信分析与处理基础课件

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1、第第2 2章章 信号分析与处理基础信号分析与处理基础1信号分析与处理基础课件华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院2被测对象被测对象传感器传感器信号调理信号调理显示记录显示记录装置装置系统系统信息输入信息输入信息输出信息输出华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院3A0t物理上：信号是信息的载体，是信息的一种表现形物理上：信号是信息的载体，是信息的一种表现形式，在测试技术中常常通过波形体现。式，在测试技术中常常通过波形体现。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院4一、信号的分类与描述一、信号的分类与描述二、二、周期信号周期信号和离散频谱和离散频谱（傅里叶级数）（傅里叶级数）三、三、瞬态非周

2、期信号瞬态非周期信号和连续频谱和连续频谱（傅里叶变换）（傅里叶变换）四、四、随机信号随机信号分析分析主要内容如下：主要内容如下：第第2章章 信号分析与处理基础信号分析与处理基础华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院5第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 一个信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有用的信息，一个信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有用的信息，是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间的相互关系、预是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。测未来发展的依据。从不同角度观察信号，可以将其分为：从不同角度观察信号，可以将其分为： 1 1）

3、 从信号描述上从信号描述上-确定性信号与随机信号；确定性信号与随机信号；2 2） 从表示的函数性质上从表示的函数性质上-连续信号与离散信号；连续信号与离散信号；3 3）从信号的能量上）从信号的能量上-能量信号与功率信号能量信号与功率信号。1. 1. 信号的分类信号的分类 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院61 1） 确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号可以用明确数学关系式描述的信号称为可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为不能用数学关系式描述的信号称为随机信号随机信号。随机信号随机信号华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院7（确定性信

4、号确定性信号）周期信号周期信号：经一定时间间隔可重复出现的：经一定时间间隔可重复出现的信号信号 简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号x ( t ) = x ( t + nT0 ) (n =1，2，3.)机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院8b) （确定性信号确定性信号）非周期信号非周期信号：在确定性信号中不会周期重复在确定性信号中不会周期重复出现的信号。出现的信号。 瞬态信号瞬态信号瞬态信号瞬态信号: 持续时间有限或随时间增长衰减为零的信号，持续时间有限或随时

5、间增长衰减为零的信号，如如 x(t)= e-tsin(2*pi*f*t)，如：锤子敲击力、承载缆绳断裂时应力变化等如：锤子敲击力、承载缆绳断裂时应力变化等准周期信号准周期信号准周期信号准周期信号: 由有限个周期信号合成的，但各周期信号之间无法找到公共由有限个周期信号合成的，但各周期信号之间无法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔重复出现，周期，因而无法按某一时间间隔重复出现，如：如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)，如如机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院9c) 随机信号随机信号：不能用数学式描

6、述，其幅值、相位变化不可：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。预知，所描述物理现象是一种随机过程。 噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)统计特性变异统计特性变异只能用概率统计方法由其过去估计其未来。自然界和生活中有许多随机只能用概率统计方法由其过去估计其未来。自然界和生活中有许多随机过程，如汽车奔驰时产生的振动、环境噪声等。过程，如汽车奔驰时产生的振动、环境噪声等。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院102 2） 连续信号与离散信号连续信号与离散信号 a) a) 连续信号连续信号: 信号数学表示式中独立变量取值是连续的信号数学表

7、示式中独立变量取值是连续的 b) b) 离散信号离散信号:若独立变量取离散值若独立变量取离散值幅值连续幅值连续幅值不连续幅值不连续采样信号采样信号v 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信号；若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信号；v 若离散信号的幅值也是离散的，称为数字信号。若离散信号的幅值也是离散的，称为数字信号。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院113 3） 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 a) a) 能量信号能量信号 在所分析的区间在所分析的区间(-(-，)，能量为有限值的信号称为能，能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：量信号，满足条件： 一般持续时间有限的

