一次函数和几何综合 (2)

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1、1、如图，已知：ABC是等腰直角三角形，直角顶点C在X轴上，一锐角顶点B在Y轴上。（1） 、如图若点C的坐标是（2，0），点A的坐标为（-2，2），求AB和BC所在的直线解析式；（2） 、在（1）问的条件下，在图中设边AB交X轴于点F，边AC交Y轴于点E，连接EF。求证：CEB=AEF（3） 、如图所示：直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点 A作Y轴的垂线，垂足为D，在滑动的过程中，两个结论：为 定值；为定值；其中只有一个结论是正确的，请判断出正确的结论加以证明并求出其定值。解：（1）过点A作x轴的垂线交x轴于点G， ， CG=2+=4 OB=4 B的坐标为（0,4） 设直线A

2、B，BC的解析式分别为, 将点A（-2，-2），B（0,4）带入直线AB的解析式得 解得 所以，直线AB的解析式为； 将点B（0,4），C（2,0）带入直线BC的解析式得 解得 所以，直线BC的解析式为（2） 用全等没有证明出来，我是用相似做的，通过勾股定理计算AE、AF、AF、AC的长，分别成比例再加上夹角都为45，可证相似。我再考虑一下其他的方法。 （3）结论正确。 过点A作x轴的垂线AM，垂足为H。 在， =12、 如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OCAB于C（-2，-2）。（1） 求m的值；（2） 直线AD交OC于D，交X轴于E，过B作BFAD于F

3、,若OD=OE，求的值；（3） 如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。3、 如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点N为OA上一点，OMBN于M，且ONB=45+MON。（1） 求证：BN平分OBA；（2） 求的值；（3） 若点P为第四象限内一动点，且APO=135，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。4、 已知在RtABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线AP交BC于E，过P点后与AP关于MN成轴对称

4、的直线交AB于D、交BC于F，连CD交PA于G。（1） 如图1，若点P移动到BC上时，E、F重合，若FD=a，CD=b，则AE= （用含a、b的式子表示）（2） 如图2，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，求证：CDAE；（3） 如图3，若点P移动到ABC的内部时，其他条件不变，线段AE、CD、DF之间是否存在确定的数量关系？请画出图形，并直接写出结论（不需证明）5、 如图，已知直线y=-x+8交y轴于A，交x轴于B，过B作BDAB交y轴于D。（1） 求直线BD的解析式；（2） 若点C是x轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E，请你判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论；（3

5、） 在（2）的条件下，若点G为第二象限内任一点，连EG，过A作AFFG于F，连CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，CFE的度数是否发生变化？若不变，请求其度数；若变化，说明理由。6、 如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1） 求B点坐标；（2） 若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连OD，求AOD的度数；（3） 过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。7、 直线y=x+4分别与x轴、

6、y轴交于B、A，C在第二象限，且C在AO的垂直平分线上，ACO=45，CO交AB于M。（1） 求证：AMO=AOM；（2） 求证：BC平分ABO的外角；（3） AB向左平移过程中，ACB的度数是否为定值，请证明。8、 如图，直角坐标系中，A（3m+2，0）、B（0，m+6）分别是x轴负半轴、y轴正半轴上的点，OA=OB，C为OB上一动点。（1） 求A、B两点坐标；（2） 过B点作BDAC于D，若AC=2BD，求OAC的度数；（3） 过C点在第二象限内作CEAC，且使CE=CA，连EB，当C点运动时，给出两个结论：BCE+BEC为定值；BCEBEC为定值，其中有且只有一个正确，请你选择正确的结论

7、，证明并求值。9、 如图1，已知A（m，0），D（0，n），且m2+2m+1+=0，点B、E分别为x轴正半轴和y轴负半轴上一点，BOEDOA。（1） 求直线AD的解析式；解：设直线AB的解析式为y= k x + b . 直线AD过点A ( m , 0 ) 和点D ( 0 , n )n=b, mk+b=0;b=n,k=-b/m 又m2+2m+1+=0（m+1）(m+1)+ =0 m=-1,n=3b=3,k=3直线AB的解析式为y=3x+3（2） 过D作DCAB，且DC=2，若直线y=（k0）将四边形ABCD的面积分成两等分，求k的值；解：作直线CH垂直AB，直线y=（k0）过(0,-1)m=-1

