高等数学(同济第六版)第三章第2节

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1、会计学1高等数学高等数学(同济第六版同济第六版)第三章第第三章第2节节2)()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型) )()(limxgxf 本节研究:洛必达法则 第三章第二节 第1页/共29页30)(lim)(lim)1 xFxfaxax)()(lim)3xFxfax 存在 (或为 ) )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax ,)()()()2内可导内可导在在与与axFxf0)( xF且且定理 1.型未定式00(洛必达法则) 第三章第二节 第2页/共29页4( 在 x , a 之间)无妨假设, 0)()( aFaf在指

2、出的邻域内任取,ax 则)(, )(xFxf在以 x, a 为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim)1 xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )()(limxFxfax)()(lim Ffax )()(limxFxfax )3定理条件: 西定理条件,)()(lim)3xFxfax 存在 (或为 ) ,)()()()2内可导内可导在在与与axFxf0)( xF且且 第三章第二节 第3页/共29页5定理 1 中ax 换为, ax, ax, x x之一,推论 2. 若)()(limxFxf 满足定满足定且且型型仍属仍属)(, )(,00 xFxf 理

3、1条件, 则)()(lim)()(limxFxfxFxf )()(limxFxf 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 洛必达法则 第三章第二节 第4页/共29页6.123lim2331 xxxxxx解: 原式 lim1 x型型00266lim1 xxx23注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1 xxx166lim1 x 332 x1232 xx 第三章第二节 第5页/共29页7.arctanlim12xxx 解: 原式 lim x型型00221limxxx 1211x 21x 11lim21 xx思考: 如何

4、求 nnn12arctanlim ( n 为正整数) ?型型 第三章第二节 第6页/共29页8 型未定式 )(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax 存在 (或为)()(limxFxfax定理 2.证: )()(limxFxfax仅就极限存在的情形加以证明 .)()(limxFxfax (洛必达法则),)()()()2内可导内可导在在与与axFxf0)( xF且且 第三章第二节 第7页/共29页90)()(lim xFxfax的情形)()(limxFxfax limax )(1xF)(1xf limax )()(12xFxF )()(12xfxf )()()()(l

5、im2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax )()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 从而型型00 第三章第二节 第8页/共29页100)()(lim xFxfax的情形. 取常数,0 k,0 k kxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax )()()(limxFxFkxfax )()()(limxFxFkxfax kxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 可用 1) 中结论 第三章第二节 第9页/共29页11 )()(limx

6、Fxfax时, 结论仍然成立. ( 证明略 )说明: 定理中ax 换为之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立., ax, ax, x x,x 第三章第二节 第10页/共29页12. )0(lnlim nxxnx解:型型 原式11lim nxxxnnxxn1lim 0 例4. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式0 xnxexn 1lim xnxexnn 22)1(lim xnxen !lim . )0, 0(lim nexxnx型型 第三章第二节 第11页/共29页13. )0, 0(lim nexxnx(2) n 不为正整数的情形.nx从而xnex xkex xkex 1 由

7、(1)0limlim1 xkxxkxexex 0lim xnxex 用夹逼准则 kx1 kx存在正整数 k , 使当 x 1 时, 第三章第二节 第12页/共29页14. )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx1) 例3 , 例4 表明 x时,ln x后者比前者趋于 更快 .例如,xxx21lim 21limxxx xxx21lim 而xxx21lim 11lim2 xx1 )0( xe, )0( nxn用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 第三章第二节 第13页/共29页15,)()()(lim时时不存在不存在 x

8、Fxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf 例如,xxxxsinlim 1cos1limxx 极限不存在 )sin1(limxxx 1 第三章第二节 第14页/共29页16 ,0 , ,00,1 型型0 解决方法:通分转化00 0 取倒数转化00 10 取对数转化例5. 求).0(lnlim0 nxxnx型型 0解: 原式nxxx lnlim0110lim nxxxn0 )(lim0nxnx 第三章第二节 第15页/共29页17型型 . )tan(seclim2xxx 解: 原式)cossincos1(lim2xxxx xxxcossin1lim2 xxxsincoslim2 0 通

9、分转化00 0取倒数转化00 10 取对数转化 第三章第二节 第16页/共29页18.lim0 xxx 型型00解: xxx 0limxxxeln0lim 0e 1 利用 例5 通分转化00 0取倒数转化00 10 取对数转化 第三章第二节 第17页/共29页19.sintanlim20 xxxxx 解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx 22031seclimxxx 2203tanlimxxx xx22tan1sec 31 x型型00 第三章第二节 第18页/共29页20 nnnneln11. )1(lim nnnn分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. )1(lim121 xxx

10、x法1 用洛必达法则型型0 但对本题用此法计算很繁 ! 21 lim nn法2)1(lim121 nnnn1ln1 nne21lim nnnnln121lnlimnnn 0 u1 ue原式 第三章第二节 第19页/共29页21洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 gfy 令取对数 第三章第二节 第20页/共29页221. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf 不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限 )1ln()cos1(cossin3lim120 xxxxxx原式xxxxx120cos

11、sin3lim21 )1ln(x x)03(21 23分析:2. 第三章第二节 第21页/共29页23分析:203cos1limxxx 30 limxx xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin 222103limxxx xcos1 221x61 61xxxxxx20sin)sin(coslim 第三章第二节 第22页/共29页24,1xt 则2011221limtttt xxxxx 122lim23解: 令原式tt2 lim0 21)21( t21)1( t2)1()21(lim2323210 ttt41 第三章第二节 第23页/共29页25 P137

12、1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 第三章第二节 第24页/共29页26法国数学家, 他著有无穷小分析(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 第三章第二节 第25页/共29页27求下列极限 :;)11ln(lim)12xxxx 解: tttt1)1ln(1lim20 20)1ln(limtttt .cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx ;

13、1lim)2211000 xxex )11ln(lim)12xxxx )1(2lim0tttt ttt21lim110 21 )1(xt 令 第三章第二节 第26页/共29页28令,12xt 则ttet 50lim原式 =txet50lim 0 ttet4950lim 2110001lim)2xxex 解:tte!50lim (用洛必达法则)(继续用洛必达法则) 第三章第二节 第27页/共29页29xxxxxcossec)1ln(lim2220 1xxxxxcossec)1(lnlim420 xxxxxcosseclim420 0lim x 1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220 解:原式 =342xx xxtansec)sin(x 第三章第二节 第28页/共29页