8、瞬态信号是能量信号，如矩形脉冲信号、一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号，如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。衰减指数函数等。dttx)(2瞬态信号瞬态信号华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院12b) b) 功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（t t1 1，t t2 2），能量不是有限值此时，研究），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。2112)(21ttttdttx复杂周期信号复杂周期信号噪声信号噪声信号(平稳平稳)华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院13022

9、0)()()(000tTATtAtxnTtxtx信号以信号以时间时间为独立变量表示的，称为信号的为独立变量表示的，称为信号的时域描述时域描述；信号以信号以频率频率为独立变量表示的，称为信号的为独立变量表示的，称为信号的频域描述频域描述。2. 2. 信号的描述信号的描述 应用傅里叶级数展开：应用傅里叶级数展开：如下周期方波的时域描述如下周期方波的时域描述：.)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx式中：式中：002T将上式改写为：将上式改写为：)sin1(4)(1ntnAtx式中：式中：0n以以 为独立变量，得到该为独立变量，得到该周期方波的频域描述周期方波的频域描述。1,3,

10、5,.n x(t)T0A华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院14在信号分析中，以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，便在信号分析中，以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，便分别得到信号的幅频谱或相频谱。分别得到信号的幅频谱或相频谱。)sin1(4)(1ntnAtx0n1,3,5,.n An030504A/()0305041()AAn()0 0n1,3,5,.n 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院151T/2T/2tx(t)1T/2T/2tx(t)在频域中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述在频域中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述An030504A/()03050()0

11、30505 /2/2An030504A/华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院16华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院17两种描述方法比较两种描述方法比较：时域分析只能反映信号的幅值随时间的变：时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。化情况，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。 时间幅值频率时域分析频域分析信号的频谱代表了信信号的频谱代表了信号在不同频率分量处号在不同频率分量处信号成分的大小，它信号成分的大小，它能够提供比时域信号能够提供比时域信号波形更直观，丰富的波形更直观，丰富的信息。信息。 时域分析与频域分析的关系时域分析与频

12、域分析的关系华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院18大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院19如：如：评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根来作为判据，此时，评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根来作为判据，此时，速度信号采用速度信号采用时域描述时域描述，就能很快求得均方根值。，就能很快求得均方根值。在寻找振源时，需要掌握振动信号的频率分量，因此，需要采在寻找振源时，需要掌握振动信号的频率分量，因此，需要采用用频域描述频域描述。两种描述包含的信息量完全相同。两种描述包含的信息量完全相同。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院2

13、0第二节第二节 周期信号和离散频谱周期信号和离散频谱 周期信号数学描述工具周期信号数学描述工具- - 傅里叶级数傅里叶级数华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院21周期信号周期信号 如果在有限区间上满足狄里赫利条件，可展成如果在有限区间上满足狄里赫利条件，可展成傅里叶级数：傅里叶级数：1 1）傅里叶级数的）傅里叶级数的三角函数形式三角函数形式)(tx 1000)sincos(nnntnbtnaatx tdtntxTbtdtntxTadttxTaTTnTTnTT02/2/002/2/02/2/00sin2cos21000000傅立叶级数的这种形式称为傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式三角函

14、数展开式或称或称正弦正弦- -余余弦表示弦表示。圆频率周期00T.3 , 2 , 1n华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院22100)cos()(nnntnAatx傅立叶级数的三角函数形式还可以改写成：傅立叶级数的三角函数形式还可以改写成：式中：22nnnbaAnnnabarctg 1000)sincos(nnntnbtnaatx周期信号是由一个或几个、乃至无穷多周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。式中第个不同频率的谐波叠加而成的。式中第一项一项a a0 0为周期信号中的常值或直流分量，为周期信号中的常值或直流分量，从第二项依次向下分别称为信号的基波从第二项依次向

