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1、个性化辅导教案科 目数学授课老师学生姓名年级初三课 题整体带入法教学目标重点难点教学过程（内容）：数学讲义例题：甲、乙、丙二个学一共解出100道数学题，但每个人都只解出了其中的60道题。将其中只有 1个人解出的叫做难题；将三个人都解出的题叫做容易题。求证：难题刚好比容易题多20道。解析：设难题x道，易题y道，两人做出的题z道。X + y+ z=100MX + 3y +2z= 180JX 2-有X=y+20方程很好理解，为所有题目的综合，方程是如何得来的呢？一.数与式中的整体思想例1.已知11,二厂4,则a 2ab b的值等于 2a-2b +7ab()A. 6B.-612 C.52 D.7分析：
2、根据条件显然无法计算出 a, b的值，只能考虑在所求代数式中构造出11 , ，-的形式，再整体代入求ab解.有 a -2ab -b9m-42八用牛.一2a-2b +7ab1 1一2(b-6 2x(4)+7说明：本题也可以将条件变形为 b - a = 4ab ,即a - b = -4ab ,再整体代入求解.例2.已知代数式 x （ax Jbx-cx）+2当x=1时，值为3,则当x=1时，代数式的值为 x4 dx2解：因为当x=1时，值为3,所以a +b+c +2=3 ,即2土bc=1,从而，当x = 1时，原式1 d1 d=一（a b c） 32 - T +2 = 11 d二.方程（组）与不等式
3、（组）中的整体思想,x 2y =4k 1，一例3.已知/y，且0x + y 3,则k的取值范围是2x y = k 2分析：本题如果直接解方程求出 x, y再代入0x+y3肯定比较麻烦，注意到条件中x+y是一个整体,因而我们只需求得 x + y ,通过整体的加减即可达到目的.解：将方程组的两式相加，得：3(x + y) = 5k +3 ,所以x + y = k +1 ,从而0 k +1 3 ,解得? k 3355例4,已知关于x , y的二元一次方程组（3x-ay=5x by = 11x = 5的解为x ,那么关于x , y的二元一次方程组 y = 63(x y) -a(x -y) =5 ”的解
4、为为x y b(x -y) =11x = 5分析：如果把xy = 6代入俨f =5,解出a,x by = 113(x y) - a(x - y) = 5b的值，再代入j ( y) ( y)进行求解，应当x y b(x - y) = 11是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐.3(x y) -a(x - y) = 5若采用整体思想，在方程组 ( y) ( y)x y b(x -y) =1113m - an = 5,则此方程组变形为 m,m bn = 11一 一， ， m = 5对照第一个方程组即知n = 6, x y = 5 一一 一一，从而 y ,容易得到第二个方程组的解为x - y =
5、611x 二2b的值，又简化了方程组，简便易操作.11后x = 2解： 2_ 1y 一一2说明:通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值,又简化了方程组（不等式组）,解答直接简便.例5.分析:本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗,根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为 25斛方程 2x3x -4 =2x2 3x整式方程来解.2解：设2x +3x = y ,则原方程变形为5y -4 =一,即yy2_4y_5=0,解得 y1 = 5 , y2 = 1,所以一 2 一2. 5.2x +3x=5 或 2x +3x = -1,从而解得 x = 一，x2 =1 ,21x3 = 一-，x4 = -
6、1 ,经检验 X , x2 , x3 , x4 都 2是原方程的解.说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代5换，从而间化万程及解题过程.当然本题也可以设y = 2x2+3x-4,将方程变形为y =*来解.y 4(2)利用整体换元，我们还可以解决形如3X +x 1 =5这样的方程，只要设 x y y ,从而将方程x2 -12x 2x2-115变形为3y +一 = _ ,再转化为一元二次方程来求解.2y 2例6.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件,共需4.20元.现在计划购甲、乙、
7、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决.解：设购甲、乙、丙各 1件分别需x元、y元、z元.3x7y z = 3.152( x3y)(x yz) = 3.15依题意，得，即4x10y z = 4.203(x3y)(x yz) = 4.20解关于x+3y, x+y + z的二元一次方程组，可得 x+y + z = 1.05 (元)另：x 3x 2,则有答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元.说明：由于我们所感兴趣的不是 x、y、z的值，而是x + y + z
