出的公因式提出来； “三去除 ”就是第三步当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式。例如分解因式：9x3y12 x2y218 x2 y3 z，当确定公因式为3x2 y 后，则(9 x3 y12 x2 y218x2 y3z)3x2y3x4 y6 y2 z ，所以有，9x3 y12 x2 y218x2 y3 z

2、3x2 y(3x4 y6y2 z) 。2. 公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（ 1） 公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（ 2） 两项中的每一项必须是某个数或是自的平方形式；（ 3） 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（ 4） 公式中字母 “a ”和 “b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式。3. 十字相乘法( xa)( xb)x2(ab)xab反过来可得：x2(ab) xab(xa)( xb)例 如x2中常数项是2， 可 以分解为2 1，而且 213，恰好是一次项系数，所以x23x2( x

3、2)( x1) 。在对多项式x23x2 分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解，x2 分解为 x x ，常数项2 分解为 2 1 ，把它们用交叉线来表示：x2x1按十字交叉相乘，它们积的和就是2xx3x ，所以x23x2( x2)( x1)4. 分组分解法分组分解方法比较灵活起关键在于分组要适当，它的分组原则是：分组后能直接提取公因式；分组后能直接运用公式。分组分解法并不是一种独立的因式分解方法。通过对多项式进行适当的分子，把多项式转化为可以应用的基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。常用的分组方法

4、方法一： 分组后能提前公因式（ 1）按字母分组例如：分解因式：axaybxby 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组，含有字母b 的分为一组，即axaybxby(axay)(bxby )a( x y)b( x y) ，这就产生了公因式( xy) 。（ 2）按系数分组例如：分解因式：a2ab3b3a ，我们观察到前面两项的系数比和后面两项的系数之比恰好相等，即1:(1)3: (3) ，则 a2ab3b3a(a2ab)(3a3b)a(a b)3(ab) 。（ 3）按次数分组例如：分解因式：x3x2xy3y2y，此多项式有两个三次项，有连个二次项，有两个一次项，按次数分组为： ( x3

5、y3 ) ( x2y2 ) (xy) 。方法二： 分组后能运用公式例如：分解因式：x22 xy y2z2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x y)2 。而 ( x y) 2z2 又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。方法三： 重新分组例如：分解因式：4x23yx(3 y4) ，此多项式必须先去括号，进行重新分组，4x23y x(3 y4)4x23y3xy4x(4 x24x)(3 y3xy)4 x( x1)3 y( x1)(4 x3 y)(x1)1.提取公因式法【例 1】把下列各式分解因式：（ 1） 2x2 y4xy2（ 2）7a2 x21ay14a3 xy（ 3） 4a2

6、b6ab2 2ab（ 4）3x3m yn 1 2x2m yn 6xm yn 1【例 2】把下列各式分解因式：（ 1） 4x( x y) 3( x y)（2） 4x( x y) 23( y x)3（ 3） 5(x2) 3 ( y2)3(2x) 2 (2y)（ 4） x( xy)( ab)y( yx)(ba)【例 3】利用分解因式的方法简便计算：（1） 543.14 75 3.14 29 3.14（2） 0.8 32 330.6 345442.公式法【例 1】把下列各式分解因式：（ 1） 1 m21 n2（ 2） (7 a 2b)216a2（ 3） x4y441003. 十字相乘法【例 1】把下列各式分解因式：（ 1） x410x29（ 2） 7( x y)35( x y)22( x y)（ 3） (a28a)222( a28a)1204.分组分解法【例 1】分解因式：（ 1） 2x22xy 3x 3y（2） a2b24a 4b（ 3） 4x29y224 yz16 z2（ 4） x3x2x1【例 2】分解因式：（ 1） 3x36x2 y 3x2 z 6xyz（ 2） ab(c2d 2 ) cd (a2b2 )（ 3） (axby )2(bxay)2（ 4） a24ab3b22bcc2