15、下分别称为信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐或一次谐波、二次谐波、三次谐波，波，.，n n次谐波。次谐波。A An n为为n n次谐波的幅次谐波的幅值，值， n n为其相角。为其相角。 nnA幅频谱图幅频谱图相频谱图相频谱图以频率以频率 为横坐标的谱线，由于各频为横坐标的谱线，由于各频率成分是率成分是 的整倍数，因此相邻频率的整倍数，因此相邻频率间隔为间隔为 ，所以谱线是离散的。，所以谱线是离散的。000n令：令： 为自变量横坐标为自变量横坐标华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院23 例例2-1 2-1 求图所示的周期方波信号求图所示的周期方波信号x(t)x(t)的傅里叶级数。的傅里叶

16、级数。 图 周期方波信号 解：该周期方波在一个周期内的表达式为解：该周期方波在一个周期内的表达式为 1/ 20( )10/ 2Ttx ttT /20/21( )d0TTax ttT/20/22( )cosd0TnTax tnt tT由图可知，该信号为奇函数，因此由图可知，该信号为奇函数，因此 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院24 正弦分量的幅值为正弦分量的幅值为 /2/2/2000/20002441( )sindsind( cos)41,3,52( cos1)02, 4,6TTTnTbx tnt tnt tntTTTnnnnnn华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院25 因此，周期性

17、方波可写为：因此，周期性方波可写为： 000411( )sinsin3sin535x tttt 周期性方波的频谱图：周期性方波的频谱图： 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院262 2）傅里叶级数的）傅里叶级数的复指数函数形式复指数函数形式复指数函数形式比三角级数形式更简化更便于计算。复指数函数形式比三角级数形式更简化更便于计算。根据欧拉公式：将上式代入式: 1000)sincos(nnntnbtnaatx 10)(21)(21(00ntjnnntjnnnejbaejbaatxcossin1cos()21sin()2j tj tj tj tj tetjtteetjee令)(21)(2100

18、nnnnnnjbacjbacac并整理归类得华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院27上式可合写成,.)2, 1, 0( ,)(0nectxntjnn 11000nntjnntjnnececctx傅里叶级数的复指数函数形式：傅里叶级数的复指数函数形式： 000/2/201nTjnjnnRntInTccjcx t edtTc e 以其实部或虚部与以其实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图。谱图和虚频谱图。 的关系图称为幅频谱的关系图称为幅频谱图及相频谱图，统称复频谱图。图及相频谱图，统称复频谱图。nnc,nInRnjccc22nInRnccc

19、nRnInccarctg,.)2, 1, 0(n华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院28注意：注意： 复指数函数形式的频谱称为双边频谱（因复指数函数形式的频谱称为双边频谱（因 变化变化范围为范围为 ）；三角函数形式的频谱称为单边频）；三角函数形式的频谱称为单边频谱（因谱（因 变化范围为变化范围为 ） 。),(),0( 例例2-2 2-2 采用周期信号复指数展开式求例采用周期信号复指数展开式求例2-12-1所示周期方波所示周期方波的频谱。的频谱。 解：该周期方波在一个周期内的表达式为解：该周期方波在一个周期内的表达式为 1/ 20( )10/ 2Ttx ttT 因此有：因此有： 000/20

20、/2jjj/2/20jj011( )ededed112(ee)j2j1,3,51(22cos j)j200,2,4TTntntntnTTnnCx ttttTTTnnnnnn nCn， 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院29比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复指数函数形式的比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复指数函数形式的频谱为双边谱（频谱为双边谱（ 从从 到到 ），三角函数形式的频谱为），三角函数形式的频谱为单边谱（单边谱（ 从从0到到 ）。）。有定理证明：双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。有定理证明：双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两