8、这个整体的值，所以目标明确，直奔主题， 收到了事半功倍的效果.三.函数与图象中的整体思想例7.已知y+m和xn成正比例(其中m、n是常数)(1)求证：y是x的一次函数；(2)如果y = 15时，x = 1; x = 7时，y = 1 ,求这个函数的解析式.解：(1)因y +m与x n成正比例，故可设 y+m =k(x n)(k #0)整理可得y = kx f(kn m)因k00, k、(kn+m)为常数，所以y是x的一次函数(2)由题意可得方程组1-15 - - k - (kn m)1 = 7k -(kn m)解得 k = 2, kn + m=13.故所求的函数解析式为 y =2x -13.说
9、明：在解方程组时，单独解出 k、m、n是不可能的，也是不必要的.故将 kn +m看成一个整体求解， 从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法.例9.若关于x的一元二次方程x2+(a21)x+a-2=0有一根大于1, 一根小于一1,求a的取值范围.分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难.整体考虑，把一元二次方程x2+(a2 1)x+a 2=0与二次函数y = x2+(a2 1)x+a 2联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易.解：由题意可知，抛物线与 x轴的交点坐标，一个交点在点（1,0）的右边，另一个交点在点（1,0）的左边，抛物线图象开口向上
10、,a2 a -2 ：- 0当 x=1 时，y 0,当 x = 1 时，y0,即 a a 2a - a ： 0-2 a 0.说明：（1）由于当x=1, x = 1时，y 0,所以解答过程中不必再考虑 下 0 了.（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足四.几何与图形中的整体思想例10.如图,123456M分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出角形的性质，我们将 /1十N2视为一个整体，那么应与4O等式）有够的重视.的.利用三第10题/BAC的外角相等，同理/3 + /4, /5+/6分别与/ACB的外角相等，利用三角形外角和
11、定理，本题就迎刃而解了.方法一：外角和为 360方法二：四个三角形解：因为/1+/2=/DAB , N3+N4=/IBA, /5+/6 = /GCB,根据三角形外角定理，得 NDAB十/IBA+NGCB=360 ,所以/1+/2+/3+/4+/5+/6=360 .说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键.例11 .如图，菱形 ABCD的对角线长分别为 3和4,AC上任一点（点P不与A, C重合），且PE / BC交ABCD交AD于F解：不难看出，四边形AEPF为平行四边形,则可得:ABC 中/ABC ,P是对角线从而 OAF的面积等于OAE的面积,则图中阴影部分的面
12、积于 E , PF /故图中阴影部分的面积等于ABC的面积,111又因为SBC = Sabcd =一父一乂3父4=3,所以图中阴影部分的面积为3.22 2说明：本题中， OAF与 OAE虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的.因而，可以将图中阴影部分的面积转化为 ABC的面积.我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的 信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜.例12 .如图，在正方形 ABCD中，E为BC边的中点，AE平分N BAF ,试判断AF与BC + CF的大小 关系，并说明理由.解：AF与BC+CF的大小关系为 AF=BC+CF.分别延长 AE , DC交于点G
13、 ,因为E为BC边的中点，因而易证 ABEA GCE ,所以AB =GC ,并且 /BAE =/CGE , AB = BC ,从而 BC +CF =GF .由于 AE 平分 NBAF ,所以 /BAE=NFAE ,故 2FAE=/CGE,即 AFG为等腰三角形，即 AF =GF ,所以，AF = BC+CF.说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将 BC+CF转化为FG这一整体，从而达到了解决问题的目的.用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复 杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程.同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常 能帮助我们走出困境，走向成功.听课及知识掌握情况反馈：课堂检测 教学需：加快口 保持口放慢口增加内容口教师课后赏识评价学生课后自我评价
初三中考数学复习第九讲整体代入法导学案
