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1、揭阳三中20152016学年度第一学期高三级第4次月考数学(理科)试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 等差数列的前项和为，若( )A. 12 B. 10 C. 8 D. 62. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( ) A. B. C. D. 3已知向量共线，那么的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 设函数，则 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 函数是( ) A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数6. 已知则的值为( ) A. B. C. D. 7. 设向量均为单
2、位向量，且，则 与 夹角为( ) A. B. C. D.8. 函数的一条对称轴为（ ） A. x B. x C. x- D. x- 9. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）10. 已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（ ）A B C D 11. 函数的定义域为开区间，导函数 在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A 1个 B 2个 C 个 D 4个12. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )（A） （B） （C） （D）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知 则k的值是_.14函数在区间上的最大值是 。15已知 则 的值为_.
3、16. 下列四种说法：命题“，使得 ”的否定是“，都有”；设、是简单命题，若“”为假命题，则“” 为真命题；若是的充分不必要条件，则的必要不充分条件；把函数的图像上所有的点向右平移个单位即可得到函数的图像其中所有正确说法的序号是 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分10分）已知为等差数列，且，。（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，若，成等比数列，求正整数的值。18、（本题满分12分）已知：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且. (1)求角C的大小； (2)若成等差数列，且，求c边的长.19、（本题满分12分）有编号为的
4、10个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号直径151148149151149152147146153148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个. 用表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望20、（本题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点.（1）求证：DC平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦.21、
5、（本题满分12分）如图在直角坐标系中，过动点的直线与直线垂直，垂足为，点满足（1）求动点的轨迹C的方程；（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切 22、（本题满分12分）设，函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有唯一零点，试求的值 揭阳三中20152016学年度第一学期高三级第4次月考数学（理科） 答案 一、选择题1（C） 2（D） 3（A） 4（B） 5（B）6（D） 7（C） 8（C） 9(A) 10（B）11(A) 12（C）9 A 对称轴，直线过第一、三、四象限10 B 在恒成立，11 A 极小值点应有先减后增的特点，即二、填空题13、6 ； 14、； 15、
6、； 16、。三、解答题17、（本题满分10分） （1）设数列的公差为d，由题意知，解得，所以（2）由（1）可得，因，成等比数列，所以，从而，即解得或（舍去），因此。18、（本题满分12分）解：(1) 由得-2分，-3分，-4分 -6分 (2)由成等差数列，得，由正弦定理得-8分， 即 -10分由余弦弦定理， -12分19、（本题满分12分） 解：（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个. -1分设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A，则.-4分 （2）的可能取值为：0,1,2,3-5分且, , -9分的分布列为0123数学期望.-12分20、(本题满分1
7、2分)（1）证明：在图甲中且 ,即 在图乙中，平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD. 又， DCBC,且 DC平面ABC. -4分（2）解法1：E、F分别为AC、AD的中点 EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足为点E FBE是BF与平面ABC所成的角在图甲中，, ,设则, 在RtFEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为.-8分解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设，则， 可得,，, 设BF与平面ABC所成的角为, 由（1）知DC平面ABC-8分（3）由（2）知 FE平面ABC，又B
8、E平面ABC，AE平面ABC，FEBE，FEAE，AEB为二面角BEFA的平面角在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦为.-12分21、(本题满分12分) （1）解：设，则 由得 ，整理，得，即点的轨迹C的方程为；-5分（2）证法1：由（1）知点P在抛物线上，设， 设是以PF为直径的圆上任一点，则由得，则 以PF为直径的圆的方程为： y轴的方程为，将代入并整理得： 显然方程有两个相等的实数根，即以PF为直径的圆与y轴有唯一交点， 以线段PF为直径的圆与y轴相切-12分【证法2：由（1）知点P在抛物线上，设， 则以PF为直径的圆的圆心坐标为，半径，以PF为直径的圆的方程为：-y轴的方程为，将代入
9、并整理得：-显然方程有两个相等的实数根，即以PF为直径的圆与y轴有唯一交点， 以线段PF为直径的圆与y轴相切-12分22、(本题满分12分)解：（1）当时，函数 则= 由得 解得函数的单调增区间为 由得，又解得，函数的单调减区间为-5分（2）由得令得解得 则 ， ，由，得，由得， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，（其中）函数在时，取得最小值函数在区间上有唯一零点，即方程=0在区间上有唯一解 即 于是， 令，显然，函数在单调递增，且即，由此可得-12分【解法二：函数在区间上有唯一零点，即方程=0在区间上有唯一解由又，得在单调递增，设 令则 ，令，显然函数在单调递增，且， 当时，有，当时，有，当时，当时，即函数在单调递减，在单调递增， 函数在上，当时，取最小值 方程=0在区间上有唯一解等价于-12分
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