圆锥曲线间的三个统一

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1、圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e,则当0：e:1时，动点P的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P的轨迹是抛物线；当e1时，动点P的轨迹是双曲线；若e=0,我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值(非零)，则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把

2、椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P，则P。a22如图1，将椭圆罕-笃=1(ab0)按向量(a,0)平移ab得到2(X-a)2a22bb2y=xxaa椭圆的半通径b2IFM!|=p二一，ab2二1e二椭圆的方程可写成y2=2px(e2-1)x2(0：:e：:1)22类似的，如图2，将双曲线-2-1(a-0,b-0)按向量(-a,0)平移得到ab丄2(Xa)ay_2b22.22b丄b2y二xxaa双曲线的半通径|F2M2|=J,b7=e2-1aa二双曲线方程可写成y=2px(e?一1)x?(e.1)对于抛物线y2=2px(x.0)P为半通径，离心率e=

3、1，它也可写成222y2px(e-1)x(e=1)对于圆心在(p，o)，半径为p的圆，其方程为(X-pr卡y=p?，它也可写成=2px亠(eT)x?(e=0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y2=2px(e2-1)x2，其中P是曲线的半通径长，当e=0，0:e:1，e=1,e.1时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程y2=2px(e2-1)x2所表示的四种圆锥曲线,如图3,设P、B、A、C分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为寸=2px亠(e-1)x?的焦点F2a(e-1)P(e1)

4、ere亠1OAp(e=1)，OB二a-c2e-1222a-ca(1_e)p(0:e：1)ace1e1pOP=p(e=0)e+1即方程y?=2px(e-1)x所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为F(土，0)，设焦点F相应的准线为x=m，则有=eo-m准线L为x=m二-p，对于圆e=0表示准线L在无限远处，设点e(e+1)M(xo,y。)为曲线y2=2px(e2-1)x2上在y轴右侧的动点，则点M对焦点F的焦半径|mF|=e(x0-m)=ex0。e+1圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。圆锥曲线中的数学思

5、想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。思想方法一：分类讨论思想例1.给定抛物线y2=2x设A(a,O)(a二R)，P是抛物线上的一点，且|PA|二d，试求d的最小值。解：设P(x0,y)(x_0)，则y。2=2x二d=|PA匸.(X。-afy2二、(x。af-2x。二x。(1a2a1又aR，x0_0(1)当0：a：1时，1-a.0，此时有x。=0dmi产一(1-a丨2a-1=a(2)当a_1时，此时有x。=a

6、-1dminW2a-1评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。思想方法二：转化思想例2已知过点A(2,4)且斜率为1的直线L交抛物线y2=2px(p0)于B、C两点，若|AB|、|BC|、|CA成等比数列，求抛物线方程。解：直线L的方程为y=x2设B(x-yj，C(x2,y2)y=x2由2y=2px得x2-2(2p)x0二Xtx2二2(2p)xg二4|AB|、|BC|、|CAI成等比数列|BC|CA|AB|BC|过A作直线I/X轴，设B、C在l上的射影分别是B,C则1BC|BC|AB|x2xi|CA|CA|x22IAB

7、|BC|BA|x2_x22x22x2即(x2-厂=(xt2)(x2-2)2二(xt-x2)4xtx2=x1x22(x1-x2)4得4(2-p)16=44(2p)4化简为p?3p4=0解得p=1满足.-I或p=一4(舍去)故所求的抛物线方程为y2=2x评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。思想方法三：化归思想例3直线L:y=収1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、Bo(1) 求实数k的取值范围。(2) 是否存在实数k

8、，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。解：(1)将直线L的方程y=kx1代入双曲线C的方程2x2-y2=1，得(k2-2)x22kx2=0依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点2k一2式0=(2k)-8(k-2)、0=-2:k：:-22k20,-2L.k-2k-22)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)贝U由可得x1x2,x1x2二2_k2k-2假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FAXFB得(xc)(x2-c)y1y2=0整理得：(k21)x1x2(k-c)(x1x2)c2=0把式及c6代入式化简得：5k22、6k一6=02

9、.6十幕亠676厂/厶亠、-k或k(-2,-2)(舍去)55k=一6疋使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。5评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。思想方法四：数形结合思想例4函数y=Jx4-3x2-6x+13-Jx4-x2+1的最大值是。分析：原式=(x3)2(x22)2,x2(x21)2，其几何模型是定曲线y=X2上的动点p(x,y)到两定点A(3,2)，B(0，1)的距离之差，要求其最大值。y斗AP|PB|勺AB|=，(3-0)2(2-1)2-.10二10评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问

10、题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。思想方法五：函数与方程思想例5斜率为2的直线与等轴双曲线x2-y2=12相交于两点R,P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。解：设直线方程为y=2x亠m代入双曲线方程得3x24mx-m212=0T直线与双曲线相交于p,P222丄=(4m)-43(m-12)0二m.6或m：-6设R,P2的坐标为(Xyj(X2,y2)，线段P1P2中点为(x,y)则x=1=_?m且x：一4或x4二m=_?x代入直线方程得:232所求轨迹方程为y=x(x4或x：:-4)2思想方法六：构造思想22例6已知x,y满足=1，求y_3x的取值范围。1625解:令y-3x=b，贝Uy=3

11、xb原问题转化为：22在椭圆-L=1相切时，有最大截距与最小截距1625y=3xb22由xy11625了肖去y得169x96bx16x-400=0由=0得b=13y=3x的取值范围为13,13评注：应用构造思想解题的关键有要有明确方向，即为何构造要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。思想方法七：对称思想22例7在直线L：x-y-9=o上任取一点M过M且以椭圆1的焦点123为焦点作椭圆。问M在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。22解：/=1的两焦点FN-3,0),F2(3,0)，F1是F1关于L的对称点123又FiFi的直线方程为xy0与xy9=0联立，求得F(_9,6)，这时F1F2

12、的方程为x2y一3=0这时2a=|F1F2|=6i.5x+2y_3=0得m=（占勺x-y9=022椭圆方程为4536评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。思想方法八：参数思想例8在椭圆x24y4x上，求使z=x2y2取得最大值和最小值的点P的坐标。22解：将已知方程转化为厶=141设椭圆上动点P为(2-2cos,sinv)222224?14 二z=x-y=(22cosJ)-sin-5cos8cosv3=5(cosT)5523231当cosV-，即点P坐标为(-,-)或(，-)时，Zmin二-55555当COST-1，即点P坐标为(4，0)时，zmax=16评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理，在平时练习或考试中加以应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上