注册岩土工程师基础考试培训资料无穷级数和微分方程PPT学习教案

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1、会计学1注册岩土工程师基础考试培训资料无穷注册岩土工程师基础考试培训资料无穷级数和微分方程级数和微分方程时当1qpppn131211 等比级数(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ). 级数收敛 ,;1 qa,1时当q级数发散 .其和为发散。收敛，当11ppP-级数级数第1页/共47页,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性质性质1.设 c 是非零常数，则级数1nnu收敛于 S ,则,1nnuS有相同的敛散性。若1nnuc与收敛于 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为.S1nnu1nnuc第2页/共47页说明说明:(2) 若两级数中一个收

2、敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)第3页/共47页,1nnuS在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.性质性质5：设收敛级数则必有.0limnnu可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .第4页/共47页112(1)()23nnn11(2)2nn1(3)1nnn11(4)(1)nn n第5页/共47页设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱级数1nnu

3、则强级数1nnv则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku是两个正项级数, (常数 k 0 ),3.正项级数审敛法正项级数审敛法第6页/共47页的敛散性。判别级数例1) 1(12nnn11) 1(1) 1(12nnnn第7页/共47页,1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,第8页/共47页的敛散性. n1例例3. 判别级数11sinnn解解:nlim1根据比较审敛法的极限形式知21n1sin1nn11sinn

4、n发散第9页/共47页设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 . 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 1nnu为正项,limnnnu;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 级数, 且则时上述定理失效。注：1第10页/共47页nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此级数12nnen收敛. 412的敛散性判别级数例nnen解解:第11页/共47页则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条

5、件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 。,2, 1,0nun设第12页/共47页定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级1nnu收敛 ,1nnu数1nnu绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .第13页/共47页由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数11) 1(npnn.1;10绝对收敛当条件收敛当pp第14页/共47页证证: ,1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .14sinnnn第15

6、页/共47页判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛第16页/共47页ox发 散发 散收 敛收敛 发散若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式二、求幂级数

7、收敛域二、求幂级数收敛域第17页/共47页*例例6.已知幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在3x处绝对收敛，故在1x绝对收敛。第18页/共47页例例7. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 第19页/共47页0nnnxa0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 的收敛半径为1limnnnaaR2.求收

8、敛半径求收敛半径第20页/共47页对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为 limn 第21页/共47页12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22

9、t故原级数的收敛域为,212x即.31x第22页/共47页三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围 x11nxxxx321) 1 , 1(xe! 212nxxxn),(xsin)!12() 1(! 5! 3121253nxxxxnn),( )1ln(x1) 1(32132nxxxxnn 1 , 1(第23页/共47页的幂级数展开式展开成解：例例10.求函数求函数1yx2x1122)yxx（112212x012( 1) ()22nnnx10(2)( 1)2nnnnx2122042x

10、xx 第24页/共47页四、求幂级数的和函数四、求幂级数的和函数这是幂级数展开问题的逆问题，利用已知结论或求导积分，求幂级数在收敛域内的和函数。011nnxx( 1,1)x 0!nxnxen(,)x 第25页/共47页微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、解微分方程二、解微分方程第26页/共47页含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.例如：例如：一阶微分方程yxyx 2)1(2二阶微分方程2(12 )xe yx y第27页/共47页 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定

11、通解中任意常数的条件.初始条件初始条件( (或边值条件或边值条件) ):的阶数相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .第28页/共47页是微分方程tkCtkCxsincos21的解.解解: t kkCsin222k x tkCtkCxsincos21是方程的解 .),(21为常数CCt kkCcos21222d xk xdt2k x20kx2220d xk xdt第29页/共47页二、解微分方程二、解微分方程1. 一阶微分方程可分离变量，一阶线性2. 高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次微分方程求解

12、。第30页/共47页xxfyygd)(d)(2)两边积分 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF(3)得到通解称为方程的隐式通解, 或通积分.(1)分离变量第31页/共47页yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得Cxylnln3即3xeCy ( C 为任意常数 )因此可能增、减解.第32页/共47页一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .称为齐次方程齐次方程 ;CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(第33页/共47页.sin1的通解求方程xxy

13、xy,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解* *例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：第34页/共47页)()(xfyn令,)1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 第35页/共47页解解: 21cosxyex dxC 211sin2xexC21

14、4xyexcos12C xC2cosxyex 第36页/共47页),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy第37页/共47页yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为

15、第38页/共47页),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy第39页/共47页.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd第40页/共47页)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.

16、例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数, 故方程的通解为xCxCysincos2121tanyxy为任意常21,(CC二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构第41页/共47页),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解第42页/共47页032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例1

17、0. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C第43页/共47页052 yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解为)2sin2cos(43xCxCeyx第44页/共47页例例12.32线性方程数齐次为一个特解的二阶常系写出以xxey 解：因xxey23是一个特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程为：0440)2(22rrr所对应微分方程为044 yyy第45页/共47页)(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 2.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .第46页/共47页