21、种不同类型的级三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院302ncu 周期信号频谱图周期信号频谱图 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院31华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院32周期信号频谱的三个特点：周期信号频谱的三个特点：周期信号的频谱是离散频谱；（周期信号的频谱是离散频谱；（离散性离散性）周期信号的谱线均出现在基波及各次谐波频率处（出现周期信号的谱线均出现在基波及各次谐波频率处（出现在基波频率的整数倍上）；（在基波频率的整数倍上）；（谐波性谐波性）周

22、期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。工程中常见的周期信号，而减小，频率越高，幅值越小。工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小，因此，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小，因此，在频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量；在频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量；（收敛性收敛性）华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院33华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院34华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院35第三节第三节 瞬态非周期信号与连续频谱瞬态非周期信号与连续频谱 离

23、散频谱所对应的时域信号是否一定是周期信号离散频谱所对应的时域信号是否一定是周期信号具有离散频谱的信号不一定是周期信号。具有离散频谱的信号不一定是周期信号。只有其各简谐分量的频率具有一个公约数（即频率只有其各简谐分量的频率具有一个公约数（即频率比为有理数）比为有理数）基频，它们才能在某个时间间隔后基频，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成后的信号才是周期信号。周而复始，合成后的信号才是周期信号。把具有离散频谱的非周期信号称把具有离散频谱的非周期信号称准周期信号准周期信号。在工程技术领域，不同的相互独立的振源对某对象的激振而形在工程技术领域，不同的相互独立的振源对某对象的激振而形成的振动往往是这

24、类信号。成的振动往往是这类信号。00( )sinsin2x ttt华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院36华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院37本节主要讨论本节主要讨论瞬变非周期信号的瞬变非周期信号的频谱分析。频谱分析。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷，则周期信号将演变成一个非周期信号。我们穷，则周期信号将演变成一个非周期信号。我们把非周期把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从而考查信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在连续时间傅里叶级数在T T趋于无穷时的变化，就应该能够趋于无

25、穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法得到对非周期信号的频域表示方法. .这正是我们开展对非这正是我们开展对非周期信号进行频域分析的基本出发点。周期信号进行频域分析的基本出发点。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院38对于一周期信号，根据指数傅里叶级数展开式：对于一周期信号，根据指数傅里叶级数展开式：,.)2, 1, 0( ,)(0nectxntjnn式中：式中： dtetxTctjnTTn0002/2/01代入：代入： ,.)2, 1, 0( ,)1()(00002/2/0nedtetxTtxntjntjnTT华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院39 ,.)2, 1,

26、0( ,)1()(00002/2/0nedtetxTtxntjntjnTT0020T非周期信号的谱线非周期信号的谱线无限靠近，其频谱无限靠近，其频谱由离散谱由离散谱变为变为连续连续谱谱当当T T0 0 时，时，x(t)x(t)周期信号周期信号非周期信号非周期信号谱线间隔谱线间隔区间区间00(,)(,)22TT 离散频率离散频率 变成连续频率变成连续频率 求和求和 变为积分变为积分 000020211( )( )( )2Tjntjntj tj tTx tx t edt ex t edt edT00122dT0n华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院40dtetxXtj)(21)(dedtetx

27、txtjtj)(21)(将原函数写成将原函数写成称为称为x(t)x(t)的傅里叶变换的傅里叶变换(FT)(FT)称为称为X()X()的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换(IFT)(IFT)上述两式称为傅里叶变换对。上述两式称为傅里叶变换对。dedtetxtxtjtj)(21)(傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算。傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算。 deXtxtj)(华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院41dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(为避免在傅里叶变换中出现为避免在傅里叶变换中出现 常数因子，用常数因子，用 代入代入 21

28、f2可见，一个非周期信号可以分解成频率连续变化的谐波叠加而成。可见，一个非周期信号可以分解成频率连续变化的谐波叠加而成。FTFTIFTIFTdfedtetxdedtetxtxftjftjtjtj22)()(21)(此时称此时称X X( (f f) )是原函数是原函数x x( (t t) )的频谱密度函数，简称的频谱密度函数，简称频谱频谱。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院42j ()( )( ) efX fX f( )f由于由于X X( ( f f ) )一般为实变量一般为实变量f f的复函数，故可将其写为的复函数，故可将其写为 式中的式中的|X( f )|X( f )|称为非周期信号称