8、,n=3 OA =1 ，OD = 3 BOEDOAOA =OE, OB =3点E坐标为(-1,0)，直线y=（k0）过点EDCAB, DOB=90，CH垂直AB四边形DOHC为长方形DO=CH,DC=OH=2BH=OB-OH=1OA=OB（已证）,CH=DO（已证）,DOA=CHB（已证）(大括号)CHBDOA(SAS)直线y=（k0）将四边形ABCD的面积分成两等分,只要把长方形DOHC平分即可直线y=（k0）与x轴交点为M（k,0）,与直线DC交点为N（4k,3）,四边形DOMN面积=四边形MHCN的面积（k+4k）*3/2=(2-4k+2-k)*3/2k=2/5（3） 如图2，以AB为边

9、作等边ABP，AP交y轴正半轴于G，点M为x轴负半轴上一动点，MGN=120，GN交PB的延长线于N，当点M运动时，问：BMBN的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。10、 在平面直角坐标系中，A（0，a），B（0，b）满足；（1） 求SABO；（2） C在OB上，BMAC于M，交y轴于D，CDCE交y轴于E，证明：OE=OD.解：(1)a-20,b+20a=2,b=-2OA=OB=2SABO=OAOB=44=8(2)OA=OB且OAOBABO=BAO=45又AMBMMBC+OBA+BAM=90,即MBC+BAM=45又BAM+CAO=BAO=45MBC=DAM在OBD和OAC

10、中 MBC=DAM BO=AO BOD=AODOBDOAC（ASA）OC=OD(全等三角形对应边相等) COD=45又CECDCEO=CDE=45CD=CECODECDE是等腰直角三角形OE=OD11、 在直角坐标系中，B、A分别在x，y轴上，B的坐标为（3，0），ABO=30，AC平分OAB交x轴于C；（1） 求C的坐标；解：AOB=90 ABO=30 OAB=30 又 AC是OAB的角平分线 OAC=CAB=30 OB=3 OA= OC=1 即 C(1，0)（2） 若D为AB中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC证明：取CB中点H，连CD,DH AO= CO=1 AC=2 又D,H分别

11、是AB,CD中点 DH= AB=2 DB=AB= BC=2 ABC=30 BC=2 CD=2 CDB=60 CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60 EDC=FDH AC=BC=2 CDAB ADC=90 CBA=30ECD=60HD=HB=1DHF=60在DCE和 DHF中EDC=FDHDCE=DHFDC=DHDCE DHF(AAS)CE=HFCH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1CH=OCOC=CE+CF（3） 若D为AB上一点，以D作DEC，使DC=DE，EDC=120，连BE，试问EBC的度数是否发生变化；若不变，请求值。解：不变 EBC=60 设

12、DB与CE交与点G DC=DE EDC=120 DEC=DCE=30 在DGC和 DCB中 CDG=BDC DCG=DBC=30DGC DCB= DC=DE=在EDG和BDE中 = EDG=BDEEDG BDEDEG=DBE=30EBD=DBE+DBC=6012、 如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB.（1） 求直线AC的解析式；解： 直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点 可得点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，1） OC=OB 可得点C坐标为（0，-1） 设直线AC的解析式为y=kx+b将A（-3，0），C（0，-1）代入解析式 -3k+b=

13、0且b=-1可得k=-，b=-1 直线AC的解析式为y=x-1（2） 在x轴上取一点D（-1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；解： GEAB 设直线GE的解析式为将点D坐标（-1，0）代入，得 直线GE的解析式为y=-3x-3 联立y=x-1与y=-3x-3，可求出， 将其代入方程可得y=， F点的坐标为（，）（3） 过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx（k0），分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。解：过点O作AC的平行线ON交AB于点N BM/ACOB=OCOI=OHO为IH的中点 BM/AC OI=OH NB=NA N为AB中点