29、为非周期信号x x( (t t) )的的幅值谱幅值谱， 称为称为x(t)x(t)的的相位谱相位谱。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院43例：求矩形窗函数 的频谱。 2/02/1TtTttw tw)(21)()(2/2/22fTjfTjTTftjftjeefjdtedtetwfW解：矩形窗函数频谱为：)(21sintjtjeejtfTfTTfWsin)(sinc sinc 函数函数华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院44231Sin cSin cSin c( ( ) )函数值有专门的的函数值有专门的的数学表可查得。它以数学表可查得。它以2 2 为周为周期并随期并随 的增加而作衰减振荡。

30、的增加而作衰减振荡。Sin cSin c( ( ) )是偶函数，在是偶函数，在n n 处处的值为零。的值为零。sin)(sinc华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院45因此：( )sin ()W fTcfT 只有实部没有虚部，其相位频谱视只有实部没有虚部，其相位频谱视 的符号而定。当的符号而定。当 为正值时相角为零，当为正值时相角为零，当 为负值时相角为为负值时相角为 。)( fWsin ()cfTsin ()cfTsin ()cfT1.3 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院46一个非周期函数一个非周期函数x x( (t t) )的能量

31、定义为的能量定义为能量谱能量谱2( )dEx tt2jj11( )d( )( )e dd( )( )e d d221( )()d2ttEx t tx tXtXx ttXX 221( )d( ) d2Ex t tX得到信号在频域的得到信号在频域的能量公式能量公式为为它表示一个非周期信号它表示一个非周期信号x(t)在时域中的能量等于其在频域在时域中的能量等于其在频域中连续频谱的能量。中连续频谱的能量。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院47 由于由于 为为的偶函数，故的偶函数，故 其中，其中， ，称称S S( () )为为x x( (t t) )的的能量谱密度函数能量谱密度函数，简称能量谱函数

32、。，简称能量谱函数。 2( )X220011( ) d( ) d( )d2EXXS2( )( ) /SX华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院482. 2. 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院49华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院50（1 1）时间尺度改变特性）时间尺度改变特性)(1)()()(kfXkktxfXtx若若则则有时为加速信号的传递，要将信号的持续时间压缩，则要以展有时为加速信号的传递，要将信号的持续时间压缩，则要以展开频带为代价开频带为代价当信号时间尺度压缩（当信号时间尺度压缩（ ）时，频谱的频带加宽，幅值压低；）时，频谱的频

33、带加宽，幅值压低；当信号时间尺度扩展（当信号时间尺度扩展（ ）时，频谱的频带变窄，幅值增高。）时，频谱的频带变窄，幅值增高。1k 1k 磁带的慢录快放和快录慢放？对信号分析设备通频带的要求？磁带的慢录快放和快录慢放？对信号分析设备通频带的要求？华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院51（2 2）时移和频移特性）时移和频移特性( )( )x tX f若若则则频移特性是调制、解调、频分复用的基础理论频移特性是调制、解调、频分复用的基础理论020()( )jftx ttX f e020( )()jf tx t eX ff时移特性说明，信号在时域延时时移特性说明，信号在时域延时 ，在频谱中幅，在频谱

34、中幅值谱不变，仅使相位谱产生一个相移值谱不变，仅使相位谱产生一个相移0t02ft华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院52020( )( )()( )jftx tX fx ttX f e华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院53（3 3）卷积特性）卷积特性两个函数两个函数 和和 的卷积定义为的卷积定义为则则)(1tx)(2tx1212( )*( )( )()x tx txx td若若)()()()(2211fXtxfXtx)(*)()()()()()(*)(21212121fXfXtxtxfXfXtxtx（时域卷积）（时域卷积）卷积定理揭示了时域和频域之间的关系，在信号分析中卷积定理揭示了

35、时域和频域之间的关系，在信号分析中有重要应用。有重要应用。（频域卷积）（频域卷积）华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院54（4 4）微分和积分特性）微分和积分特性则则若若)(21)()()()2()()2()(fXfjdttxdffXdtxtjfXfjdttxdtnnnnnn)()(fXtx在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度之任在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度之任一参数，应用微分、积分特性就可以获得其它参数的频谱。一参数，应用微分、积分特性就可以获得其它参数的频谱。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院551) 1) 函数（单位脉冲函数）及其频谱（重点）

36、函数（单位脉冲函数）及其频谱（重点）v 函数函数的定义的定义0, 00,)(ttt1)( dtt在在t t00时，函数值均为时，函数值均为0 0；在；在t t=0=0处，函数值为无处，函数值为无穷大，而脉冲面积为穷大，而脉冲面积为1 1。3. 3. 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院56v 函数函数的采样性质的采样性质这个性质对连续信号的离散采样十分重要。这个性质对连续信号的离散采样十分重要。练习：利用练习：利用 函数的采样性质，求下列表示式的函数值：函数的采样性质，求下列表示式的函数值：-3t-1( )e( )f tt00( )() ()f tf t

37、ttt dt( )(1 cos ) ()2f tttdt)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft)()()()()(0000tfdttfttdttftt华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院57v 函数与其他函数的卷积函数与其他函数的卷积( )* ( )( ) ()( ) ()( )x ttxtdx tt dx t 000( )* ()( ) ()()x tttxttdx tt 可见，函数可见，函数 和和 函数的卷积的结果，就是在发生函数的卷积的结果，就是在发生 函数的函数的坐标位置上简单地将坐标位置上简单地将 重新构图。重新构图。)(tx)(tx此结论对频域同样适用此

38、结论对频域同样适用华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院58v 函数的频谱函数的频谱()( )ft edtjft21将将 进行傅里叶变换：进行傅里叶变换：)(t其包括了所有的频率成分，且所有频率其包括了所有的频率成分，且所有频率分量成分的幅度、相位都相同。因此，分量成分的幅度、相位都相同。因此，时域的时域的函数具有无限宽广的频谱，而函数具有无限宽广的频谱，而且在所有的频段上都是等强度的，这种且在所有的频段上都是等强度的，这种频谱常称为频谱常称为“均匀谱均匀谱”。 这种信号又称这种信号又称为为“白噪声白噪声”华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院59时时 域域频频 域域)(t( (单位瞬时脉

39、冲单位瞬时脉冲) )1( (均匀频谱密度函数均匀频谱密度函数) )1( (幅值为幅值为1 1的直流量的直流量) )( f( (在在f f0 0 处有脉冲谱线处有脉冲谱线) )(0tt ( ( 函数时移函数时移t t0 0 ) )02 ftje( (各频率成分分别相移各频率成分分别相移 ) )02 ft( (复数指数函数复数指数函数) )tfje02)(0ff ( (将将 (f)(f)频域移动频域移动f f0 0 ) )v 根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，可以得到下根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，可以得到下列变换对：列变换对：对称性质对称性质时移性质时移性质频移性质频移性质华

40、南农业大学工程学院华南农业大学工程学院603) 3) 正余弦函数的频谱密度函数正余弦函数的频谱密度函数)(21)2cos()(21)2sin(0000220220tfjtfjtfjtfjeetfeejtf0000001sin(2)()()21cos(2)()()2f tjfffff tffff因此因此根据根据tfje02)(0ff 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院614) 4) 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱定义定义n( ,)()sscomb t TtnT其中其中等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数 Comb(Comb(t,Tt,T