14、 ON是四边形ABIH的中位线 AH+BI=2ON N是AB的中点，AOB是直角三角形 AB=2ON（直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） AH+BI=AB =113、 如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1.（1） 求直线BC的解析式；解：（1）因为直线AB：y=-xb过点A（6，0）.带入解析式 就可以得到 b=-6即直线AB：y=-x+6 B为直线AB与y轴的交点点 B （0，6）OB：OC=3：1OC=2 点 C（-2，0）已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为y=kx+m带入B、C的坐标。可以算出k=

15、3 ,m=6所以BC的解析式为：y=3x+6（2） 直线EF：y=kx-k（k0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？(2) 假设 存在满足题中条件的k值因为直线EF: y=kx-k（k0）交x轴于点D。 所以D点坐标为（1,0）在图中标出点D,且过点D做一直线，相交与直线AB,BC分别与点E,F然后观察EBD和FBD则 SEBD= DEh SFBD=DFh两个三角形的高其实是一样的要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了点E在直线AB上，设点E的坐标为（p，-p+6）点F在直线BC上，设点F

16、的坐标为（q，3q+6）而上面我们已经得到点D的坐标为（1,0）点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即：（p+q)/2=1(-p+6+3q+6)/2=0这样就可以求得：p=，q=-点E的坐标即为（，），点F的坐标即为（-，-）把点E代入直线EF 的解析式，得到k=所以存在k，且k=（3） 如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。(3) K点的位置不发生变化理由：首先假设直线QA的解析式为y=ax+b，点P的坐标为（p，0

17、）过点Q作直线QH垂直于x轴，交点为H这样图中就可以形成两个三角形，分别是BOP和PHQ，且两个三角形都是直角三角形。BPQ为等腰直角三角形，直角顶点为PBP=PQ，BPO+QPH=18090=90又在直角三角形中，QPH+PQH=90根据上面两个等式，我们可以得到BPO=PQH且PB=QPBOP=PHQBPO=PQHPB=QP所以在BOP和PHQ中BOPPHQ（AAS）OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等）点Q的坐标为（p+6，p）然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中，得到：a=1，b=-6也就是说a,b为固定值，并不随点P（p，0）的改变而改变这样

18、直线QA：y=x-6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了。求得点K的坐标为（0，-6）14、 已知，如图，直线AB：y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D.（1） 求直线BD的解析式；（2） 若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系？并证明你的判断；（3） 若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AFFG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，CFE的度数是否发生变化？若不变，请求出CFE的度数；若变化，请求出其变化范围.15、 直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C

19、为AB的中点.（1） 求C的坐标；（2） 如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求NCM的度数；（3） P为过B点的直线上一点，PDx轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BFBE的值的情况.16、 如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，-4）且OA=AB，OAB的面积为6.（1） 求两函数的解析式；（2） 若M（2，0），直线BM与AO交于P，求P点的坐标；（3） 在x轴上是否存在一点E，使SABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。17、 已知ABC，分

20、别以AB、AC为边作ABD和ACE，且AD=AB；AC=AE；DAB=CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点.（1） 如图1，若DAB=60，则AFG= 如图2，若DAB=90，则AFG= （2） 如图3，若DAB=，试探究AFG与的数量关系？并给予证明；（3） 如果ACB为锐角，ABAC，BAC90，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边，以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角AMN，连接NC；试探究：若NCBC（点C、M重合除外），则ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）18、 已知等腰RtACB中，ACB=90,D为线段BC上一动点，AE=A

21、D，AEAD，连接BE与AC交于P点，其中,（1） 若n=1时，如图1，猜想= ；= ；（2） 若n=时，如图2，则= ；= ；并证明你的结论.（3） 若D点运动到CB延长线上，且BE与AC的延长线交于P点，如图3，其它条件不变，当n= 时，=3；（不需证明）19、 已知等边ABC中AB边上有一动点P，E是直线BC上一点，且AO=CO，POE=120,AP=n.PB（1）若n=时，如图1，观察并猜想= ；= ；（2）若n=3时，如图2，求BC=4CE；（3）当n= 时，则BC=5CE；（直接写出结果，不需证明）20、 已知ABC为等边三角形，P、D分别为直线AB、BC上的动点，连接PD、PC，且PD=PC。其中（1）若n=1时，如图1，= ；= ；（2）若n=2时，如图2，求；（3）当n= 时，如图3，=2；（直接写出结果，不需证明）