41、s s ) )表示为傅里叶级数的复指数形式为：表示为傅里叶级数的复指数形式为：tnfjkssecTtcomb2),(ssTf1sTTtnfjsTTtnfjsskTdtetTdteTtcombTcssssss1)(1),(1222222因此有：因此有：21( ,)sjnf tsnscomb t TeT0,1,2,.n 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院62因为：因为：2(n )sjnf tseff所以：所以：11( ,)()()ssnnsssnComb f ffnffTTT21( ,)sjnf tsnscomb t TeT时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列时域周期单位脉冲序列的频谱

42、也是周期脉冲序列华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院63第四节第四节 随机信号随机信号 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院64华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院65集合平均集合平均：不是沿某单个样本的时间轴进行，而是将集合中：不是沿某单个样本的时间轴进行，而是将集合中所有样本函数对同一时刻的观测值取平均。所有样本函数对同一时刻的观测值取平均。时间平均时间平均：按单个样本的时间历程进行平均的计算。：按单个样本的时间历程进行平均的计算。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院66华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院67华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院68华南农业大学工程

43、学院华南农业大学工程学院69TTxxtxxPxTlim)(是表示信号幅值落在是表示信号幅值落在指定区间内的概率。指定区间内的概率。信号信号 值落在值落在 区间内的时间为区间内的时间为 ：)(tx),(xxx.321tttTxxT当样本的记录时间当样本的记录时间T T 趋于无穷大时，趋于无穷大时， 的比值就是幅值落的比值就是幅值落在区间的概率，即在区间的概率，即 TTx华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院70 xxxtxxPxpx)(lim)(则幅值概率密度函数则幅值概率密度函数 为：为：)(xp概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是

44、随机信号的主要特征参数之一。的主要特征参数之一。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院71不同的随机信号，其概率密度函数的图形不同，可以此来辨别信号的性质。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院72华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院73华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院74华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院75华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院76例如信号 的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即则 华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院77因此，不论时移方向是超前还是滞后（为正或负），函数值不变。保留了原信号的幅值保留了原信号的幅值和频率

45、信息，但失去和频率信息，但失去了原信号的相位信息了原信号的相位信息华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院78华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院79检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院80如：在汽车进行平稳性试验时，测得汽车在某处的加速度的时间历程如下如所示。将此信号送入信号处理机处理，获得如图所示的相关函数。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院81华南农业大学工程

46、学院华南农业大学工程学院82华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院83华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院84华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院85华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院86华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院87 在实际应用中，通常以有限时间的观察值，自相关和互相在实际应用中，通常以有限时间的观察值，自相关和互相关函数的估计和分别定义为关函数的估计和分别定义为: : 具有有限个数据点具有有限个数据点N N的相关函数估计的数字处理表达式为的相关函数估计的数字处理表达式为: : 式中，r为时移序数，r = 0, l, 2，r N。101( )( ) ()NxnR

47、rx n x nrN01( )( ) ()dTxRx t x ttT01( )( ) ()dTxyRx t y ttT101( )( ) ()NxynRrx n y nrN华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院88 互相关函数的应用（1）确定时间延迟。假如某信号从A点传播到另一点B点，那么在两点拾取的信号x(t)和y(t)之间的互相关函数 ，将在相当于两点之间时间延迟的位置上出现一个峰值。利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度。如图为测定轧钢时钢板运动速度的示意图。利用两个距离为d的光电传感器A和B，得到钢板表面反射光强度变化的光电信号x(t)和y(t)，经互相关分析，确定时移，当等于

48、钢板通过两个测点间的时间 时，两信号的互相关函数为最大值，则运动物体的速度为华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院89（2）华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院90（3）识别传输路径。假如信号从A点到B点有几个传输路径，则在互相关函数中就有几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间 的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识别。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院91华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院92华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院93在工程测试中，互谱常用于识别系统动态特性和消除噪声。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院9421( )( )xSfX fT1( )( )(

49、 )xySfXfY fT1( )( )( )yxSfYfX fT 定义功率谱即自谱的估计值为定义功率谱即自谱的估计值为 互谱的估计值为互谱的估计值为对于数字信号，通常采用计算机进行快速傅立叶变换（FFT）计算其频谱。华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院95 （1 1）求系统频响函数）求系统频响函数 一个线性系统的输出一个线性系统的输出y y( (t t) )等于其输入等于其输入x x( (t t) )和系统的脉冲响应和系统的脉冲响应函数函数h h( (t t) )的卷积，即的卷积，即 根据卷积定理，在频域中可化为根据卷积定理，在频域中可化为 其中，H( f )为系统的频响函数，它反映了系统

50、的传递特性。( )( )( )y tx th t( )( )( )Y fX f H f 功率谱分析的工程应用华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院96 通过自谱和互谱也可以求取通过自谱和互谱也可以求取H H( ( f f ) )。在（。在（* *）式两端乘以）式两端乘以Y Y( ( f f ) )的复共轭并取绝对值，有的复共轭并取绝对值，有 该式反映了该式反映了输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系。 如果在（如果在（* *）式两端乘以）式两端乘以X X( (f f) )的复共轭并取绝对值，则有的复共轭并取绝对值，则有 进而有进而有 由于由于Sx(

51、f )Sx( f )为实偶函数，因此频响函数的相位变化完全取决为实偶函数，因此频响函数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。于互谱密度函数的相位变化。 2( )( )( )yxSfH fSf( )( )( )( )( )Y f XfH f X f Xf( )( )( )xyxSfH f Sf( )( )( )Y fX f H f（* *）华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院97（2 2）相干分析）相干分析 相干函数又称为凝聚函数，相干函数又称为凝聚函数，常用于描述输入、输出信号之间常用于描述输入、输出信号之间的因果性的因果性，其定义为，其定义为: : 是一个无量纲系数，其取值范围为是

52、一个无量纲系数，其取值范围为 。 = 0= 0，则称信号，则称信号x x( (t t) )和和y y( (t t) )在频率在频率f f上上不相干不相干； =1=1，则称，则称x x( (t t) )和和y y( (t t) )在频率在频率f f上上完全相干完全相干； 0 01 1时，则说明信号受到噪声干扰，或说明时，则说明信号受到噪声干扰，或说明 系统具有非线性。系统具有非线性。22( )( )( )( )xyxyxySffSf Sf20( ) 1xyf2( )xyf2()xyf2()xyf华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院98相干分析举例相干分析举例-油压脉动与油管振动功率谱分析与相

53、干分析 在下图中中，用柴油机润滑油泵的油压与油压管道振动的两个信号求出相干函数。润滑油泵转速为n = 781 r/min，油泵齿轮的齿数为z = 14，所以油压脉动的基频是f0 = nz/60 = 182.24 Hz。油压脉动信号x(t)的功率谱Sx( f ) 除了包含基频谱线外，还由于油压脉动并不完全是准确的正弦变化，而是以基频为基础的非正弦周期信号，因此还存在二、三、四次甚至更高的谐波谱线。将（a）（b）两个信号进行相干分析。由相干函数图可见，当f = f0时， 0.9；当f = 2f0时， 0.37；当f = 3f0时， 0.8；当f = 4f0时， 0.75可以看到由于油压脉动引起各阶谐波所对应的相干函数值都比较大，而在非谐波的频率上相干函数值都很小。所以可以得出结论，油管的振动主要是由于油压脉动所引起的。2( )xyf2( )xyf2( )xyf2( )xyf华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院99华南农业大学工程学院华南农业大学工程学院100作作 业业(1) 什么是单位脉冲函数（t）?它有何特性，如何求其频谱？(2) 设有一组复杂信号，由频率分别为724Hz，44Hz，500Hz，600Hz的同相正弦波组成，求该信号的周期。